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第21讲周期问题
专题概述
周期问题是指事物在运动变化过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫作周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期有关的问题。这些数学问题只要我们发现某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
典型例题1
已知2003年国庆节是星期三，请问2007 年劳动节是星期几
分析 先判断2003年国庆节到2007年劳动节共有多少天，又一个星期有7天，也就是7天是一个循环，即一个周期，再判断这些天里有多少个星期还余几天。2003年到2007年中间有2004年、2005年和2006年,这里2004 年是闰年,有366天,2005年、2006年、2007 年是平年,且2月是28天,共有365天。故从2003年国庆节到2007年劳动节一共有31+30+31+366+365+365+31+28+31+30+1=1309(天),1309÷7=187(天),所以2007年劳动节是星期三。
解 31+30+31+366+365+365+31+28+31+30+1=1309(天)
1309÷7=187(天)
答：2007年劳动节是星期三。
思维训练1
已知某月星期五比星期六天数多，星期二比星期三的天数少，这个月共有多少天
2. 已知2015年8月 1 日是星期六,2017年元旦是星期几
典型例题2
的个位数字是多少
分析 28 的个位数字是8，28 的个位数字是4，28 的个位数字是2，28 的个位数字是6， 的个位数字是8，28 的个位数字是4……故28的各次方的个位数字按8，4，2，6循环，四个数一个循环,137÷4=34……1,故 的个位数字是8。14 的个位数字是4，14 的个位数字是6，14 的个位数字是4，14 的个位数字是6……故14的各次方的个位数字按4，6循环，两个数一个循环， 故14 的个位数字是6，因此 的个位数字是
解137÷4=34……1,所以 的个位数字是8； 所以 的个位数字是6。8—6=2,所以 的个位数字是2。
思维训练2
的个位数字是多少
的个位数字是多少
典型例题3
“双十一”物流高峰期，某工厂有一批货要运到物流中心，有甲、乙两辆货车运货，已知甲车单独运货要9天运完，如果第一天甲运，第二天乙运，两辆车如此交替工作，恰好整数天运完，如果第一天乙运，第二天甲运，两辆车如此交替工作，比上次轮流多用了半天，若甲、乙一起运，几天能送完这些货
分析 根据轮流运的情况可以看出：当甲先运时，所用的时间比较少，而乙先运时，用的时间比较多。故而有：第一种运货情况是甲乙、甲乙……甲，第二种运货情况是乙甲、乙甲……乙甲，则甲一天的工作效率=乙一天的工作效率+甲半天的工作效率，则乙一天的工作效率 甲一天的工作效率。把这批货看作是单位“1”，按照比例分配的方法求出乙的工作效率。然后根据工作量÷工作效率=工作时间求出最终结果。
解 甲一天的工作效率：
乙一天的工作效率：
甲、乙合作一天的工作效率：
(天)
答：若甲、乙一起运，需要6天能运完。
思维训练3
1.甲、乙两个工程队分别负责两项工程。晴天，甲完成工程需要 10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%。实际情况是两队同时开工、同时完工，那么在施工期间，下雨的天数是 天。
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2.甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天。已知甲单独完成这件工作需10.75天。问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成这件工作要用多少天
典型例题4
春节到了，小明和小花折一些千纸鹤去给敬老院老人送祝福，小明单独折需要5小时，小花单独折需要7小时。若小明折1小时后小花接替小明折1小时，再由小明接替小花折1小时……两人如此交替折纸鹤，问折完计划的千纸鹤需共用多少小时
分析 由于两个人交替折千纸鹤，以2小时为一个周期，故而把2小时的工作量看作一个循环，先求出循环的次数，再求出剩下的工作量所需的时间。
解 需循环的次数为 (次),
2个循环后剩下的工作量是
余下的工作量还需小明做的时间为 (时),
这时小明工作的时间超过了1小时，故小明工作1小时后剩余的工作量要小花来完成。
剩余的工作量为
这些工作小花来做需要 (时),
折完计划的千纸鹤需共用的时间为 (时)。
答：折完计划的千纸鹤需共用5 小时。
思维训练4
1.按下面的摆法，第2017个图形是什么样的 在2017个图形中黑圆形有多少个
2.如下是一张50行和100列的表，如果按斜线依次填入自然数(如自然数14在第2行，第4列)。那么，自然数2014 填在第几行、第几列
1 3 6 10 15 ···
2 5 9 14 …
4 8 13 ...
7 12 ···
11 ···
竞赛强化
1.12星座分别为白羊座、金牛座、双子座、巨蟹座、狮子座、处女座、天秤座、天蝎座、射手座、摩羯座、水瓶座、双鱼座。如果用这12星座代表月份，第一个月如果是白羊座，第二个月就是金牛座，第三个月就是双子座……那么假设现在这个月是狮子座，再过 38 个月是 座。
2.用1，3，4，9这四张卡片可以组成不同的四位数，如果把它们从小到大依次排列出来，第1个是1349,第2个是1394,第20个是 。
3.有一个一千位数，每位上的数字都是“3”。这个一千位数除以7的余数是 。
4.观察下列九个数字1,2,3,4,5,6,7,8,9的排列方式。
第一行：1 2 3 4 5 6 7 8 9
第二行：2 3 4 1 6 7 5 9 8
第三行：3 4 1 2 7 5 6 8 9
按以上规律排列，第一行的排列方式，从第一行起到第100行，一共能出现 次。
5.时针现在表示的时间是上午10时整，那么分针旋转2017 周后，时针表示的时间是 时。
的个位数字是多少
7.植树节到了，东东和丽丽准备去公园种一些小树苗，东东单独种完需要 6小时，丽丽单独种完需要8小时。若东东种1小时后丽丽接替东东种1小时，再由东东接替丽丽种1 小时……两人如此交替植树，问种完计划的树苗需共用多少小时
8.小明的爷爷奶奶在乡下编竹筐卖，一批竹子如果第一天爷爷编，第二天奶奶编，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天奶奶编，第二天爷爷编，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩6个不能完成。已知爷爷、奶奶工作效率的比是9：7，爷爷奶奶两人每天各编多少个
9.一项工程，甲、乙合作 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由乙单独做要多少天才能完成
甲、乙两人共同装订一批纸张成册，甲单独装订要7 小时完成，乙单独装订要12 小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1 小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，装订这批纸张共要多少小时
第 21 讲 周期问题
思维训练1
1. 这个月共有31天。
2. 2017年元旦是星期日。
思维训练2
1.个位数字是3。
2. 个位数字是9-2+1=8。
思维训练3
1. 12
2.以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期。容易知道，第一种情况下一定不是完整周期内完成的，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期+1天，第二种可能是完整周期+2天。如果是第一种可能，有甲 丙=丙 甲，得乙=丙： 甲。然而此时甲、乙、丙的效率和为 经
过4个周期后完成 还剩下 1 而甲每天完成 ，所以剩下的 不可能由甲1天完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立。再看第二种可能：
完整周期 不完整周期 完成总工程量
第一种情况 n个周期 甲1天,乙1天 “1”
第二种情况 n 个周期 乙1天,丙1天, “1”
第三种情况 n个周期 丙1天,甲1天, “1”
由上表可得甲+乙=乙+丙 甲=丙+甲+ 乙,.所以丙 甲, 甲。因为甲单独做需 10.75 天，所以甲的工作效率为 ，于是乙的工作效率为 丙的工作效率为 于是，一个周期内他们完成的工程量为 则需 (个)完整周期，剩下 的工程量，正好甲、乙各一天完成。所以第二种可能是符合题意的。于是，根据第二种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是 ，所以三人合作完成工作需要 (天)。
思维训练4
1. 2017÷10=201……7(个),故第2017 个图形是白正方形。201×2=402(个),在2017个图形中黑圆形有402个。
2.因为前 50 条斜线，每一条都比前一条多填写一个数，所以前 50 条斜线上的数有1+2+3+…+50=1275(个),即1275填在第1行、第50列,1276 填在第50行、第2列。填到自然数 2014 还需要填2014—1275=739(个)数。由于以后的 50 条斜线上都写 50 个数,而 739÷50=14……39,所以,自然数 1275+50×14=1975应填在第1行、第64列上，而自然数1976应填在第50行、第16列上。
由下表可知2014 填在第12行54列。
自然数 1976 1977 1978 2014
行 数 50 49 48 12
列 数 16 17 18 54
竞赛强化
1. 天秤 2. 9143 3. 0 4. 13 5. 11
6. 1001÷2=500……1,则 79 的个位数字是9, 66 的个位数字是6, 10011001 |的个位数字是1，则 的个位数字是9——6+1=4。
7.需循环的次数为 3(次)，3 个循环后剩下的工作量是 1— 余下的工作量东东还需做的时间为 (时),这时东东工作的时间不超过1小时，故东东工作 小时可以完成余下的工作。则种完计划的树苗需共用的时间为2×3+ (时)。
8. 爷爷每天编6÷(9-7)×9=27(个),奶奶每天编6÷(9--7)×7=21(个)。
9.乙每天能做这项工程的 则乙单独做完成的时间为 (天)。
10.因为在3个小时内甲、乙完成的工作量为 所以9个小时后剩余 ，剩余 由甲完成需要 (时),所以共需要9+0.5=9.5(时)。

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