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第 11 讲圆与扇形
专题概述
圆是平面上的一种曲线图形。扇形可以看作是圆的一部分。它们的相关计算公式如下。
圆的周长=2πr，圆的面积=
扇形的弧长 扇形的面积 扇形的周长
(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)
对于弓形，一般不要求周长，主要求面积。一般来说，弓形面积=扇形面积一三角形面积。(除了半圆)
“弯角”[图(1)]：弯角的面积=正方形面积一扇形面积
“谷子”[图(2)]：谷子的面积=弓形面积×2
典型例题1
如图所示，正方形周长是圆环周长的2倍，当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈
分析 因为正方形周长是圆环周长的2倍，所以圆环滚过正方形每条边都转 圈，滚过顶点时又转 圈。所以，当圆环滚动一周再回到原来位置时，共转了 4 个 圈。
解 圈)
答：这个圆环转了3圈。
思维训练1
1.如图所示，一块半径为2厘米的圆板，从平面上1的位置沿线段AB，BC，CD 滚到2的位置，如果AB，BC，CD 的长都是20厘米，那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米
2.图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心。如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米
典型例题2
如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径，已知：AB=BC=8，那么阴影部分的面积是多少 (圆周率π=3.14)
解 如图所示，作出辅助线，则阴影部分面积=三角形AED的面积—正方形BEDO的面积+圆面积的
思维训练2
1.如图,半圆 的面积是25.12平方厘米，圆. 的面积是28.26平方厘米，那么长方形的面积(阴影部分的面积)是多少平方厘米
2.如图，已知圆心是O，半径r=9厘米， ，那么阴影部分的面积是多少平方厘米 (π≈3.14)
典型例题3
如图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米 (精确到0.01米)
分析 半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然两条弯道的半径都不知道，但两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。
解 设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为
πR--πr=π(R-r)
=3.14×1.22≈3.83(米)。
答：外道的起点在内道起点前面3.83米。
思维训练3
1.如图所示，若图中的圆和半圆都两两相切，两个圆和三个小半圆的半径都是1。求阴影部分的面积。
2.有七根直径为7 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆，如图所示，此时橡皮筋的长度是多少厘米
典型例题4
牧场上有一个长25米、宽15米的关闭着的绵羊圈，在绵羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只绵羊，如图所示。问：这只绵羊能够活动的范围有多大
解
(平方米)
答：这只绵羊能够活动的范围是2786.75平方米。
思维训练4
1.两个小圆的周长的和与大圆的周长相比，哪个长 (单位：厘米)
2.有三个面积都是S 的圆放在桌上，桌面被圆覆盖的面积是2S+2，并且重合的两块是等面积的，直线a过两个圆心A，B，如果直线a下方被圆覆盖的面积是9，求圆面积S 的值。
竞赛强化
1.如图是一个直角等腰三角形，直角边长为4厘米，图中阴影部分面积是 平方厘米。
2.图中阴影部分的面积是 平方厘米。
3.图中阴影部分的面积是 平方厘米。
4.一个扇形的圆心角为 ，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是240平方厘米，则这个扇形的面积是 。
5.已知图中大正方形的边长是8厘米，中间小正方形的边长是 6厘米，求阴影部分的面积。
6. 将直角三角形ABC 放在一条直线上，斜边 AC 长30厘米，直角边 BC 长15 厘米。如图所示，三角形 ABC 由位置Ⅰ绕A 点转动，到达位置Ⅱ,此时B,C 点分别到达B ,C 点;再绕 点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C 点分别到达. C 点。求C 点经C 到C 走过的路径的长。
7. 如图所示，四边形ABCD 是正方形， 厘米，阴影部分的面积是多少
8. 如图,. 的圆的周长为94.2厘米，平行四边形 ADCB 的面积为120平方厘米，阴影部分的面积是多少
9.图中的正方形的边长是4厘米，以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是多少平方厘米
思维训练1
1.圆板的正面滚过的部分如图阴影部分所示，所以它的面积为
(平方厘米)。
圆与扇形
2.图中正方形可以分割成两个底为2、高为1的三角形，其面积为 2(平方厘米)。正方形内空白部分面积为一个圆的面积与正方形的面积之差，即π (平方厘米)，所以所有空白部分面积为2(π—2)平方厘米。故阴影部分面积为 4个圆的面积之和与所有空白面积之和的差，即为 -2)=2π+4(平方厘米)。
思维训练2
1. 由半圆 S 的面积是25.12平方厘米可得半圆S 半径的平方为 25.12×2÷3.14=16(平方厘米)，故半圆S 的半径为4 厘米，直径为8厘米。又圆S 的面积为28.26平方厘米，所以S 半径的平方为28.26÷3.14=9(平方厘米),所以它的半径为3厘米，直径为6厘米。所以阴影部分的面积为(8—6)×6=12(平方厘米)。
2. 因为∠1+∠2=30°,所以∠BOC=60°,则阴影部分面积为 42.39(平方厘米)。
思维训练3
1.阴影部分面积
2. 橡皮筋的长度为 7×6+7×3.14=63.98(厘米)
思维训练4
1.大圆的周长为 18π，两个小圆的周长为 8π+10π=18π，所以两个小圆的周长的和与大圆的周长相等。
2.设一个阴影部分的面积为x，则有 3S—2x=2S+2,于是S=2x+2①。又2S— 于是有 代入①得S=6。
竞赛强化
1. 4.56 2. 40 3. 25 4. 209.33平方厘米
5.将阴影部分旋转后，可以看出所求阴影部分的面积为大正方形面积的一半减去小正形面积的一半，即阴影部分面积为8 ÷ (平方厘米)。
102.05(厘米)。
7.如图，连接AC，将①移到②后通过观察可
得阴影部分面积=梯形CEFB 的面积—三角形CED 的面积一三角形CDA 的面积—扇形AFG的面积=(4+4×3)×4× (平方厘米)。
8. 如图,连接OA,AC,过A 点作CD 的垂线交 CD 于E。三角形 ACD 的面积为120÷2=60(平方厘米)。又圆的半径为94.2÷(3.14×2)=15(厘米),因为∠1=15°,又OA=OD,故∠AOC=15°×2=30°,扇形 AOC 的面积为 (平方厘米)。又三角形AOC的面积为60÷2=30(平方厘米)，则弓形面积为58.88—30—28.88(平方厘米),从而阴影部分的面积为 60—28.88=31.12(平方厘米)。
9.图中大扇形的面积： 12.56 (平方厘米),
甲部分的面积： (平方厘米)，
乙部分的面积： 2.28(平方厘米),
乙两部分面积差: 2.28—1. 72—0.56(平方厘米)。

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