资源简介

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1．2.2　充分条件和必要条件
最新课程标准 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 学科核心素养
1.能对充分条件、必要条件、充要条件进行判断．(逻辑推理) 2．能从集合的观点理解充分条件、必要条件．(直观想象) 3．能利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围．(逻辑推理)
教材要点
要点一　充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 由p可以推出q，记为：________ 由p不能推出q，记为：________
条件 关系 p是q的____________ p不是q的____________
q是p的____________ q不是p的____________
状元随笔　若p q，则p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可．
要点二　充要条件
如果既有p q，又有q p，就记作________．即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．换句话说，如果一个命题和它的________都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件．
状元随笔　对于充要条件，要熟悉它的同义语“p是q的充要条件”可以说成“p与q是等价的”“q成立当且仅当p成立”“q成立必须且只需p成立”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．(　　)
(2)p是q的必要条件的含义是：如果p不成立，则q一定不成立．(　　)
(3)p是q的充分条件只反映了p q，与q能否推出p没有任何关系．(　　)
(4)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．(　　)
2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．“x＞0”是“x＞1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件．
题型1　充分条件、必要条件的判断
例1　下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：平行四边形，q：正方形；
(4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根．
方法归纳
充分条件、必要条件判断方法
(1)定义法
①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．②找推式：判断“p q”及“q p”的真假．
③根据推式及条件得出结论．
(2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．
(3)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．
跟踪训练1　(1)祖暅原理：”幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的原理，意思是两个等高的几何体，若在同高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等．q：A，B在同高处的截面积恒相等．根据祖暅原理可知，q是p的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是(　　)
A．x＞3.5 B．x＜3
C．x＞4 D．x＜4
题型2　充要条件的判断
例2　(1)(多选)下列结论中，正确的有(　　)
A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
D．x，y均为奇数是x＋y为偶数的必要不充分条件
(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
①s是q的什么条件？
②r是q的什么条件？
③p是q的什么条件？
方法归纳
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
跟踪训练2　(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)
A．ab＝0 B．ab＞0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0
(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分不必要条件
B．丙是甲的必要不充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙是甲的既不充分又不必要条件
题型3　充分条件、必要条件和充要条件的证明
例3　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
方法归纳
充要条件的证明思路
(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．
一般地，证明“p成立的充要条件为q”；
①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．
(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性( )，也可以直接证明充要性．
跟踪训练3　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
题型4　充分条件、必要条件和充要条件的应用
例4　设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
变式探究　设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
方法归纳
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
跟踪训练4　集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
易错辨析　混淆条件与结论致误
例5　使不等式0＜x＜2成立的一个充分但不必要条件是(　　)
A．0＜x＜1 B．－＜x＜1
C．－1＜x＜2 D．0＜x＜2
解析：设命题p所对应的集合为A，命题q所对应的集合为B，则“p成立的充分不必要条件是q” B?A，所以不等式0＜x＜2成立的充分不必要条件对应的集合是集合{x|0＜x＜2}的真子集，根据选项，只有A符合要求，故选A.
答案：A
易错警示
易错原因 纠错心得
混淆条件与结论容易得出错误答案C. 弄清此类题的条件与结论．本题条件是“选项”，结论是“ 0＜x＜2”，所以“选项”是“0＜x＜2”的真子集．
课堂十分钟
1．命题：p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
2．已知x∈R，则“x＜2”是“＞1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B．“x∈A”是“x∈A”的必要条件
C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件
D．“x＞3”是“x2＞4”的充分条件
4．函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点的充要条件是________.
5．若“x＞m”是“x＞3或x＜1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
p q　pq　充分条件　充分条件　必要条件　必要条件
要点二
p q　逆命题
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，故是充分的，又当x2－2x＋1＝0时，即(x－1)2＝0，x＝1故是必要的，因此是充要条件．
答案：A
3．解析：∵x>0 D /x>1但x>1 x>0.∴“x>0”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
4．解析：∵△ABC是锐角三角形说明△ABC的三个内角都是锐角．∴△ABC是锐角三角形 ∠ABC为锐角，反之不一定．
答案：充分不必要
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)∵a＋b＝0 a2＋b2＝0；a2＋b2＝0 a＋b＝0，∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵四边形的对角线相等四边形是矩形；四边形是矩形 四边形的对角线相等，∴p是q的必要不充分条件．
(3)由图可知B?A，所以p是q的必要不充分条件．
(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－.∵m<－1 m<－，m<－D /m<－1，∴p是q的充分不必要条件．
跟踪训练1　解析：(1)设A为正方体，其棱长为2，体积为8，B为长方体，底面为边长为1的正方形，高为8，显然A，B在等高处的截面面积不相等，所以q是p的不必要条件；当A，B在同高处的截面积恒相等时，根据祖暅原理有A，B的体积相等，所以充分性成立，因此q是p的充分不必要条件．故选A.
(2)∵x>3.5 x>3.14，x>4 x>3.14.∴x>3.14成立的一个充分条件是x>3.5或x>4.故选AC.
答案：(1)A　(2)AC
例2　解析：(1)A中，x2>4 x<－2或x>2D /x3<－8，但x3<－8 x2>4.A正确；B中，AB2＋AC2＝BC2 △ABC为直角三角形，反之不一定，B不正确；C中，a2＋b2≠0 a，b不全为0，C正确；D中，x，y均为奇数 x＋y为偶数，反之不一定，D不正确．故选AC.
(2)①∵q是r的必要条件，∴r q.
∵s是r的充分条件，∴s r，
∴s r q，又∵q是s的充分条件，∴q s.
∴s是q的充要条件．
②由r q，q s r，知r是q的充要条件．
③∵p是r的必要条件，∴r p，
∴q r p.
∴p是q的必要条件．
答案：(1)AC　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.故选D.
(2)如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙 甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙 乙，但乙丙．综上，有丙 乙 甲，甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A.
答案：(1)D　(2)A
例3　证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
跟踪训练3　证明：设p：a＋b＋c＝0；q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
(1)充分性(p q)：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
(2)必要性(q p)：
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
例4　解析：由|4x－1|≤1得－1≤4x－1≤1，故0≤x≤，由q是p的必要不充分条件，即p q，qp，
即?{x|a≤x≤a＋1}．
∴且“＝”不能同时成立，
解得－≤a≤0，
故实数a的取值范围是.
变式探究　解析：∵q是p的充分不必要条件，
∴q p，pq，
∴{x|a≤x≤a＋1}?，
∴，且“＝”不能同时成立，
∴此不等式组无解．
故实数a的取值范围是 .
跟踪训练4　解析：A＝
＝，
B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2}，
∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
∴A?B，∴1－m2≤.
解得m≥或m≤－.
故m的取值范围为m≤－或m≥.
[课堂十分钟]
1．解析：由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得：|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件．
答案：B
2．解析：当x＝－1时，“x<2”成立，但<0 ，故“<1”，故“x<2”不是“>1”的充分条件，
“>1”等价于<0 01能推出x<2，
∴“x<2”是“>1”的必要条件，
故“x<2”是“>1”的必要不充分条件，
故选B.
答案：B
3．解析：A正确，因为“m是有理数” “m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；B不正确，因为“x∈A” “x∈A”，所以“x∈A”不是“x∈A”的必要条件；C正确，由于“x＝3” “x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；D正确，由于“x＞3” “x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．故选ACD.
答案：ACD
4．解析：Δ＝4＋4a＜0，∴a＜－1.
答案：a＜－1
5．解析：由已知条件，如{x|x>m}?{x|x>3或x<1}．∴m≥3.∴m的取值范围是[3，＋∞)．
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第2课时　含量词命题的否定
教材要点
要点　含量词命题的否定
命题的类型 全称命题 特称命题
命题的符号表示 p： x∈I，p(x) p： x∈I，p(x)
命题的否定 的符号表示 p：________________ p：________________
命题的否定 的类型 特称命题 全称命题
状元随笔　特称命题的否定，一般是在存在量词前加“不”或者把存在量词改为全称量词的同时对判断词进行否定，特称命题的否定是全称命题；全称命题的否定，一般是在全称量词前加上“并非”，或把全称量词改为存在量词的同时对判断词进行否定，全称命题的否定是特称命题．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的．(　　)
(2)命题 p的否定是p.(　　)
(3) x∈M，p(x)与 x∈M， p(x)的真假性相反．(　　)
(4)对全称命题或特称命题进行否定时，量词不需要变，只否定结论即可．(　　)
2．命题： n∈N，n2＞3n＋5，则该命题的否定为(　　)
A． n∈N，n2＞3n＋5 B． n∈N，n2≤3n＋5
C． n∈N，n2≤3n＋5 D． n∈N，n2＜3n＋5
3．已知命题p： x∈R，x2－x＋1＞0，则 p(　　)
A． x∈R，x2－x＋1≤0 B． x∈R，x2－x＋1≤0
C． x∈R，x2－x＋1＞0 D． x∈R，x2－x＋1≥0
4．命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________________________．
题型1　全称命题的否定
例1　(1)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(　　)
A．对任意x∈R，都有x2＜0
B．不存在x∈R，使得x2＜0
C．存在x∈R，使得x2≥0
D．存在x∈R，使得x2＜0
(2)写出下列全称命题的否定：
①任何一个平行四边形的对边都平行．
② a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根．
③ a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．
④可以被5整除的整数，末位是0.
方法归纳
全称命题的否定的两个关注点
(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．
跟踪训练1　(1)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A，2x∈B，则(　　)
A． p： x∈A，2x∈B　　　　B． p： x A，2x∈B
C． p： x∈A，2x B D． p： x A，2x B
(2)命题“ x＞0，＞0”的否定是(　　)
A． x＞0，≤0 B． x＞0，0≤x≤1
C． x＞0，≤0 D． x＜0，0≤x≤1
题型2　特称命题的否定
例2　(1)命题p： x＞0，x＋＝2，则 p为(　　)
A． x＞0，x＋＝2 B． x＞0，x＋≠2
C． x≤0，x＋＝2 D． x≤0，x＋≠2
(2)写出下列特称命题的否定，并判断其真假．
①p：存在x∈R，2x＋1≥0.
②q：存在x∈R，x2－x＋＜0.
③r：有些分数不是有理数．
方法归纳
特称命题否定的方法及关注点
(1)方法：与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．
(2)关注点：注意对不同的存在量词的否定的写法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等．
跟踪训练2　(1)命题“ x∈ RQ，x3∈Q”的否定是(　　)
A． x∈ RQ，x3 Q
B． x RQ，x3∈Q
C． x RQ，x3 Q
D． x∈ RQ，x3 Q
(2)写出下列特称命题的否定，并判断真假：
① x，y∈Z，3x－4y＝20.
②在实数范围内，有些一元二次方程无解．
题型3　根据全称命题、特称命题的否定求参数
例3　已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q： x∈R，ax2＋ax＋1≤0.
(1)若 p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若 q为真命题，求实数a的取值范围．
变式探究　本例条件不变，若 p与 q同时为真命题，求实数a的取值范围．
方法归纳
根据命题真假求参数的范围的两个关注点
(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．
(2)求参数范围问题，通常根据有关全称命题和特称命题的意义列不等式求范围．
跟踪训练3　已知命题p： x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且 p是假命题，求实数a的取值范围．
易错辨析　对含量词的命题否定不准确致误
例4　命题“ x＜1，＜1”的否定是________．
解析：特称命题的否定是全称命题，否定时，既改量词，又否结论，∴原命题的否定是 x＜1，0≤x≤1.
答案： x＜1，0≤x≤1
易错警示
易错原因 纠错心得
易出现的错误是：①改量词的同时错改范围，即写成 x≥1；②“＜1”的否定写成“>1”，忽略“＜1”的否定是“0≤x≤1”． 牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此来检验命题的否定是否正确．
课堂十分钟
1．命题：“ x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A． x＜0，x3＋x＜0 B． x＜0，x3＋x≥0
C． x≥0，x3＋x＜0 D． x≥0，x3＋x≥0
2．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　)
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
3．下列四个命题中，真命题是(　　)
A． x∈R，x＋≥2
B． x∈R，x2－x＞5
C． x∈R，|x＋1|＜0
D． x∈R，|x＋1|＞0
4．命题p： x∈R，x2＋3x＋2＜0，则命题p的否定为________．
5．已知命题“ x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命题，求实数a的取值范围．
生活中的命题及逻辑推理问题
例1　除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉．“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件．
答案：B
例2　设S是由任意n(n≥5)个人组成的集合，如果S中任意4个人当中都至少有1个人认识其余3个人(本题中的认识是相互的，即不存在甲认识乙而乙不认识甲的情况)，那么下面的判断中正确的是(　　)
A．S中没有人认识S中所有的人
B．S中至少有1人认识S中所有的人
C．S中至多有2人认识不全S中所有的人
D．S中至多有2人认识S中所有的人
解析：如果S中所有人都相互认识，显然这样的S符合题目条件，从而A，D都是错误的；又设a，b，c是S中的三个人，a，b，c三人间相互不认识，而除a，b，c之外其他(n－3)个人认识所有的人，显然这样的集合符合要求，故C是错误的．若集合S中任何两个人不都互相认识，则不妨设甲、乙互相不认识．任取另外两个人，设为丙、丁．依题意知，甲、乙、丙、丁这四个人必有一个人认识其余3个人，显然，这个人不可能是甲，也不可能是乙，不妨设为丙，则丙认识丁(当然也认识甲和乙)．再在剩下的人中另取一个人戊，并考虑甲、乙、丙、戊，依题意知丙与戊也必相互认识，从而可知丙认识S中所有的人，故B是正确的．
答案：B
例3　运动会上，甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌，其中1人得金牌、1人得银牌、1人得铜牌．王老师曾猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌”，结果王老师只猜对了一人，那么甲、乙、丙分别获得______、______、______牌．
解析：先设王老师猜对的是“甲得金牌”，则“乙不得金牌”是错的，故乙也得金牌，产生矛盾．再设“乙不得金牌”是对的，则“甲得金牌”是错的，故甲也不得金牌，只有丙得金牌，而“丙不得铜牌”是错的，故丙得铜牌，产生矛盾．故猜对的是“丙不得铜牌”，此时甲、乙、丙分别得铜、金、银牌．
答案：铜　金　银
例4　住同一房间的四名女生A，B，C，D，在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲，每个人都做着不一样的事情，有以下五个命题：
(1)A不在修剪指甲，也不在看书；
(2)B不在听音乐，也不在修剪指甲；
(3)若C在修剪指甲，则A在听音乐；
(4)D不在看书，也不在修剪指甲；
(5)C不在看书，也不在听音乐．
若上面的命题都是真命题，问：她们各自在干什么？
解析：由以上五个命题都是真命题，我们可以列表如下：
A B C D
修剪指甲 不在做 不在做 不在做
看书 不在做 不在做 不在做
梳头发
听音乐 不在做 不在做
由表格看出，C在修剪指甲，B在看书，又由命题(3)可知A在听音乐，最后推出D在梳头发．
答案：见解析
例5　主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了，”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．
解析：张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．
答案：见解析
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
x∈I， p(x)　 x∈I， p(x)
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：否定为： n∈N，n2≤3n＋5.故选B.
答案：B
3．解析： p： x∈R，x2－x＋1≤0.故选A.
答案：A
4．解析：特称命题的否定为全称命题，故命题的否定为：“所有三角形的三条中线都不相等．”
答案：所有三角形的三条中线都不相等
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)全称命题的否定是特称命题．“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x∈R，使得x2<0”．故选D.
(2)①存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
② a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．
③ a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
④存在被5整除的整数，末位不是0.
答案：(1)D　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)全称命题的否定是特称命题，将“ ”改为“ ”，“2x∈B”否定为“2x B”，即 p： x∈A，2x B.故选C.
(2)∵>0，∴x<0或x>1，∴命题“ x>0，>0”的否定是“ x>0，0≤x≤1”．故选B.
答案：(1)C　(2)B
例2　解析：(1)特称命题的否定是全称命题，“ x＞0，x＋＝2”的否定为“ x＞0，x＋≠2”．故选B.
(2)①任意x∈R，2x＋1<0，为假命题．②任意x∈R，x2－x＋≥0，因为x2－x＋＝≥0，所以是真命题．③一切分数都是有理数，是真命题．
答案：(1)B　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)“ x∈ RQ，x3∈Q”的否定是“ x∈ RQ，x3 Q”．故选D.
(2)①该命题的否定： x，y∈Z，3x－4y≠20，当x＝4，y＝－2时，3x－4y＝20.因此这是一个假命题．②该命题的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解，这是一个假命题．
答案：(1)D　(2)见解析
例3　解析：(1)因为命题p： x∈R，ax2＋2x＋1≠0，所以 p： x∈R，ax2＋2x＋1＝0.
因为 p为真命题，
所以a＝0，或
解得a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1，
即实数a的取值范围为{a|a≤1}．
(2)因为命题q： x∈R，ax2＋ax＋1≤0.
所以 q： x∈R，ax2＋ax＋1>0.
因为 q为真命题，
所以a＝0，或
解得a＝0，或0即实数a的取值范围为{a|0≤a<4}．
变式探究　解析：由本例解题过程可知{a|a≤1}≤a<4}＝{a|0≤a≤1}，即实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}．
跟踪训练3　解析： p是假命题即p是真命题．
即 x∈{x|－3≤x≤2}，x∈{x|a－4≤x≤a＋5}成立，
所以解得－3≤a≤1，
所以实数a的取值范围为－3≤a≤1.
[课堂十分钟]
1．解析：命题“ x≥0，x3＋x≥0”为全称命题，该命题的否定为“ x≥0，x3＋x<0”．故选C.
答案：C
2．解析：在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故否定为“所有三角形不是等腰三角形”．故选C.
答案：C
3．解析：选项A，当x<0时，x＋≥2不成立，所以A错；选项C，绝对值恒大于等于0，故C错；选项D，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以D错．故选B.
答案：B
4．解析：命题p是特称命题，根据特称命题的否定是改量词，否结论，则是 x∈R，x2＋3x＋2≥0.
答案： x∈R，x2＋3x＋2≥0
5．解析：因为命题“ x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“ x∈R，2x2＋3x＋a>0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>.故实数a的取值范围是a>.
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1．2.3　全称量词和存在量词
最新课程标准 学科核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2．能正确使用存在量词对全称命题进行否定． 3．能正确使用全称量词对特称命题进行否定． 1.理解全称命题与特称命题的概念，并能用数学符号表示．(数学抽象) 2．能判断全称命题与特称命题的真假．(逻辑推理) 3．能对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定．(逻辑推理) 4．能利用命题或它的否定求参数．(逻辑推理、数学运算)
第1课时　含有量词的命题
教材要点
要点一　全称量词和全称命题
全称量词 __________、__________、__________、__________
符号
全称命题 含有____________的命题
形式 “对M中任一个元素x，有p(x)成立”，可用符号简记为“________________”
要点二　存在量词和特称命题
存在量词 __________、__________、__________、__________
符号表示
特称命题 含有____________的命题
形式 “存在M的某个元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“________________”
状元随笔　全称命题与特称命题的区别
(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．
(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)全称命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.(　　)
(2)特称命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．(　　)
(3)在全称命题和特称命题中，量词都可省略．(　　)
(4)全称命题“自然数都是正整数”是真命题．(　　)
2．下列全称命题为真命题的是(　　)
A．所有的质数是奇数
B． x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
3．下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R，|x|≥0
B． x∈N*，(x－1)2＞0
C． x∈R，x＋2 019＜1
D． x∈R，2x＞2
4．下列命题中，是全称命题的是____________；是特称命题的是____________．
①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．
题型1　全称命题及其真假判断
例1　判断下列命题哪些是全称命题，并判断其真假．
(1)对任意x∈R，x2＞0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)对顶角相等；
(4)对任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0.
方法归纳
1．判断全称命题的关键有两点：一是是否具有命题所要求的量词或形式；二是根据命题的含义判断指的是不是全体．
2．要判断全称命题“ x∈M，p(x)”为真，需要对集合M每个元素x，证明p(x)成立．
3．要判断全称命题“ x∈M，p(x)”为假，只需在M中找到一个x0，使p(x0)不成立，即“举反例”．
跟踪训练1　用量词符号“ ”表示下列命题，并判断其真假．
(1)实数都能写成小数形式；
(2)平行四边形的对角线互相平分．
题型2　特称命题及其真假判断
例2　判断下列命题哪些是特称命题，并判断其真假．
(1)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(2)凸多边形的外角和等于360°；
(3)有一个实数x，使＝0；
(4)至少有一个集合A，满足A?{1，2，3}．
方法归纳
1．命题中含有存在量词，则该命题是特称命题．
2．有些命题虽然没有写出存在量词，但其具备 “有些”“有一个”等含义，这样的命题都是特称命题．
3．要判断特称命题“ x∈M，p(x)”为真，只需在M中找到一个x0，使p(x0)成立，即“找特例”．
4．要判断特称命题“ x∈M，p(x)”为假，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都不成立．
跟踪训练2　以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
题型3　根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围
例3　(1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“ x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是________．
(2)若命题“ x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围．
变式探究　若命题“ x∈R，使得方程“x2＋2x＋2＝m”，求实数m的取值范围．
方法归纳
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
跟踪训练3　(1)已知命题p：“ x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
(2)若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
课堂十分钟
1．(多选)下列四个命题中是全称命题的有(　　)
A．y＝ xy＝1
B．矩形都不是梯形
C． x，y∈R，x2＋y2≤1
D．等腰三角形的底边的高线、中线重合
2．下列四个命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立
B．x∈Q，x2＝2
C． x∈R，x2＋1＝0
D． x∈R，4x2＞2x－1＋3x2
3．命题“存在实数x，使得2x大于3x”用符号语言可表示为________.
4．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“ ”或“ ”符号表示为________________．
5．命题：3mx2＋mx＋1＞0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
所有　任意　每一个　任给　全称量词　 x∈M，p(x)
要点二
存在某个　至少有一个　有些　有的　存在量词　 x∈M，p(x)
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：A中，2是质数，但2不是奇数，A不正确；B中，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，B正确；C中，x＝是无理数，x2＝2是有理数，C不正确；D中，个位数是0的整数能被5整除，D不正确．故选B.
答案：B
3．解析：当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．故选B.
答案：B
4．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称命题；④是特称命题．
答案：①②③　④
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)(3)(4)是全称命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(4)是真命题．
跟踪训练1　解析：(1) x∈R，x能写成小数形式，因为无理数不能写成小数形式，所以该命题是假命题．
(2) x∈{x|x是平形四边形}，x的对角线互相平分，由平行四边形的性质可知此命题是真命题．
例2　解析：(1)(3)(4)是特称命题，(1)是真命题，(3)是假命题，(4)是真命题．
跟踪训练2　解析：A中，锐角三角形中的内角都是锐角，A为假命题；B中，是特称命题，当x＝0时，x2＝0成立，B为真命题；C中，因为＋(－)＝0，所以C为假命题；D中，对于任何一个负数x，都有<0，所以D为假命题．故选B.
答案：B
例3　解析：(1)当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是{m|m>－1}．
(2)由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．
答案：(1){m|m>－1}　(2)见解析
变式探究　解析：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1.
跟踪训练3　解析：(1)当x∈R时，x2≥0，若“ x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0.
(2)当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题．
答案：(1)m≥0　(2)m≤5
[课堂十分钟]
1．解析：ABD是全称命题，C是特称命题．
答案：ABD
2．解析： A中x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，故A为真命题；B中因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故B为假命题；C中因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故C为假命题；D中原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故D为假命题．
答案：A
3．解析：命题“存在实数x，使得2x大于3x”用符号语言可表示为： x∈R，2x>3x.
答案： x∈R，2x>3x
4．解析：命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“ ”符号可以表示为 x≤0，x3≤0.
答案： x≤0，x3≤0
5．解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即00恒成立，
所以0综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.
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1．2　常用逻辑用语
1．2.1　命题
最新课程标准 1.了解命题的概念，会判断给定命题的真假． 2．理解命题的一般结构． 学科核心素养 1.通过具体实例了解命题的概念．(数学抽象) 2．能判断命题的真假．(逻辑推理)
教材要点
要点一　命题
1．命题的概念：可以____________________的语句叫作命题．
2．命题的分类
(1)真命题：________的命题叫作真命题．
(2)假命题：________的命题叫作假命题．
(3)猜想：________________的命题可以叫作猜想．
状元随笔　(1)命题是一个陈述句，疑问句或祈使句等均不是命题，如“你今天快乐吗？”“请坐下！”等都不是命题，它们分别是疑问句和祈使句；(2)命题不一定是正确的，但可以作出正确与否的判断，常说的定理、公理等都是正确的，所以是真命题．可以作出判断，只是暂时作不出的陈述句也是命题，如著名的哥德巴赫猜想就是一个命题．
要点二　命题的条件和结论
如果将命题写成“若p，则q”的形式，就将p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．
命题“若p，则q”为真，则记作p q，读作“p推出q”；命题“若p，则q”为假，则记作pq，读作“p推不出q”．
状元随笔　(1)命题的否定就是否定命题的结论，它仍然是一个命题；(2)如果将命题的条件和结论交换一个位置，所得到的命题称为原来命题的逆命题．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.(　　)
(2)一个命题不是真命题就是假命题．(　　)
(3)有的命题只有结论没有条件．
2．(多选)下列语句中是命题的是(　　)
A．空集是任何集合的真子集
B．请起立！
C．单位向量的模为1
D．你是高二的学生吗？
3．下列命题是真命题的是(　　)
A．所有素数都是奇数
B．若a>b，则a－6>b－6成立
C．对任意的x∈N，都有x3>x2成立
D．方程x2＋x＋1＝0有实根
4．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________________．
题型1　命题及其真假的判断
例1　判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由．
(1)求证是无理数；
(2)若x∈R，则x2＋4x＋4≥0；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；
(5)若xy是有理数，则x，y都是有理数；
(6)60x＋9>4.
方法归纳
判断一个语句是否是命题，关键是看它是否符合两个条件：“是陈述句”“可以判断真假”，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．判断命题的真假，往往要综合运用日常生活和生产实践中的知识经验或数学的知识方法．
跟踪训练1　判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
题型2　命题结构的分析与转化
例2　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)当ac>bc时，a>b；
(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
方法归纳
(1)将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则
(2)命题改写中的注意点
若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式．
跟踪训练2　把下列命题改写成“若p，则q”的形式：
(1)各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；
(2)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
(3)钝角的余弦值是负数．
题型3　写出一个命题的否定和逆命题
例3　写出下列命题的否定和逆命题，并判断它们的真假．
(1)正数的平方根都不等于0；
(2)当x＝－2时，x2－x－6＝0；
(3)实数的平方是非负数；
(4)若x，y都是奇数，则x＋y是偶数．
方法归纳
(1)如果一个命题不是“若p，则q”的形式，则改写成这个形式后更有利于对它进行分析；(2)将一个命题的条件和结论交换位置，就变为这个命题的逆命题；将一个命题的条件不变而否定结论，就变为这个命题的否定．
跟踪训练3　写出下列命题的否定和逆命题，并判断它们的真假．
(1)若a＝b，则a2＝b2；
(2)若|2x＋1|≥1，则x2＋x>0.
课堂十分钟
1．下列语句为命题的是(　　)
A．对角线相等的四边形 B．同位角相等
C．x≥2 D．x2－2x－3<0
2．下列命题中的真命题是(　　)
A．互余的两个角不相等
B．相等的两个角是同位角
C．若a2＝b2，则|a|＝|b|
D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(　　)
A．4 B．2
C．0 D．－3
4．命题“若x2<1，则－15．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
参考答案与解析
要点一
1．判断成立或不成立
2．(1)成立　(2)不成立　(3)暂时不知道真假
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×
2．解析：AC是命题．
答案：AC
3．答案：B
4．答案：若a>0，则a>1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)是祈使句，不是命题．
(2)因为x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题．
(3)是疑问句，不是命题．
(4)是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果．
(5)是命题，而且是假命题，如×(－)＝－7是有理数，但和－都是无理数．
(6)不是命题．这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立．
跟踪训练1　解析：(1)是真命题．由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题．x＝4时，不满足2x＋1<0.
(3)是真命题．x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命题．因为当首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．
例2　解析：(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．
(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．
(3)若ac>bc，则a>b.假命题．
(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．真命题．
跟踪训练2　解析：(1)若一个整数的各位上数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．
(2)若一个数能被6整除，则这个数既能被3整除也能被2整除．
(3)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数．
例3　解析：(1)命题p：“若a为正数，则a的平方根不等于0”，
p：“若a为正数，则a的平方根不存在或等于0”，是真命题；
逆命题：“若a的平方根不等于0，则a为正数”，是真命题．
(2)命题p：“若x＝－2，则x2－x－6＝0”，
p：“若x＝－2，则x2－x－6≠0”，是假命题；
逆命题：“若x2－x－6＝0，则x＝－2”，是假命题．
(3)命题p：“若x∈R，则x2≥0”，
p：“若x∈R，则x2<0”，是假命题；
逆命题：“若x2≥0，则x∈R”，是真命题．
(4) p：“若x，y都是奇数，则x＋y不是偶数”，是假命题．
逆命题：“若x＋y是偶数，则x，y都是奇数”，是假命题．
跟踪训练3　解析：(1) p：“若a＝b，则a2≠b2”，是假命题．
逆命题：若a2＝b2，则a＝b，该命题是假命题．
(2) p：“若|2x＋1|≥1，则x2＋x≤0”，是假命题．
逆命题：若x2＋x>0，则|2x＋1|≥1，该命题是真命题．
[课堂十分钟]
1．解析：A、C、D不能判断真假，所以不是命题，故选B.
答案：B
2．解析：由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．
答案：C
3．解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
答案：C
4．答案：若－15．解析：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．
(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．
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