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2025年中考数学一轮复习
第15讲 一次函数
一．选择题（共10小题）
1．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
2．若函数y＝ax和函数y＝bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
3．甲、乙两人沿同一直线同时同向出发去往B地，运动过程中甲、乙两人离B地的距离y（km）与出发时间t（h）的关系如图所示，则甲到达B地时两人相距（　　）
A．20km B．30km C．40km D．50km
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，且顶点A的坐标为（4，0），点B的坐标为，将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形OA'B'C，若直线l把六边形OABCB′A′的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．如图，直线y＝kx（k≠0）与在第二象限交于点A，直线分别交x轴、y轴于B，C两点．S△ABO：S△ACO＝1：2，则方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
6．在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，则一次函数y＝kx+k在平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，三次函数f0：的图象与x轴有3个交点，分别是（﹣3，0），（1，0），（3，0），请同学们根据所学过的函数知识进行判断①当y＞0时，1＜x＜3；②当x＜3时，y有最小值；③若点P（m，m﹣1）在函数f0的图象上，则m的取值只有一个；④将函数f0的图象向左平移1个或3个单位长度，函数图象经过原点．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．小明和小亮相约晨练跑步，小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．如图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分）之间的函数图象，下列说法：
①小明家与小亮家距离为540米；
②小亮比赛前的速度为120米/分；
③小明出发7分钟时，两人距离为80米；
④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．
其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx，k，b是常数，且kb≠0的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知正比例函数y＝（9m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＜y2，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜9 B． C．m＞0 D．
二．填空题（共5小题）
11．已知一次函数y＝ax+b（a、b是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … c c+1 c+2 …
y … n ﹣n2﹣n﹣2 m …
则m 　 　n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
12．当x≥0时，对于x的每一个值，关于x的一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的值都小于一次函数y＝3x﹣1的值，则k的所有整数值为 　 　．
13．已知函数y，且关于x、y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解，则a的取值范围是 　 　．
14．如图，一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是 　 　．
15．如图，平面直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3，分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最小的值等于 　 　
三．解答题（共5小题）
16．学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本（m为整数），且A种图书的数量不超过B种图书的．根据调查，A、B两种图书原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方式：购买A种图书的单价y1（元/本）关于购买数量x的函数关系为且x为整数），若购买数量超过64本，则所购全部图书的单价与购买64本时的单价相同；购买B种图书的单价y2（元/本）关于购买数量x的函数关系为（0≤x≤100且x为整数），若购买数量超过100本，则所购全部图书单价与购买100本时的单价相同．
（1）若购买B种图书100本，则单价为 　 　元/本；
（2）求m的取值范围；
（3）设图书馆购进A、B两种图书共支出w元，则A种图书购买数量m为多少时，支出费用w最低？最低费用为多少？
17．快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第x h时，快、慢两车离甲地的距离分别为y1km，y2km，当x＝3时，慢车到达乙地．y1，y2与x之间的函数关系如图所示．
（1）甲、乙两地相距 　 　km，快车比慢车晚出发 　 　h．
（2）快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？
（3）若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离y3（km）与x之间的函数图象．
18．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（2，1）．
（1）求该函数的解析式；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值小于0，直接写出m的值．
19．现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以60km/h的速度匀速驶向景点．两辆车的行驶路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车停留前行驶时的速度是 　 　km/h，m＝　 　h；
（2）求甲车停留后继续行驶时的行驶路程y与时间x之间的函数关系式；
（3）求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？
20．如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离d称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃长”成一次函数关系，如表是测得的身高与“一拃长”一组数据：
一拃长d（cm） 16 17 18 19
身高h（cm） 162 172 182 192
（1）按照这组数据，求出身高h与一拃长d之间的函数关系式；
（2）某同学一拃长为16.8cm，求他的身高是多少？
（3）若某人的身高为185cm，一般情况下他的一拃长d应是多少？
2025年中考数学一轮复习之一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象，分a＞0和a＜0两种情况分类讨论进行解题即可．
【解答】解：当a＞0时，一次函数图象经过一、三、四象限，
当a＜0时，一次函数图象经过一、二、四象限，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的图象，掌握一次函数的性质是关键．
2．若函数y＝ax和函数y＝bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；几何直观．
【答案】D
【分析】利用函数图象，写出直线y＝ax在直线y＝bx+c上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：观察函数图象得x＞1时，ax＞bx+c，
所以关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
3．甲、乙两人沿同一直线同时同向出发去往B地，运动过程中甲、乙两人离B地的距离y（km）与出发时间t（h）的关系如图所示，则甲到达B地时两人相距（　　）
A．20km B．30km C．40km D．50km
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出乙的速度，然后即可计算出甲的速度，从而可以得到甲到达B地的时间，进而可以求得甲到达B地时两人的距离．
【解答】解：由图可知，乙的速度为60÷10＝6（km/h），
甲的速度为：6+（80﹣60）÷2＝16（km/h），
甲到达B地的时间为：80÷16＝5（h），
则甲到达B地时两人相距：6×（10﹣5）＝30（km），
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用树形结合的思想解答．
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，且顶点A的坐标为（4，0），点B的坐标为，将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形OA'B'C，若直线l把六边形OABCB′A′的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【考点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；多边形与平行四边形；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】利用平行四边形是中心对称图形，两个平行四边形对角线交点的连线平分六边形面积，两个平行四边形的对称轴也平分六边形面积分类计算得出解析式．
【解答】解：连接OB，OB的中点为M，OB′的中点为N，过D点作BQ⊥x轴，垂足为Q，点B坐标为（6，2），
∴AQ＝6﹣4＝2，，∠BAQ＝∠COA＝60．
根据翻折的性质可知，对角线OB翻折后，B′落在y轴上．
在Rt△OBQ中，OB4，
∴OB′＝OB＝4，
∴N（0，2），由中点坐标公式得：
xM3，
yM.，
∴M（3，），
设MN所在直线解析式为y＝kx+b，代入MN坐标得：
，解得，
∴MN所在直线解析式为：yx+2．
∴平行四边形是中心对称图形，过MN的直线平分六边形OABCB′A′的面积．
②由对折的性质可知，直线OC也平分六边形OABCB′A′的面积，
∵过C作CP垂直于x轴，垂足为点P，在Rt△OPC中，CP＝BQ＝2，∠COB＝60°，
∴OP＝2，
∴点C的坐标为（2，2），设OC所在直线解析式为：y＝kx，代入点的坐标得k，
∴OC所在直线解析式为：yx，
综合分析平分六边形OABCB′A′的面积的直线是yx和yx+2．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边的中心对称性质，用待定系数法求出两条平分面积的直线解析式是本题的关键．
5．如图，直线y＝kx（k≠0）与在第二象限交于点A，直线分别交x轴、y轴于B，C两点．S△ABO：S△ACO＝1：2，则方程组的解为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】作AH⊥x轴于H，如图，先利用直线AB的解析式确定C点坐标得到OC＝4，再根据三角形面积公式得到AB：AC＝1：2，再根据平行线分线段成比例定理计算出AH，从而得到A（﹣4，），然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：作AH⊥x轴于H，如图，
当x＝0时，yx+4＝4，则C（0，4），
∵S△ABO：S△ACO＝1：2，
∴AB：AC＝1：2，
∵AH∥OC，
∴，
∴AH4，
当y时，x+4，
解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，），
∴方程组的解为．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解答本题的关键要明确方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
6．在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，则一次函数y＝kx+k在平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】正比例函数的性质；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】D
【分析】由于正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而减小，可得k＜0，然后，判断一次函数y＝kx+k的图象经过象限即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而减小，
k＜0，
∴一次函数y＝kx+k的图象经过二、三、四象限；
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，图象过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，图象过一、三、四象限；k＜0，b＞0时，图象过一、二、四象限；k＜0，b＜0时，图象过二、三、四象限．
7．如图，三次函数f0：的图象与x轴有3个交点，分别是（﹣3，0），（1，0），（3，0），请同学们根据所学过的函数知识进行判断①当y＞0时，1＜x＜3；②当x＜3时，y有最小值；③若点P（m，m﹣1）在函数f0的图象上，则m的取值只有一个；④将函数f0的图象向左平移1个或3个单位长度，函数图象经过原点．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
【专题】数形结合；一次函数及其应用；几何直观．
【答案】B
【分析】观察函数图象，逐项判断即可．
【解答】解：由图象可知，y＞0时，1＜x＜3或x＜﹣3，故①错误；
由图象可得，当x＜3时，函数图象有最低点，即y有最小值，故②正确；
点P（m，m﹣1）在直线y＝x﹣1上，而y＝x﹣1与函数f0的图象有（1，0），（0，﹣1）两个交点，
∴若点P（m，m﹣1）在函数f0的图象上，则m的取值有2个，故③错误；
由函数f0的图象经过（1，0），（3，0）知，将函数f0的图象向左平移1个或3个单位长度，函数图象经过原点，故④正确；
∴正确的结论有②④，共2个；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是数形结合思想的应用．
8．小明和小亮相约晨练跑步，小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．如图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分）之间的函数图象，下列说法：
①小明家与小亮家距离为540米；
②小亮比赛前的速度为120米/分；
③小明出发7分钟时，两人距离为80米；
④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．
其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数的应用．
【答案】D
【分析】根据函数图象可以求出小明比赛前的速度为（540﹣440）÷1＝100米/分，甲乙两家的距离为540米，根据速度×时间＝路程就可以求出小亮在比赛前的速度与220比较久可以确定是否发生变化，根据比赛时甲乙的速度关系就可以求出比赛2分钟时甲乙的距离，⑤先求出14分钟时小亮在小明前面的距离，再由相遇问题就可以求出结论．
【解答】解：由函数图象及题意，得
①小明与小亮家相距：540米；故①正确；
②小亮比赛前的速度，由2×（v1+v2）＝440，得v2＝120m/min；故②正确；
③小明离家7分钟时两人之间的距离为：（7﹣5）（220﹣180）＝80米；故③正确；
④小亮从家出门跑了14分钟后两人之间的距离为：（15﹣5）（220﹣180）＝400米，
小亮返回时与小明相遇的时间为：400÷（180+220）＝1分钟，故④正确；
∴正确的个数有4个．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数问题，关键是根据函数方程、函数图象和实际结合进行分析，同学们应注重这方面能力的培养．
9．一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx，k，b是常数，且kb≠0的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】正比例函数的性质；一次函数的图象；正比例函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；几何直观．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k b的符号，从而判断y＝kbx的图象是否正确，进而比较可得答案．
【解答】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项不可能；
B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项不可能；
C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，一致，故此选项有可能；
D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项不可能；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象．
10．已知正比例函数y＝（9m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＜y2，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜9 B． C．m＞0 D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵当x1＜x2时，有y1＜y2，
∴9m﹣1＞0，
解得m．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．已知一次函数y＝ax+b（a、b是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … c c+1 c+2 …
y … n ﹣n2﹣n﹣2 m …
则m 　＜　n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】＜．
【分析】将n，﹣n2﹣n﹣2作差后，可得出n＞﹣n2﹣n﹣2，即y随x的增大而减小，结合c＜c+2，即可得出m＜n．
【解答】解：n﹣（﹣n2﹣n﹣2）＝n2+2n+2＝（n+1）2+1，
∵（n+1）2≥0，
∴（n+1）2+1＞0，即n＞﹣n2﹣n﹣2，
∴y随x的增大而减小，
又∵当x＝c时，y＝n；当x＝c+2时，y＝m，且c＜c+2，
∴m＜n．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，作差后，找出y随x的增大而减小是解题的关键．
12．当x≥0时，对于x的每一个值，关于x的一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的值都小于一次函数y＝3x﹣1的值，则k的所有整数值为 　2或3　．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】2或3．
【分析】当x＝0时，y＝3x﹣1＝﹣1，把（0，﹣1）代入y＝kx﹣k得k＝1，即可得1＜k≤3，从而得到答案．
【解答】解：当x＝0时，y＝3x﹣1＝﹣1，
把（0，﹣1）代入y＝kx﹣k得：﹣1＝﹣k，
解得k＝1，
∵当x≥0时，对于x的每一个值，关于x的一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的值都小于一次函数y＝3x﹣1的值，
∴1＜k≤3，
∴k可取的整数为2或3；
故答案为：2或3．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出k的取值范围．
13．已知函数y，且关于x、y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解，则a的取值范围是 　﹣1＜a　．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】﹣1＜a．
【分析】通过数形结合，观察图象和函数式进行作答．
【解答】解：∵ax﹣2a﹣y＝0可化简为y＝a（x﹣2），
∴无论a取何值，恒过（2，0），
∴该函数图象随a值不同绕（2，0）旋转，
作出题中所含两个函数图象如下：
经旋转可得：当﹣1＜a时，关于x，y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解．
故答案为：﹣1＜a．
【点评】本题考查数形结合，画出图象并分析是本题解题的关键．
14．如图，一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是 　22　．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】22．
【分析】根据函数图象中的数据，可以求出y与x的函数关系式，再将x＝6代入求出相应的y的值，即a的值．
【解答】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（0，10），（2，14）在该函数图象上，
∴
解得，
即y与x的函数关系式为y＝2x+10，
当x＝6时，y＝2×6+10＝22，
∴a＝22，
故答案为：22．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出一次函数的解析式，利用数形结合的思想解答．
15．如图，平面直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3，分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最小的值等于 　　
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【专题】待定系数法；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】不妨设直线AB的函数表达式为y1＝k1x+b1，直线BC的函数表达式为y2＝k2x+b2，直线AC的函数表达式为y3＝k3x+b3，根据点的坐标，利用待定系数法，可求出k1，b1，k2，b2，k3，b3的值，将其代入k1+b1，k2+b2，k3+b3中，比较后即可得出结论．
【解答】解：不妨设直线AB的函数表达式为y1＝k1x+b1，直线BC的函数表达式为y2＝k2x+b2，直线AC的函数表达式为y3＝k3x+b3，
将A（0，2），B（2，3）代入y1＝k1x+b1得：，
解得：，
∴k1+b12；
将B（2，3），C（3，1）代入y2＝k2x+b2得：，
解得：，
∴k2+b2＝﹣2+7＝5；
将A（0，2），C（3，1）代入y3＝k3x+b3得：，
解得：，
∴k3+b32．
∵5，
∴其中最小的值等于．
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出k1，b1，k2，b2，k3，b3的值是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本（m为整数），且A种图书的数量不超过B种图书的．根据调查，A、B两种图书原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方式：购买A种图书的单价y1（元/本）关于购买数量x的函数关系为且x为整数），若购买数量超过64本，则所购全部图书的单价与购买64本时的单价相同；购买B种图书的单价y2（元/本）关于购买数量x的函数关系为（0≤x≤100且x为整数），若购买数量超过100本，则所购全部图书单价与购买100本时的单价相同．
（1）若购买B种图书100本，则单价为 　10　元/本；
（2）求m的取值范围；
（3）设图书馆购进A、B两种图书共支出w元，则A种图书购买数量m为多少时，支出费用w最低？最低费用为多少？
【考点】一次函数的应用；二次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）代入x＝100，求出y2的值即可；
（2）根据购进A种图书的数量不超过B种图书的，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合m≥0且m为整数，即可得出结论；
（3）利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）当x＝100时，y2100+20＝10，
∴若购买B种图书100本，则单价为10元/本．
故答案为：10；
（2）∵学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本（m为整数），
∴计划购进B种图书（200﹣m）本．
根据题意得：m（200﹣m），
解得：m≤50，
又∵m≥0，
∴0≤m≤50．
答：m的取值范围为0≤m≤50且m为整数；
（3）∵0≤m≤50，
∴200﹣m≥150，
∴购买B种图书的单价为10元/本．
根据题意得：w＝（m+15）m+10（200﹣m）m2+5m+2000，
∴w（m﹣20）2+2050，
∵0，
∴当0≤m＜20时，w随m的增大而增大，当20≤m≤50时，w随m的增大而减小，
∴当m＝0时，w（0﹣20）2+2050＝2000；
当m＝50时，w（50﹣20）2+2050＝1937.5．
∵2000＞1937.5，
∴A种图书购买数量m为50时，支出费用w最低，最低费用为1937.5元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）代入x＝100，求出y2的值；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
17．快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第x h时，快、慢两车离甲地的距离分别为y1km，y2km，当x＝3时，慢车到达乙地．y1，y2与x之间的函数关系如图所示．
（1）甲、乙两地相距 　160　km，快车比慢车晚出发 　1　h．
（2）快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？
（3）若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离y3（km）与x之间的函数图象．
【考点】一次函数的应用．
【专题】数形结合；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）160，1；
（2）快车与慢车相遇时，两车距离甲地80km；
（3）画函数图象见解答过程．
【分析】（1）由图可知甲、乙两地相距160km；求出慢车的速度为40（km/h），可知快车出发时，慢车行驶的时间为40÷40＝1（h），故快车比慢车晚出发1h；
（2）由图可知，快车出发1小时追上慢车，此时慢车已行驶2h，即可得快车与慢车相遇时，两车距离甲地80km；
（3）求出第三辆车的速度是1.5×80＝120（km/h）；可得第三辆车从乙地到甲地所需时间为（h），故当x时，第三辆车从乙地出发，即y3（km）与x之间的函数图象过（，160）和（3，0），即可画出函数图象．
【解答】解：（1）由图可知，甲、乙两地相距160km；
慢车的速度为40（km/h），
由（0，40）可知，快车出发时，慢车行驶的时间为40÷40＝1（h），
∴快车比慢车晚出发1h；
故答案为：160，1；
（2）由图可知，快车出发1小时追上慢车，此时慢车已行驶2h，
∵2×40＝80（km），
∴快车与慢车相遇时，两车距离甲地80km；
（3）由（2）知，快车速度为80÷1＝80（km/h），
∴第三辆车的速度是1.5×80＝120（km/h）；
∴第三辆车从乙地到甲地所需时间为160÷120（h），
∵3，
∴当x时，第三辆车从乙地出发，即y3（km）与x之间的函数图象过（，160）；
画出图象如下：
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
18．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（2，1）．
（1）求该函数的解析式；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值小于0，直接写出m的值．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）y＝x﹣1；
（2）．
【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）根据题意得到3m3﹣1和﹣m0，然后解不等式可确定m的值．
【解答】解：（1）把A（1，0）和B（2，1）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣1；
（2）∵当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，
3m3﹣1，
解得m，
∵当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值小于0
∴﹣m0，
解得m，
∴m．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．
19．现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以60km/h的速度匀速驶向景点．两辆车的行驶路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车停留前行驶时的速度是 　80　km/h，m＝　1.5　h；
（2）求甲车停留后继续行驶时的行驶路程y与时间x之间的函数关系式；
（3）求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）80，1.5；
（2）y＝100x﹣60（1≤x）；
（3）甲车比乙车早44分钟到达旅游景点．
【分析】（1）根据函数图象可知当x＝0.5时，y＝40，根据路程除以时间得出甲车的速度；根据路程除以乙的速度，得出m的值；
（2）待定系数法求即可求解；
（3）根据题意当y＝200时，代入（2）的解析式得出甲的用时，根据路程除以时间得出乙所用的时间，求其差即可求解．
【解答】解：（1）根据函数图象可得当x＝0.5时，y＝40，
∴甲车停留前行驶时的速度是km/h，
∵乙车的速度为60km/h，
∴h，
故答案为：80，1.5．
（2）设y＝kx+b，把（1，40），（1.5，90）代入，
解得
所以y＝100x﹣60．（1≤x）；
（3）当y＝200时，200＝100x﹣60，
甲用的时间：．
乙用的时间：，
，即44分钟．
答：甲车比乙车早44分钟到达旅游景点．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合是解题的关键．
20．如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离d称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃长”成一次函数关系，如表是测得的身高与“一拃长”一组数据：
一拃长d（cm） 16 17 18 19
身高h（cm） 162 172 182 192
（1）按照这组数据，求出身高h与一拃长d之间的函数关系式；
（2）某同学一拃长为16.8cm，求他的身高是多少？
（3）若某人的身高为185cm，一般情况下他的一拃长d应是多少？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）h＝10d+2；
（2）他的身高是170cm；
（3）他的一拃长d应是18.3cm．
【分析】（1）设h＝kd+b，用待定系数法可得身高h与一拃长d之间的函数关系式为h＝10d+2；
（2）在h＝10d+2中，令d＝16.8得h＝10×16.8+2＝170，故他的身高是170cm；
（3）在h＝10d+2中，令h＝185得185＝10d+2，d＝18.3，故他的一拃长d应是18.3cm．
【解答】解：（1）设h＝kd+b，
把（16，162），（17，172）代入得：，
解得，
∴身高h与一拃长d之间的函数关系式为h＝10d+2；
（2）在h＝10d+2中，令d＝16.8得h＝10×16.8+2＝170，
∴他的身高是170cm；
（3）在h＝10d+2中，令h＝185得185＝10d+2，
解得d＝18.3，
∴他的一拃长d应是18.3cm．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
考点卡片
1．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
2．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
3．正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线．
4．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
5．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
6．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
7．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
8．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
9．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
10．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
11．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
12．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
13．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
14．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b） P（a，2n﹣b）
15．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．

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