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专题27 概率
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命题意图 考查概率问题的计算；考查用树状图、列表等方法求随机事件的概率． 考向分析 中考频度：★★★★☆ 难度系数：★★☆☆☆ 中考数学中，对概率的考查较为基础，难度较小，通常以选择题、填空题形式出现，若以解答题形式考查，常和条形统计图、扇形统计图等同步考查．要求考生会用树状图或者列表法来找出简单随机事件的概率即可，难度不大． 答题技巧 1．判断事件类型 解答此类问题有两个关键：一是回归生活情境，从生活情境中审视事件发生的可能性；二是理解必然事件、不可能事件、随机事件等概念． 2．概率的意义 概率是反映事件发生的可能性大小的量，它无法确定事件是否发生． 3．用概率公式求概率 （1）计算简单事件概率的主要类型：①个数类型：如摸球、掷骰子等表示出等可能出现的结果数；②面积类型：如果随机试验时向S区域内掷一小球，那么掷在A（A在S内）的概率P=． （2）试验需要有以下两个共同点：①在每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；②每一次试验中，各种结果出现的可能性相等． 4．用列举法求概率 （1）常用的列举法：①直接列举法（枚举法）；②列表法；③树状图法． （2）用列举法求某事件的概率时，各种结果出现的可能性必须相等． （3）直接列举法求概率的适用条件是事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少． 5．用列表法求概率 （1）“涉及两个因素”包括两种情况：①同时进行两种相同的操作；②先后进行两次相同的操作，即两步试验． （2）列表的方法：选一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为竖行． （3）如果第一个因素有a种可能的结果，第二个因素有b种可能的结果，那么这个试验所有可能的结果数有ab种． 6．用树状图法求概率 （1）“涉及三个或更多因素”包括两种情况：①同时进行三种或更多种相同的操作；②先后进行三次或更多次相同的操作，即三步或更多步试验． （2）如果各因素分别有a，b，c…种可能的结果，那么这个试验所有可能的结果有a×b×c×…种． 7．用频率估计概率 （1）从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率． （2）一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P（A）=p．
知识盘点
1．确定事件：一定发生的事件是必然事件，概率为1．一定不会发生的事件是不可能事件，概率为0．
2．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，它发生的概率介于0与1之间．
3．概率的定义：一个事件发生的可能性叫做该事件发生的概率，事件A发生的概率一般记为P（A）．
4．概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小．
5．概率的计算公式：如果事件发生的各种结果的可能性相等且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率P（A）=m÷n．
6．用频数估计频率：
可以通过大量的重复实验，用一个事件发生的频数来估计这一事件发生的概率
7．用列举法求概率：
在等可能的情况下，求随机事件发生的概率通常利用列表或画树状图列出所有机会均等的结果，在计算事件发生的概率．
【母题来源】（2024 广东）
【母题再现】 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用概率公式可得答案． 【解答】解：共有四种区域文化， 随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是． 故选：．
【母题来源】（2024 牡丹江）
【母题再现】 某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据列表法或者树状图分析出所有可能的结果，然后根据概率公式求出结果即可． 【解答】解：列表如下： 甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是． 故选：．
【母题来源】（2024 深圳）
【母题再现】 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：．
【母题来源】（2024 武汉）
【母题再现】 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意列表，由表格可得出所有等可能的结果数以及至少有一辆车向左转的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 直行左转右转直行（直行，直行）（直行，左转）（直行，右转）左转（左转，直行）（左转，左转）（左转，右转）右转（右转，直行）（右转，左转）（右转，右转）
由表格可知，共有9种等可能的结果，由表格可知，至少有一辆车向右转的结果有共5种， 至少有一辆车向右转的概率为． 故选：．
【母题来源】（2024 贵州）
【母题再现】 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是　　 A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】 【分析】根据概率的定义判断即可． 【解答】解：、小星定点投篮1次，不一定能投中，故符合题意； 、小星定点投篮1次，不一定可以投中，故不符合题意； 、小星定点投篮10次，不一定投中4次，故不符合题意； 、小星定点投篮4次，不一定投中1次，故不符合题意； 故选：．
【母题来源】（2024 山西）
【母题再现】 一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸到的球恰好有一个红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 红白绿红（红，白）（红，绿）白（白，红）（白，绿）绿（绿，红）（绿，白）
共有6种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好有一个红球的结果有：（红，白），（红，绿），（白，红），（绿，红），共4种， 两次摸到的球恰好有一个红球的概率为． 故选：．
【母题来源】（2024 甘孜州）
【母题再现】 某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为 　　人． 【答案】5． 【分析】根据概率公式可得答案． 【解答】解：设第一批次确定的人员中，男生为人， 则， 解得， 所以第一批次确定的人员中，男生为5人． 故答案为：5．
【母题来源】（2024 青海）
【母题再现】 如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是 　　． 【答案】． 【分析】根据图形可得蚂蚁向上爬的过程中有三条路径可以选择，其中获得食物的路径有一条，求出获得食物的概率即可． 【解答】解：根据题意得： 所有路径有三条，其中获得食物的路径有一条， 则（获得食物）． 故答案为：．
【母题来源】（2024 泰安）
【母题再现】 某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 　　． 【答案】． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为，，，， 列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种， 小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为． 故答案为：．
【母题来源】（2024 湖北）
【母题再现】 小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是 　　． 【答案】． 【分析】根据概率公式计算即可． 【解答】解：因为总共有5人， 所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是． 故答案为：．
【母题来源】（2024 长春）
【母题再现】 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率． 【答案】． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有：，，，共3种， 这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为．
【母题来源】（2024 内蒙古）
【母题再现】 从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6． （1）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？ （2）将这五张扑克牌背面明上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）找出五张牌中，牌面数字为4的张数，求出抽取的这张牌的牌面数字是4的概率即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的情况数，即可求出所求． 【解答】解：（1）五张牌中，牌面数字分别是4，4，5，5，6，其中牌面数字为4的张数为2， 则（牌面数字为； （2）列表如下： 4455648991048991059910115991011610101111
所有等可能的情况有20种，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的情况有12种， 则（抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数）．
【母题来源】（2024 广元）
【母题再现】 广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识，为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成五个等级：；；；；．并绘制了如下尚不完整的统计图． 抽取学生成绩等级人数统计表 等级人数2730126
其中扇形图中等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是． （1）样本容量为 　　，　　； （2）全校1200名学生中，请估计等级的人数； （3）全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法．求这两人来自同一个年级的概率． 【答案】（1）90，15； （2）全校1200名学生中，估计等级的人数有200名； （3）． 【分析】（1）由等级的人数除以所占比例得出样本容量，即可得出的值； （2）由全校学生人数乘以等级的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有20种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）样本容量为：， ， 故答案为：90，15； （2）（名， 答：全校1200名学生中，估计等级的人数有200名； （3）把七年级1人记为，八年级2人分别记为、，九年级2人分别记为、， 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有4种，即、、、， 这两人来自同一个年级的概率．
【母题来源】（2024 雅安）
【母题再现】 某中学对八年级学生进行了教育质量监测，随机抽取了参加15米折返跑的部分学生成绩（成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级），并绘制了不完整的统计图（如图所示）．根据图中提供的信息解答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整； （2）若该校八年级学生有300人，试估计该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数； （3）从所抽取的优秀等级的学生、、、、中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到、两位同学的概率． 【答案】（1）答案见条形统计图； （2）30人； （3）． 【分析】（1）根据成绩为良好的人数除以占的百分比求出调查的总人数，进而求出不合格的人数，补全条形统计图即可； （2）由样本中成绩不合格的百分比估计总体中成绩不合格的百分比，乘以300即可得到结果； （3）列出得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到、两位同学的情况数，即可求出恰好抽到、两位同学的概率． 【解答】解：（1）根据题意得：（人， 不合格的为：（人， 补全条形统计图，如图所示： （2）根据题意得：（人， 则该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数约为30人； （3）列表如下：
所有等可能的情况有20种，其中恰好抽到、两位同学的情况数为2种， 则（恰好抽到、两位同学）．
【母题来源】（2024 赤峰）
【母题再现】 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩分72747576777879808284858791人数人11433111314
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如表： 平均数众数中位数8078
解决问题： （1）表格中的　　；　　；　　； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为 　　分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为 　　分； （3）学校要从91分的，，，四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求，两名队员恰好同时被选中的概率． 【答案】（1）5；2；75． （2）78；80． （3）． 【分析】（1）根据数据可直接得出，，的值． （2）根据平均数、众数、中位数的意义可得答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及，两名队员恰好同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，，，． 故答案为：5；2；75． （2）样本数据的中位数为78， 如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分． 平均数、众数、中位数这三个数据中，平均数最大，为80， 如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为80分． 故答案为：78；80． （3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中，两名队员恰好同时被选中的结果有：，，共2种， ，两名队员恰好同时被选中的概率为．
1．（2024 梁溪区二模）下列事件中，属于必然事件的是　　
A．将铜片放入稀硫酸中，会发生剧烈的化学反应
B．将氧化铜放入氢氧化钠溶液中，溶液由无色变成蓝色
C．将氧化铁放入稀盐酸中，溶液由无色变成红色
D．将生石灰放入自来水中，水温上升
2．（2024 衢州一模）一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从中任意摸出1个球是红球的概率为　　
A．1 B． C． D．
3．（2024 鹿城区一模）一个不透明的袋子里装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外均相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 　　．
4．（2024 南漳县一模）众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为 　　．
5．（2024 海州区校级二模）中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》、《周髀算经》．而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》．学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》、《几何原本》现代印刷版各1本．爱好数学的小颖、小华一起来到图书馆，想从这4本数学著作中先后各自随机选取一本进行阅读．
（1）小颖恰好选取《周髀算经》的概率为 　　；
（2）将2本《九章算术》、1本《周髀算经》、1本《几何原本》分别用、、、表示，请用列表或树状图的方法，求小颖、小华都选取到中国数学著作的概率．
6．（2024 蒸湘区一模）随着移动互联网的迅猛发展，人们购物的支付方式更加多样、便捷．某商场想了解顾客支付方式的选择情况，设计了一份问卷进行调查，要求被调查者选择且只选择一种最喜欢的支付方式．现将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请结合图中所给出的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中　　，“其他”支付方式所对应的圆心角为 　　度；
（2）小明早上买早餐，若只能一种支付方式，刚好选择现金支付的概率为 　　；
（3）甲乙两人到商场购物，请用列表或画树状图的方法，求出两人恰好都选择微信支付的概率．
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1．【答案】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：、将铜片放入稀硫酸中，会发生剧烈的化学反应，是不可能事件，不符合题意；
、将氧化铜放入氢氧化钠溶液中，溶液由无色变成蓝色，是不可能事件，不符合题意；
、将氧化铁放入稀盐酸中，溶液由无色变成红色，是不可能事件，不符合题意；
、将生石灰放入自来水中，水温上升，是必然事件，符合题意；
故选：．
2．【答案】
【分析】从中任意摸出1个球共有4种等可能结果，其中是红球的有3种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：从中任意摸出1个球共有4种等可能结果，其中是红球的有3种结果，
所以从中任意摸出1个球是红球的概率为，
故选：．
3．【答案】．
【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行求解即可得出答案．
【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．
故答案为：．
4．【答案】．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明获胜的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明获胜的结果有3种，
小明获胜的概率为，
故答案为：．
5．【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小颖恰好选取《周髀算经》的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小颖、小华都选取到中国数学著作的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小颖恰好选取《周髀算经》的结果有1种，
小颖恰好选取《周髀算经》的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
共有16种等可能的结果，其中小颖、小华都选取到中国数学著作的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共9种，
小颖、小华都选取到中国数学著作的概率为．
6．【答案】（1）25，54；（2）；（3）．
【分析】（1）根据使用现金的人数除以占比得出总人数，进而根据使用支付宝的人数除以总人数乘以求得的值，根据其他支付方式的人数除以总人数，再乘以，即可求解；
（2）一共有4种情况，若只能一种支付方式，刚好选择现金支付的概率为；
（3）列出表，进而根据概率公式即可求解．
【解答】解：（1）调查总人数为（人，
，
即；
“其他”支付方式所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：25，54；
（2）小明早上买早餐，若只能一种支付方式，刚好选择现金支付的概率为，
故答案为：；
（3）列表：
将“支付宝”支付记为，“微信”支付记为，“现金”支付记为，“其它”支付记为．列表如下：
共有16种选择的结果，其中两人恰好都选择微信支付方式的只有1种，
两人恰好都选择微信支付的概率为．

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