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第一章 集合与逻辑
1．1　集合
最新课程标准 学科核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系． 2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 3．在具体情境中，了解空集的含义． 1.能判断元素与集合的关系．(逻辑推理) 2．记住并会用常见数集的表示符号．(数学抽象) 3．能用列举法和描述法表示集合．(数学抽象) 4．能利用集合的基本属性解题．(逻辑推理)
1.1.1　集合
第1课时　集合与元素
教材要点
要点一　集合与元素的概念
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个________________，这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个________．
要点二　元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果________________，就说a属于S ________ a属于S
不属于 如果________________，就说a不属于S ________ a不属于S
状元随笔　a∈S与a S这两种情况有且只有一种成立．
要点三　元素的基本属性
(1)互异性：同一集合中的元素是________________．
(2)确定性：集合中的元素是确定的．亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的．
(3)无序性：集合中的元素________．
状元随笔　(1)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(2)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1 构成的集合是同一个集合．
要点四　常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ________ ________ ________ ________ ________
状元随笔　
要点五　集合的分类
(1)有限集：元素个数________的集合叫有限集(或有穷集)．
(2)无限集：元素________的集合叫无限集(或无穷集)．
(3)空集： 没有元素的集合叫空集，记作________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　)
(2)我班喜欢打篮球的同学不能组成一个集合．(　　)
(3)空集是无限集．(　　)
(4)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.(　　)
2．(多选)下列元素与集合的关系判断正确的是(　　)
A．0∈N B．π∈Q
C．－1∈Z D． R
3．已知集合A含有三个元素0，1，x－2，则实数x不能取的值是________．
4．若A是不等式4x－5＜3的解集，则1________A，2______A．(用∈或 填空)
题型1　集合概念的理解
例1　判断下列每组对象能否构成一个集合：
(1)援助湖北抗击新冠疫情的医护人员；
(2)我校2021级所有高个子同学；
(3)不小于3 的自然数；
(4)的近似值的全体．
方法归纳
判断一组对象能否组成集合的策略
(1)注意集合中元素的确定性，看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)注意集合中元素的互异性、无序性．
跟踪训练1　(多选)下列对象能构成集合的是(　　)
A．联合国常任理事国
B．充分接近的实数的全体
C．方程x2＋x－1＝0的实数根
D．全国著名的高等院校
题型2　元素与集合的关系
例2　(1)(多选)由不超过5的实数组成集合A，a＝，则(　　)
A．a∈A B．a2∈A
C．∈A D．a＋1∈A
(2)给出下列关系：①∈R；②|－3| N；③|－|∈Q；④0 N.其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
方法归纳
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
跟踪训练2　(1)给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a Z；
③若a∈Q，b∈N，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　)
A．a∈M B．a M
C．a＝M D．a≠M
题型3　集合特性的应用
例3　设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1).
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素．
(2)集合A不可能是单元素集．
变式探究　本例前提条件不变，求证以下两个问题：
(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素．
(2)若a∈A，则1－∈A.
方法归纳
根据集合中元素的特性求值的三个步骤
跟踪训练3　设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，
(1)求实数x应满足的条件．
(2)若－2∈A，求实数x.
易错辨析　忽略集合元素的互异性
例4　设a，b∈R，集合A中含有三个元素1，a＋b，a，集合B中含有三个元素0，，b，且A＝B，则a2 021＋b2 021＝________．
解析：易知a≠0，a≠1，则根据两个集合相等可知a＋b＝0，且b＝1或＝1.若b＝1，由a＋b＝0得a＝－1，经验证，符合题意；若＝1，则a＝b，结合a＋b＝0，可知a＝b＝0，不符合题意．综上可知a＝－1，b＝1.故a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋12 021＝0.
答案：0
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略了集合中元素的互异性，当a＝1时，在一个集合中出现了两个相同的元素． 含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论．
课堂十分钟
1．下列各组对象可以组成集合的是(　　)
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
2．设M是所有偶数组成的集合，则(　　)
A．3∈M B．1∈M
C．2∈M D．0 M
3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(　　)
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
4．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a A，则实数a的取值范围是________．
5．已知集合A是由所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成的，判断－6＋2是不是集合A中的元素．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
　集合或集　元素
要点二
a是集合S的元素　a∈S　a不是集合S中的元素　a S
要点三
　互不相同的　没有顺序
要点四
N　N*或N＋　Z　Q　R
要点五
　有限　无限多　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：显然AC正确；π是无理数，B不正确；是实数，D不正确．故选AC.
答案：AC
3．解析：由元素的互异性可知x－2≠0且x－2≠1，即x≠2且x≠3.
答案：2，3
4．解析：由4x－5<3得x<2，则1∈A，2 A.
答案：∈　
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)能构成集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(3)对于任意一个自然数能判断是不是不小于3，所以能构成集合．(4)“的近似值”没有明确精确到什么程度，因此很难判断一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．
跟踪训练1　解析：B、D中的元素不能确定，不能构成集合，故选AC.
答案：AC
例2　解析：(1)a＝<＝4<5，
所以a∈A，a＋1<＋1＝5，
所以a＋1∈A，a2＝()2＋2＋()2＝5＋2>5，所以a2 A，
＝＝
<5，所以∈A.故选ACD.
(2)①正确；②③④不正确．故选A.
答案：(1)ACD　(2)A
跟踪训练2　解析：(1)实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．
(2)判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵<2，∴a M.
答案：(1)B　(2)B
例3　证明：(1)若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
根据集合中元素的互异性可知，A中另外两个元素为－1，，结论得证．
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集．
变式探究　证明：(1)因为3∈A，
所以＝－∈A，
所以＝∈A，
所以＝3∈A，
根据集合中元素的互异性可知，A中另外两个元素为－，结论得证．
(2)因为a∈A，所以∈A，
所以＝＝1－∈A.
跟踪训练3　解析：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.
(2)因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2.
[课堂十分钟]
1．解析：A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．故选B.
答案：B
2．解析：∵0和2是偶数，∴2∈M，0∈M，故选C.
答案：C
3．解析：由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.
答案：A
4．解析：∵x≥2，且a A，∴a<2.
答案：a<2
5．解析：因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋2＝3×(－2)＋×2是形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数，即－6＋2是集合A中的元素．
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湘教版高中数学必修第一册-1.1.3集合的交与并-学案讲义
最新课程标准 学科核心素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集. 2．能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 1.能用Venn图表示并集、交集．(直观想象) 2．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确地进行集合的并集与交集运算．(数学运算)
教材要点
要点一　交集
自然语言 把所有既属于集合A又属于集合B的____________组成的集合，称为A与B的交集
符号语言 ________________________(读作“A交B”)
图形语言
运算性质 A＝B＝A，A＝ ＝ ，(A＝A ________________
状元随笔　集合运算中的“又”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B.
要点二　并集
自然语言 把集合A，B中的元素______________组成的集合，称为A与B的并集
符号语言 A＝________________(读作“A并B”)
图形语言
运算性质 A＝B＝A，A＝ ＝A，A (A＝B ________
状元随笔　(1)并集中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同，生活中的“或”是只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分不一定是互相排斥的，“x∈A或x∈B”包括下列三种情况：①x∈A，但x B；②x A，但x∈B；③x∈A且x∈B.
(2)对于A不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)集合A中的元素个数一定等于集合A和B的元素个数的和．(　　)
(2)若集合A，B没有公共元素，则这两个集合就没有交集．(　　)
(3)若A＝A，B≠ ，则B中的每个元素都属于集合A.(　　)
(4)若A＝C则A＝C.(　　)
2．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A＝(　　)
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4} D．{1，3，4}
3．设集合A＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，则A等于(　　)
A．{5，8} B．{3，6}
C．{4，7} D．{3，5，6，8}
4．设集合A＝{x|2≤x＜5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A＝________．
题型1　并集的运算
例1　(1)已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A＝(　　)
A．{x|－1＜x＜1} B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞－1} D．{x|x＞1}
(2)已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0，x∈Z}，B＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈Z}，若A＝{2，3，5}，则A＝________，B＝________.
方法归纳
并集的运算技巧
(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．
跟踪训练1　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＝0}，B＝{1，2，3}，则A＝(　　)
A．{3} B．{1，2，3}
C．{0，2，3} D．{0，1，2，3}
(2)若集合A＝{2，4，x}，B＝{2，x2}，且A＝{2，4，x}，则x＝________．
题型2　交集的运算
例2　(1)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，则A＝(　　)
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|2＜x≤3}
(2)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则＝(　　)
A．{1，－2，4} B．{(－2，4)}
C．{(1，1)，(－2，4)} D．
方法归纳
求交集的基本思路
首先要识别所给集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果，有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集．
跟踪训练2　(1)已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A＝(　　)
A．{－2，－1，0} B．{－1，0，1}
C．{－1，0} D．{0，1}
(2)若集合A＝{x|－5≤x≤5}，B＝{x|x≤－2或x＞3}，则＝________________________．
题型3　交集、并集性质的应用
例3　(1)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A＝A，则实数a＝________．
(2)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若 ?(A且A＝ ，求a的值．
方法归纳
求集合运算中参数的思路
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．
(2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解，或解集为怎样的范围的问题．
(3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围，解题时，需注意两点：
①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件．
②对于涉及A＝A或A＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性．
跟踪训练3　(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，若A则实数a的取值范围为________．
(2)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A＝R，则实数a的取值范围是________．
易错辨析　利用数轴求参数时忽略端点值能否取到
例4　已知集合A＝{x|x≥4或x＜－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若A＝B，则实数a取值范围为________．
解析：∵A＝B，∴B A.
利用数轴法表示B A.
如图所示．
由数轴知a＋3＜－5或a＋1≥4，
解得a＜－8或a≥3.
∴实数a的取值范围为{a|a＜－8或a≥3}．
答案：{a|a＜－8或a≥3}
易错警示
易错原因 纠错心得
在求解过程中易忽略端点值的取舍，误得a＋3≤－5或a＋1≥4，解得a≤－8或a≥3. 正确的做法就是把端点值代入原式，看是否符合题目要求．
课堂十分钟
1．设集合A＝{x|－2A．{2} B．{2，3}
C．{3，4} D．{2，3，4}
2．已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，则A＝(　　)
A．{x|x≥－5} B．{x|x≤2}
C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－5≤x≤2}
3．(多选)已知集合M＝{1，2，3，4，5}，M＝{4，5}，则N可能为(　　)
A．{1，2，3，4，5} B．{4，5，6}
C．{4，5} D．{3，4，5}
4．设集合A＝{1，2}，则满足A＝{1，2，3}的集合B的个数是________．
5．已知集合A＝{x|3≤x≤6}，B＝{x|a≤x≤8}．
(1)在①a＝7，②a＝5，③a＝4这三个条件中选择一个条件，使得A并求A；
(2)已知A＝{x|3≤x≤8}，求实数a的取值范围．
集合的新定义问题
集合新定义问题的类型：
(1)新定义概念，(2)新定义性质，(3)新定义运算．
解决集合新定义问题的着手点：
(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．
(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．
一、新定义集合的概念
例1　若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集 属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.
则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{ ，{a}，{c}，{a，b, c}}；
②τ＝{ ，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{ ，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ＝{ ，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________.
解析：①τ＝{ ，{a}，{c}，{a，b，c}}，因为{a}＝{a，c} τ，故①中的τ不是集合X上的拓扑；②满足集合X上的拓扑的定义；③中{a，b}＝{a，b，c} τ，故③中的τ不是集合X上的拓扑；④满足集合X上的拓扑的定义，故答案为②④.
答案：②④
二、新定义集合的性质
例2　(1)若集合A具有以下性质：
①0∈A，1∈A；②若x∈A，y∈A，则x －y∈A，且x≠0时，∈A.则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”．则(　　)
A.{1，3，4}为“权集”
B．{1，2，3，6}为“权集”
C．“权集”中元素可以有0
D．“权集”中一定有元素1
解析：(1)①假设集合B是“好集”，当－1∈B，1∈B时，－1－1＝－2 B，这与－2∈B矛盾，所以集合B不是“好集”．②因为0∈Q，1∈Q，对任意x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x －(－y)∈A，即x＋y∈A.
(2)由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，故A不正确；由于1×2，1×3，1×6，2×3，都属于数集{1，2，3，6}，故B正确；由“权集”的定义可知需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C，D错误．
答案：(1)C　(2)B
三、新定义集合的运算
例3　(1)定义集合运算：AB＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A ＝{， }，B ＝{1, }，则集合AB的真子集个数为(　　)
A．8 B．7
C．16 D．15
(2)已知集合A ＝{x∈N|－1≤x≤3}，B ＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　　)
A．15 B．16
C．20 D．21
解析：(1)由题意A＝{}，B＝{1，}，则AB中的元素有(＋1)×(－1)＝1，()×()＝0.(＋1)×(－1)＝2，()×()＝1四种结果，则由集合中元素的互异性可知，集合AB中有3个元素，故集合AB真子集的个数为23－1＝7.故选B.
(2)A＝{0，1，2，3}，B＝{1，3}，
∴A*B中的元素有：
0 ＋1＝1，0 ＋3＝3，1 ＋1＝2，1 ＋3＝4，2 ＋1＝3(舍去)，2 ＋3＝5，3 ＋1＝4(舍去)，3 ＋3＝6
∴A*B＝{1，2，3，4，5，6}
∴A*B中的所有元素之和为
1 ＋2＋ 3 ＋4 ＋5 ＋6＝21.故选D.
答案：(1)B　(2)D
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
元素　A＝{x|x∈A且x∈B}　A B
要点二
放在一起　{x|x∈A或x∈B}　A B
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A＝{1，2，3，4}．
答案：A
3．解析：A＝{5，8}．
答案：A
4．解析：∵A＝{x|2≤x<5}，
B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，
∴A＝{x|3≤x<5}．
答案：{x|3≤x<5}
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．
所以A＝{x|x>－1}．故选C.
(2)设A＝{x1，x2}，B＝{x3，x4}，
因为x1，x2是方程x2－px＋15＝0的两根，
所以x1x2＝15，由已知条件可知
x1，x2∈{2，3，5}，所以x1＝3，x2＝5或x1＝5，x2＝3，所以A＝{3，5}，
因为x3，x4是方程x2－5x＋q＝0的两根，
所以x3＋x4＝5，由已知条件可知
x3，x4∈{2，3，5}，
所以x3＝3，x4＝2或x3＝2，x4＝3，
所以B＝{2，3}．
答案：(1)C　(2){3，5}　{2，3}
跟踪训练1　解析：(1)∵A＝{x|x2－3x＝0}＝{0，3}，∴A＝{0，1，2，3}．故选D.
(2)因为A＝{2，4，x}，B＝{2，x2}，且A＝{2，4，x}，所以B A，所以x2＝4或x2＝x.解得x＝0，1或±2.由元素的互异性知x≠2，所以x＝0，1或－2.
答案：(1)D　(2)0，1或－2
例2　解析：(1)∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，
∴A＝{x|0＜x＜2}．故选A.
(2)由A＝{(x，y)|x＋y＝2}，B＝{(x，y)|y＝x2}得解得或∴A＝{(1，1)，(－2，4)}．故选C.
答案：(1)A　(2)C
跟踪训练2　解析：(1)由题意A＝{－1，0}．故选C.
(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．
由交集的定义可得A＝{x|－5≤x≤－2或3答案：(1)C　(2){x|－5≤x≤－2或3例3　解析：(1)∵集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，A＝A，
∴B A，
∴a＋2＝3，或a＋2＝a2，
解得a＝1，或a＝2，
当a＝1时，A＝{1，3，1}，不成立；
当a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，成立．
故实数a＝2.
(2)A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，
B＝{2，3}，C＝{－4，2}．
因为 ?(A且A＝ ，
那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.
即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.
当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．
当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，
不符合A＝ .综上知，a＝－2.
答案：(1)2　(2)－2
跟踪训练3　解析：(1)由A借助于数轴可知a≥－1.
(2)∵A＝R，画出数轴，如图．
由数轴可知，表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.
答案：(1)a≥－1　(2)a≤1
[课堂十分钟]
1．解析：由题设有A＝，故选B.
答案：B
2．解析：结合数轴(如图)得A＝{x|x≥－5}．
答案：A
3．解析：由题意，集合M＝{1，2，3，4，5}，M＝{4，5}，可得集合N必含有元素4和5，但不能含有1，2，3，根据选项，可得集合N可能为{4，5，6}，{4，5}．故选BC.
答案：BC
4．解析：易知3∈B，除此之外，1，2可以在B中，也可不在B中，共有22种可能，故集合B的个数为4.
答案：4
5．解析：(1)选择条件②a＝5(或③a＝4)．
若选②，则A＝{x|3≤x≤6}≤x≤8}＝{x|5≤x≤6}．
若选③，则A＝{x|3≤x≤6}≤x≤8}＝{x|4≤x≤6}．
(2)因为A＝{x|3≤x≤8}，A＝{x|3≤x≤6}，B＝{x|a≤x≤8}．
结合数轴可得3≤a≤6，
故实数a的取值范围为3≤a≤6.
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湘教版高中数学必修第一册-1.1.2子集和补集-学案讲义
最新课程标准 学科核心素养
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 2．能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 3．在具体情境中，了解空集的含义． 4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 1.能识别给定集合的子集、真子集．(逻辑推理) 2．会列举有限集的所有子集、真子集的方法．(逻辑推理) 3．会判断集合间的关系，并能用符号和Venn图表示．(直观想象) 4．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确地进行集合的补集运算．(数学运算)
教材要点
要点一　子集
文字语言 符号语言 图形语言
如果集合A的________元素都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A，则称A是B的一个子集． 由x∈A，能推出x∈B，就说__________，读作____________或____________
状元随笔　(1)集合A为集合B的子集，表明集合A如果存在元素，则它们都是集合B的元素，但集合B的元素则不一定是集合A的元素；(2)符号“∈”“ ”和“ ”“ ”的使用范围是不一样的，前者用于表示元素和集合的关系，后者用于表示集合和集合的关系．
要点二　集合相等
如果A B并且B A，就说两个集合相等，记作A＝B.
状元随笔　
1．若A B，且B A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A B，且B A.
2．若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．
要点三　真子集
如果A B但A≠B，就说A是B的真子集，记作________．
状元随笔　在真子集的定义中，A ?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
要点四　子集的性质
1．每一个集合都是它自己的子集，即A A.
2．空集是任一集合的子集．
3．对于集合A，B，C，若A B，B C，则A C；若A?B，B?C，则A?C.
要点五　全集与补集
1．全集：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定把集合U叫作全集(或基本集)．
状元随笔　全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在实数范围内研究问题，R是全集；在具体题目中，全集一般是给定的．
2．补集
自然语言 若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集，记作________
符号语言 UA＝________________________
图形语言
运算性质 A∪( UA)＝________，A∩( UA)＝________， U( UA)＝A， UU＝ ， U ＝U
状元随笔　(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是相互依存、不可分割的两个概念．
(2) UA包含三层意思：①A U；② UA是一个集合，且( UA) U；③ UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．
(3)若x∈U，则x∈A或x∈( UA)，二者必居其一．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1){0，1}＝{1，0}＝{(0，1)}．(　　)
(2)如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.(　　)
(3)任何集合都有子集和真子集．(　　)
(4)在全集U中存在某个元素x0，既有x0 A，又有x0 ( UA)．(　　)
2．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(多选)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的是(　　)
A．1∈A B．{－1}∈A
C． A D．{－1，1} A
4．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，则 UA＝________．
题型1　集合的子集、真子集问题
例1　(1)满足{a，b}?M?{a，b，c，d，e}的集合M的个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
方法归纳
1．假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有(2n－1)个；
(3)A的真子集有(2n－1)个；
(4)A的非空真子集有(2n－2)个．
2．求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．
跟踪训练1　(1)若集合A＝{x∈Z|－1＜x＜2}，则A的真子集个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)写出满足{3，4}?P {0，1，2，3，4}的所有集合P.
题型2　集合间关系的判断
例2　指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|0＜x＜5}；
(2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}；
(3)A＝{(x，y)|xy＞0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＞0或x＜0，y＜0}；
(4)A＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}．
方法归纳
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；
若既有A B，又有B A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
跟踪训练2　(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则M与T的关系是(　　)
A．M?T B．M?T
C．M＝T D.M T
(2)设M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　)
A．P N M Q B．Q M N P
C．P M N Q D．Q N M P
题型3　补集运算
例3　(1)设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜－2}，则 UM＝(　　)
A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞2} D．{x|x≤－2或x≥2}
(2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝________．
方法归纳
求补集的原则和方法
(1)一个基本原则．
求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．
(2)两种求解方法：
①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．
②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．
跟踪训练3　已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则 UA＝________．
易错辨析　忽略空集的特殊性致误
例4　设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N M，求所有满足条件的a的取值集合．
解析：由N M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，
得N＝ 或N＝{－1}或N＝{3}．
当N＝ 时，ax－1＝0无解，即a＝0.
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为.
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略了N＝ 这种情况． 空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则．
课堂十分钟
1．集合A＝{－1，0，1}，在A的子集中，含有元素0的子集共有(　　)
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．0∈ B． {0}
C．若a∈N，则－a N D．π Q
3．已知集合A＝{x|ax＝x2}，B＝{0，1，2}，若A B，则实数a的值为(　　)
A．1或2 B．0或1
C．0或2 D．0或1或2
4．设集合A＝{x∈R|x2＋x－1＝0}，B＝{x∈R|x2－x＋1＝0}，则集合A，B之间的关系是________．
5．已知集合A＝{x|－11}，求 RA， RB.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
每个　A B(或B A)　A包含于B　B包含A
要点三
A?B
要点五
UA　{x|x∈U，且x A}　U　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
答案：B
3．解析：由A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}知A、C、D正确，B错误．故选ACD.
答案：ACD
4．解析：由题意，得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故 UA＝{4，6，7，9，10}．
答案：{4，6，7，9，10}
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)根据题意，满足{a，b}?M?{a，b，c，d，e}的集合M有：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}共6个．
(2)因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．所以A的子集有： ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
答案：(1)A　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)∵集合A＝{x∈Z|－1＜x＜2}＝{0，1}，
∴集合A＝{x∈Z|－1＜x＜2}的真子集为 ，{0}，{1}，
所以A的真子集个数为3.故选C.
(2)由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}．
答案：(1)C　(2)见解析
例2　解析：(1)将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．
∴B?A.
(2)∵A是偶数集，B是4的倍数集，∴B?A.
(3)集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素，也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，故A＝B.
(4)对于任意x∈A，有x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5
∵a∈N*，∴a＋2∈N*.∴x∈B.由子集的定义知A B.
设1∈B，此时a2－4a＋5＝1，
解得a＝2∈N*，∵1＋a2＝1在a∈N*时无解，
∴1 A.综上所述，A?B.
跟踪训练2　解析：(1)∵M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，T＝{－1，0，1}，
∴M?T.
(2)∵有一个角是直角的菱形是正方形．
∴正方形应是菱形的一部分，
∵正方形、菱形都属于平行四边形，
∴它们之间的关系是：Q M N P.
答案：(1)A　(2)B
例3　解析：(1)如图，在数轴上表示出集合M，
可知 UM＝{x|－2≤x≤2}．故选A.
(2)∵ UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，∴m＝－3.
答案：(1)A　(2)－3
跟踪训练3　解析：借助数轴得 UA＝{x|x＝－3，或x>4}．
答案：{x|x＝－3或x>4}
[课堂十分钟]
1．解析：含有元素0的子集有：{0}，{0，－1}，{0，1}，{－1，0，1}，共4个．故选B.
答案：B
2．解析：空集中没有元素，A错误；空集是任何集合的子集，B正确；若a＝0，0∈N，C错误；π不是有理数，D正确．故选BD.
答案：BD
3．解析：依题意，当a＝0时，A＝{0}，满足A B.
当a≠0时，若A B，则1∈A，或者2∈A，若1∈A，则a×1＝12，得a＝1；若2∈A，则2a＝22得a＝2，
综上：a＝0，1或a＝2.故选D.
答案：D
4．解析：由已知A＝，B＝ ，故B?A.
答案：B?A
5．解析： RA＝{x|x≤－1或x≥2}， RB＝{x|x≤1}．
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湘教版高中数学必修第一册-1.1.1.2表示集合的方法-学案讲义
教材要点
要点一　集合的表示方法
1．列举法
把集合中的元素____________出来，叫作________．常用格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔．
状元随笔　列举法表示集合时的4个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
把集合中元素________，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合．这叫作________．一般的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性，有些集合用一句描述起来不方便，通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件．
状元随笔　描述法表示集合时的3个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母．
要点二　区间
1．区间的几何表示(a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ________
{x|a＜x＜b} 开区间 ________
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 ________
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 ________
2．实数集R的区间表示
实数集R可以用区间表示为________，“∞”读作“无穷大”(或“无穷”)；“－∞”读作“负无穷大”(或“负无穷”)；“＋∞”读作“正无穷大”(或“正无穷”)．
3．无穷大的几何表示
定义 区间 数轴表示
{x|x≥a} ________
{x|x＞a} ________
{x|x≤b} ________
{x|x＜b} ________
状元随笔　关于区间的3点说明：
(1)区间实质上是一类特殊数集的另一种表示，并不是所有的数的集合都能用区间表示，如{0，1，2}就不能用区间表示．
(2)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a 称为区间(a，b)或[a，b]的长度．
(3)用“－∞”或“＋∞”作为区间端点时，需用开区间符号．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．(　　)
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.(　　)
(3)∞是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．(　　)
(4)集合{x|x＞3}与集合{t|t＞3}相等．(　　)
2．集合{x∈N|x－3＜2}用列举法表示是(　　)
A．{1，2，3，4}　　　　　B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
3．把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列举法表示为(　　)
A．{1，3} B．{x|x＝1，x＝3}
C．{x2－4x＋3＝0} D．{x＝1，x＝3}
4．把集合{x|x≥0}用区间表示为________．
题型1　列举法表示集合
例1　用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
方法归纳
用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么．是数，是点，还是其他元素．
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
跟踪训练1　用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.
题型2　描述法表示集合
例2　用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有非负整数构成的集合；
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；
(4)集合{1，3，5，7，…}．
方法归纳
1．用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素．
2．若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
跟踪训练2　用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
题型3　集合表示方法的综合应用
角度1　用适当的方法表示集合
例3　用适当的方法表示下列集合
(1)被3除余1的自然数组成的集合；
(2)自然数的平方组成的集合；
(3)方程组的解集；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的集合．
方法归纳
根据集合中元素所具有的属性选择适当的方法，列举法的特征是能清楚地展现集合的元素，通常用于元素个数较少的集合，当集合中元素个数较多或无限时，通常不宜采用列举法，应选择描述法．描述法形式简单，用于元素具有明显的共同特征的集合，当元素的共同特征不易寻找，或元素的限制条件较多时，则不宜采用描述法．
跟踪训练3　用适当的方法表示下列集合：
(1)所有奇数组成的集合B；
(2)二次函数y＝x2的图象上所有点的纵坐标组成的集合；
(3)D＝{(x，y)|x＋y＝5，x∈N*，y∈N*}．
(4)构成英文单词mathematics的全体字母．
角度2　已知集合中元素个数求参数
例4　已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．
变式探究　已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围．
方法归纳
1．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点．
2．解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果，需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
跟踪训练4　已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
易错辨析　混淆点集与数集致误
例5　用列举法表示集合正确的是(　　)
A．(－1，1)，(0，0) B．{(－1，1)，(0，0)}
C．{x＝－1或0，y＝1或0} D．{－1，0，1}
解析：解方程组可得或故答案为{(－1，1)，(0，0)}．故选B.
答案：B
易错警示
易错原因 纠错心得
没弄清描述法中代表元素是数还是点，导致错选． 首先要明确集合中元素的属性，即把握住集合的代表元素是什么，然后明确元素具有怎样的共同特征．
课堂十分钟
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)
A．{1，1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
2．设集合A＝{－1，1，2}，集合B＝{x|x∈A且2－x A}，则B＝(　　)
A．{－1} B．{2}
C．{－1，2} D．{1，2}
3．下列集合的表示方法正确的是(　　)
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
4．用区间表示下列数集：
(1){x|2＜x≤4}＝________；
(2){x|x＞－1，且x≠2}＝________．
5．用另一种方法表示下列集合．
(1){绝对值不大于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x＜5且x∈Z}；
(4){(x，y)|x＋y＝6，x，y均为正整数}；
(5){－3，－1，1，3，5}．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
1．一一列举　列举法
2．共有的　描述法
要点二
1．[a，b]　(a，b)　[a，b)　(a，b]
2．(－∞，＋∞)
3．[a，＋∞)　(a，＋∞)　(－∞，b]　(－∞，b)
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由x－3<2得x<5，又x∈N，所以集合表示为{0，1，2，3，4}．
故选D.
答案：D
3．解析：解方程x2－4x＋3＝0得x＝1或x＝3，用列举法表示解集为{1，3}．
答案：A
4．答案：[0，＋∞)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0，1)，故交点组成的集合为{(0，1)}．
(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．
跟踪训练1　解析：(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1，3)，所以D＝{(1，3)}．
例2　解析：(1)小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x|0≤x<10，x∈Z}；
(2)数轴上与原点的距离大于3 的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|>3}；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的特征是横、纵坐标符号相反，因此，构成的集合用描述法可表示为{(x，y)|xy<0}；
(4)集合{1，3，5，7，…}内的元素是全体正奇数，用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋}．
跟踪训练2　解析：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋.所以正偶数可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
例3　解析：(1)描述法：{x|x＝3k＋1，k∈N}．
(2)列举法：{0，12，22，32，…}，也可用描述法：{x|x＝n2，n∈N}．
(3)列举法：{(2，1)}．描述法：
(4)描述法：{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
跟踪训练3　解析：(1)描述法：B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}．
(2)描述法：{y|y＝x2}．
(3)列举法：{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．
(4)列举法：{m，a，t，h，e，i，c，s}．
例4　解析：①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝，符合题意；
②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≤0，得m≥，即当m≥时，方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．由①②知m＝0或m≥.
变式探究　解析：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素，由例题可知，当m＝0或m＝时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－12m>0，即m<且m≠0.所以A中至少有一个元素时，m的取值范围为m≤.
跟踪训练4　解析：(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，A＝{2}；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}．综上所述，k＝0时，集合A＝{2}；k＝1时，集合A＝{4}．
[课堂十分钟]
1．解析：∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.
答案：B
2．解析：当x＝－1时，2－(－1)＝3 A；当x＝1时，2－1＝1∈A；当x＝2时，2－2＝0 A.∴B＝{－1，2}．故选C.
答案：C
3．解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{　}”与“全体”意思重复．故选D.
答案：D
4．答案：(1)(2，4]　(2)(－1，2)
5．答案：(1){－2，－1，0，1，2}；
(2){3，6，9}；
(3){0，1，2，3，4}；
(4){(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}；
(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．
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