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第一章 反比例函数
3反比例函数的应用
列清单·划重点
知识点① 用反比例函数解决实际问题的思路
分析问题中____________的关系→建立____________的关系式→解决____________.
知识点② 常见等量关系
工作总量=_____________________； 路程=_____________________;
电压=_____________________; 质量=_____________________.
注意
　 实际问题中，自变量的取值范围往往还受实际条件的限制，画图象时应考虑其具体的范围.
明考点·识方法
考点① 反比例函数的应用
典例1 在温度不变的条件下，一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于 V 的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加压到 100 kPa,则气体体积压缩了________ mL.
　
思路导析 本题考查反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的表达式是解本题的关键.设这个反比例函数的表达式为 代入(100,60)求得k,代入 和 求得变化前后的体积即可得出结论.
变式 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(单位：cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位：cm)的反比例函数，当. 时,
(1)求 y关于x 的函数表达式；
(2)若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离.
考点② 反比例函数与一次函数综合
典例2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 交于点 A(-m,3m),B(4,两点,与 y轴交于点C,连接OA,OB.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式 的解集.
思路导析 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题.(1)用待定系数法求得反比例函数表达式，由图象上的点满足函数表达式，得A点坐标，再用待定系数法求得一次函数的表达式即可；(2)根据三角形面积的和，可得答案；(3)直接观察函数图象，就可以得出正确的答案.
变式 如图，一次函数. 的图象与反比例函数 的图象交于点A(m,4),与 x轴交于点 B,与 y轴交于点C(0,3).
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知点P为反比例函数 图象上的一点，求点 P 的坐标.
当堂测·夯基础
1.如图,一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 A(2,3), 则 不 等式的解是 ( )
或 或
或 或
第1题图 第2题图
2.已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流 I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是 2 A，那么此用电器的电阻是_________Ω.
3.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 p(Pa)是气球体积 的反比例函数，且当 时, 当气球内的气体压强大于40 000 Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于______m .
4.如图,直线: ,为常数)与双曲线 (m为常数)相交于 A(2,a), 两点.
(1)求直线. 的表达式；
(2)在双曲线 上任取两点 和 若 试确定 和的大小关系，并写出判断过程；
(3)请直接写出关于 x 的不等式， 的解集.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 变量间 反比例函数 实际问题
知识点2 工作时间×工作效率 速度×时间 电阻×电流 密度×体积
【明考点·识方法】
典例1 20
变式 解：(1)由题意，设
把 代入，得
∴y关于x的函数表达式为
(2)把 代入 得
∴小孔到蜡烛的距离为 4 cm.
典例2 解:(1)∵点. 在反比例函数 的图象上，
∴反比例函数的表达式为
在反比例函数 的图象上，
(舍去),∴点 A 的坐标为(
把点 分别代入 得
∴一次函数的表达式为
(2)∵点 C 为直线AB 与y 轴的交点,
(3)由题意得 或
变式 解:(1)∵点A(m,4)在反比例函数的图象上，
∴A(1,4),
又∵点A(1,4),C(0,3)都在一次函数 的图象上，
解得
∴一次函数的表达式为
(2)对于y=x+3,当. 时, ∴OB=3,
∵C(0,3),∴OC=3,
过点 A 作 AH⊥y 轴于点 H,过点 P 作PD⊥x轴于点 D,
∵S△OBP=2S△OAC,
即 解得 PD=2,
∴点 P 的纵坐标为2 或-2,
将y=2或-2代入 得x=2或 ∴点 P(2,2)或(-2,-2).
【当堂测·夯基础】
1. A
2.18 3.0.6
4.解:(1)由题意,将 B点代入 得
∴∴双曲线为
又∵A(2,a)在双曲线上,
将A，B的坐标代入. 得
∴直线. 的表达式为
(2)由题意，可分成两种情形：
①点 M，N在双曲线的同一支上，
由双曲线 在同一支上时函数值y随x 的增大而增大，
∴当 时,
②点 M，N在双曲线的不同支上，
∵
∴此时由图象可得. 即此时当 时,
(3)由图象,得 即一次函数值大于反比例函数值，
∴不等式 的解集为 或
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