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2.1.1有理数的加法
第二章 有理数的运算
学习目标
理解有理数加法的意义，掌握有理数的加法运算法则，能熟练地进行有理数的加法运算.
掌握有理数的加法运算律，并学会运用运算律对算式进行简化运算.
应用有理数的加法解决实际问题.
新知导入
【思考】小学学过的加法涉及正数与正数相加、正数与0相加及0与0相加，引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？
正数 0 负数
正数 正数+正数 正数+0 正数+负数
0 —— 0+0 0+负数
负数 —— —— 负数+负数
探究新知
一个物体沿着一条直线作左右方向运动，我们规定向左为负，向右为正.例如，将向右运动5m记作5m，向左运动5m记作-5m.
【探究1】如果物体沿着这条直线先向右运动5m，再向右运动3m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？
两次运动后结果为向右运动了8m，记做：+8m
（+5）＋（+3）＝+8 ①
能用一个算式表示吗？
探究新知
【探究1】如果物体沿着这条直线先向右运动5m，再向右运动3m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？
将物体运动的起点放在原点，这个算式可用数轴表示为：
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
＋5
＋3
＋8
（+5）＋（+3）＝ +8 ①
探究新知
【探究2】如果物体先向左运动5m，再向左运动3m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？
两次运动后结果为向左运动了8m，记做：-8m
（-5）＋（-3）＝ -8 ②
能用一个算式表示吗？
探究新知
【探究2】如果物体先向左运动5m，再向左运动3m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？
将物体运动的起点放在原点，这个算式可用数轴表示为：
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
– 5
– 3
– 8
（-5）＋（-3）＝ -8 ②
归纳总结
符号相同的两个数相加，和的符号不变，绝对值相加.
你能发现什么？
②
（-5）+（-3）＝-8
①
（+5）+（+3）＝+8
探究新知
【探究3】如果物体先向左运动3m，再向右运动5m，那么两次运动的最后结果怎样？如何用算式表示？
两次运动后结果为向右运动了2m，记做：+2m
能用一个算式表示吗？
（+5）+（-3）＝+2 ③
探究新知
【探究3】如果物体先向左运动3m，再向右运动5m,那么两次运动的最后结果怎样？如何用算式表示？
将物体运动的起点放在原点，这个算式可用数轴表示为：
+2
+5
-3
-9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
（+5）+（-3）＝+2 ③
探究新知
【探究4】如果物体先向右运动3m，再向左运动5m，那么两次运动的最后结果怎样？如何用算式表示？
两次运动后结果为向左运动了2m，记做：-2m
能用一个算式表示吗？
（-5）+（+3）＝ -2 ④
探究新知
【探究4】如果物体先向右运动3m，再向左运动5m,那么两次运动的最后结果怎样？如何用算式表示？
将物体运动的起点放在原点，这个算式可用数轴表示为：
-9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
+3
-5
-2
（-5）+（+3）＝ -2 ④
归纳总结
你能发现什么？
绝对值不相等、符号相反的两个数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③
（-5）+（+3）＝ -2
④
（+5）+（-3）＝ +2
探究新知
【探究5】如果物体先向右运动5m，再向左运动5m,那么两次运动的最后结果如何？
两次运动后结果为仍在起点处，记做：0m
能用一个算式表示吗？
（+5）+（-5）＝0 ⑤
探究新知
【探究5】如果物体先向右运动5m，再向左运动5m,那么两次运动的最后结果如何？
将物体运动的起点放在原点，这个算式可用数轴表示为：
+5
-5
-9 -8 -7 -6 -5 –4 -3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
互为相反数的两个数相加，结果为0.
这个算式说明了什么？
（+5）+（-5）＝0 ⑤
探究新知
【探究6】如果物体第1s向右（或左）运动5m，第2s原地不动，2s后物体从起点向右（或左）运动了5m.如何用算式表示呢？
（+5）+0 ＝ +5
（或）（-5）+ 0 ＝ -5
你可以得到什么结论？
一个数同0相加，仍得这个数．
【思考】按照有理数加法法则进行正数及0的加法运算，它和小学学过的正数及0的加法运算一致吗？
一致. 一个数与0相加，仍得这个数.
归纳总结
有理数加法法则
1.同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加.
2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0.
3.一个数同0相加，仍得这个数.
两个有理数相加，和是一个有理数
例题练习
解：(1) (-3) + (-9) = - (3+9) = -12;
(2) (-8) + 0 = -8;
(3) 12 + (-8) = +(12 - 8) = 4;
(4) (-4.7) + 3.9 = - (4.7-3.9) = -0.8;
(5)
计算：
在运算过程中，“先定和的符号，再算和的绝对值”，是一种有效的方法.
（1）(-3) + (-9)； （2）(-8) + 0； （3）12 + (-8)；
（4）(-4.7) + 3.9；（5）
归纳总结
有理数加法的运算步骤：
一、要辨别加数的类型(同号、异号)；
二、要确定和的符号；
三、要计算绝对值的和（或差）.
探究新知
【思考】任何一个数加上一个正数，和与原来的数有怎样的大小关系？加上一个负数呢？请你先借助数轴直观地得出结论，再利用有理数的加法法则进行说明.
探究新知
记 a 为任何一个数，b 为一个正数，
则 a+b____c.
由数轴上右边的数大于左边的数可得， c___a，即a+b___a.
a
c
b
>
=
任何一个数加上一个正数，和大于原来的数.
>
探究新知
记 a 为任何一个数，d 为一个负数，则 a +d ____ e.
由数轴上右边的数大于左边的数可得， a ___ e，即a ___a+d
=
任何一个数加上一个负数，和小于原来的数.
>
e
a
d
>
探究新知
我们以前学过加法交换律、结合律，对于有理数的加法它们还成立吗？
【探究7】 计算：30 + (-20) ，(-20) + 30；
30 + (-20) = 10，(-20) + 30 = 10；
【发现】两个算式的结果相同.
两个算式的第二个算式是由第一个算式交换两个加数的位置得到的.
归纳总结
加法交换律： a+b=b+a.
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
探究新知
【探究8】计算
【发现】两个算式的结果相同.
[8+ (-5)]+(-4) ，8+[(-5) +(-4)].
解：[8+ (-5)] + (-4) = -1， 8+[(-5) + (-4)] = -1
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
【结论】在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
例题练习
计算： （1）8 + (-6) + (-8) ； （2）16 + (-25) + 24 + (-35).
【分析】 （1）中，把互为相反数的一对数结合起来相加；（2）中，把正数和负数分别相加，从而使计算简化，这样做既利用了加法交换律，又利用了加法结合律.
例题练习
解（1）8 + (-6) + (-8)
=[8+(-8)] + (-6)
=0 + (-6)
= -6；
（2）16+(-25)+24+(-35)
= (16+24)+[(-25)+(-35)]
= 40+(-60)
= -20.
计算： （1）8 + (-6) + (-8) ； （2）16 + (-25) + 24 + (-35).
例题练习
10袋小麦称后记录(单位：kg) 如图所示.10 袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50 kg为质量标准，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
50.5 50.5 50.8 49.5 50.6
50.7 49.2 49.4 50.9 50.4
解法1：先计算10袋小麦一共多少千克：
50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5.
再计算总计超过多少千克：
502.5－50×10 ＝ 2.5.
例题练习
解法2：把每袋小麦超过50 kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数.
10袋小麦对应的数分别为+0.5，+0.5，+0.8，－0.5，+0.6，+0.7，－0.8，－0.6，+0.9，+0.4.
10袋小麦称后记录(单位：kg) 如图所示.10 袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50 kg为质量标准，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
50.5 50.5 50.8 49.5 50.6
50.7 49.2 49.4 50.9 50.4
例题练习
0.5 + 0.5 + 0.8 +（-0.5）+ 0.6 + 0.7 +（-0.8）+（-0.6）+ 0.9 + 0.4
= [0.5 + (-0.5)] + [0.8 + (-0.8)] + [0.6 + (-0.6)] + (0.5+0.7+0.9+0.4)
= 2.5.
50×10+2.5=502.5.
答：10袋小麦一共502.5 kg，总计超过2.5 kg.
10袋小麦称后记录(单位：kg) 如图所示.10 袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50 kg为质量标准，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
例题练习
解法2把互为相反数的一对数结合起来相加，可以使计算简化.这种解法利用了加法交换律和加法结合律.
比较两种解法，解法2中使用了哪些运算律？
D
A
D
A
加法的交换律
加法的结合律
同号两数相加运算法则
-20
小结
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
加法交换律： a+b=b+a.
有理数加法法则
1.同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加.
2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0.
3.一个数同0相加，仍得这个数.
谢谢各位同学的观看

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