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湘教版高中数学必修第一册-2.1.1.1等式与不等式(1)-学案讲义
教材要点
要点一　不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于
符号 语言 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
状元随笔　不等式a≥b或a≤b的含义
(1)不等式a≥b含义是指“a＞b, 或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
(2)不等式a≤b含义是指“a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．
要点二　比较两个实数a，b大小的依据
1．文字叙述
如果a－b是________，那么a＞b；
如果a－b________，那么a＝b；
如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．
2．符号表示
a－b＞0 a________b；
a－b＝0 a________b；
a－b＜0 a________b.
状元随笔　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　　)
(2)若＞1，则a＞b.(　　)
(3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.(　　)
(4)因为 a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.(　　)
2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　)
A．v＜60 B．v＞60
C．v≤60 D．v≥36
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是________．
题型1　用不等式(组)表示不等关系
例1　(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．
(2)某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？
方法归纳
用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．
(2)适当的设未知数表示变量．
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．
跟踪训练1　(1) 中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示为____________．
(2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：
食物 甲 乙
维生素A/(单位/kg) 600 700
维生素B/(单位/kg) 800 400
设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.
试用不等式表示x，y所满足的不等关系．
题型2　实数(式)的比较大小
例2　已知a＞0，试比较a与的大小．
方法归纳
用作差法比较两个实数大小的四步曲
跟踪训练2　(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　)
A．p＞q B．p≥q
C．p＜q D．p≤q
(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较与的大小．
题型3　不等关系的转化及应用
例3　2021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
方法归纳
现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．
跟踪训练3　甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？
课堂十分钟
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是(　　)
A．m＜n B．m＞n
C．m≥n D．m≤n
3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是(　　)
A．3或4 B．4或5
C．3或5 D．4或6
4．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________．
5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．
参考答案与解析
要点二
1．正数　等于0　负数
2．>　＝　<
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．答案：C
3．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝＋>0，所以M>N.故选A.
答案：A
4．解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)，
又x＜1，∴x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2＞3x.
答案：x2＋2＞3x
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x＞408.故不等关系表示为72＋12x＞408.
(2)设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm.②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
答案：(1)72＋12x＞408　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v＜11.2.
(2)x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有即
答案：(1)7.9≤v＜11.2　(2)见解析
例2　解析：因为a－＝
＝，a＞0
所以当a＞1时，＞0，有a＞；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0＜a＜1时，＜0，有a＜.
综上，当a＞1时，a＞；
当a＝1时，a＝；
当0＜a＜1时，a＜.
跟踪训练2　解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p(2)作差：＝＝.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m>0，∴＜0，∴＜.
答案：(1)C　(2)见解析
例3　解析：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元．
由题意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2，
所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
跟踪训练3　解析：设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a＞0，b＞0，a≠b，)
则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：＝.
乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：＝＝，
因为＝＝＞0，所以＞.
所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．
[课堂十分钟]
1．解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x答案：CD
2．解析：∵n－m＝x2≥0，∴n≥m.故选D.
答案：D
3．解析：设宿舍房间数量为x，男生人数为y，则，解得x＝4，5.所以宿舍可能的房间数量为4或5.故选B.
答案：B
4．解析：因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x答案：x5．解析：(1)设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，则提炼出的不等式为：若b＞a＞0，m＞0，则＜.
(2)设淡糖水b1，含糖a1克，浓糖水b2克，含糖a2克，
易知淡糖水浓度为，浓糖水浓度为，
则混合后的糖水浓度为，
则提炼出的不等式为：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且＜，则＜＜.
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湘教版高中数学必修第一册-2.1.1.1等式与不等式(2)-学案讲义
教材要点
要点　不等式的性质
性质1(对称性)　a＞b ________．
性质2(传递性)　a＞b，b＞c ________．
性质3(加法法则)　a＞b ________
推论1　如果a＋b＞c，那么a＞c－b
推论2　如果a＞b，c＞d，那么________．
性质4(乘法法则)　 ________； ________．
推论3　 ________．
推论4(乘方法则)　a＞b＞0 ________(n∈N＋)
性质5(开方法则)　a＞b＞0 ________(n∈N＋)
性质6　 ________； ________．
状元随笔　(1)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
(2)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a＞b，则ac＞bc.(　　)
(2)a＞b ac2＞bc2.(　　)
(3)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　)
(4)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.(　　)
2．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是(　　)
A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax
3．(多选)若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac＞bc B．a－d＞b－c
C．＜ D．a3＞b3
4．用不等号填空．
(1)如果a＞b ＞0，那么________；
(2)如果a＞b＞c＞0，那么________.
题型1　利用不等式的性质判断命题的真假
例1　(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
(2)(多选)设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac2＞bc2 B．＜
C．a－c＞b－c D．＞
方法归纳
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练1　(1)已知实数0＜a＜1，则下列正确的是(　　)
A．＞a＞a2 B．a＞a2＞
C．a2＞＞a D．＞a2＞a
(2)(多选)已知实数a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．ab＞ac B．c＞0
C．ac＜0 D．cb2＜ab2
题型2　证明不等式
例2　若bc－ad≥0，bd＞0，求证：.
方法归纳
1．不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小．
2．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导．
跟踪训练2　(1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.
(2)若a＜b＜0，求证：＜.
题型3　利用不等式的性质求范围
例3　已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围：
(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
方法归纳
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解．
跟踪训练3　已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3，
(1)求xy的取值范围；
(2)求x－2y的取值范围．
易错辨析　多次使用同向不等式相加致误
例4　已知－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，求2a－4b的取值范围．
解析：2a－4b＝3(a－b)－(a＋b)，
因为－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，所以－5＜－(a＋b)＜1，
－12＜3(a－b)＜6，
所以－17＜2a－4b＜7.
易错警示
易错原因 纠错心得
错解：－1＜a＋b＜5① －4＜a－b＜2② －2＜b－a＜4③ ①＋②再除以2得－＜a＜ ①＋③再除以2得－＜b＜ 所以－23＜2a－4b＜13 错误在于“－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2”与“－＜a＜，－＜b＜”并不等价． 同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎，必要时改换求解的思路和方法．
课堂十分钟
1．与a＞b等价的不等式是(　　)
A．|a|＞|b| B．a2＞b2
C．＞1 D．a3＞b3
2．下列结论正确的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，则a＞c B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d
3．(多选)如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是(　　)
A．＞ B．＜
C．ac2＞bc2 D．a－c＞b－c
4．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________．
5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3.求a＋3b的取值范围．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
bc　a＋c>b＋c　a＋c>b＋d　ac>bc　acbd　an>bn　><>
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.故选B.
答案：B
3．解析：因为a>b>0，c<0，所以acb>0，－d>－c>0，所以a－d>b－c，B正确；因为d，C错误；因为a>b>0，所以a3>b3，D正确．故选BD.
答案：BD
4．解析：(1)∵a＞b＞0，
∴a2＞b2＞0，
∴＜.
(2)∵a＞b＞0，
∴0＜＜，
又c＞0，
∴＜.
答案：(1)＜　(2)＜
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)A中，若a>b，则ac2>bc2(错)，若c＝0，则A不成立；B中，若>，则a>b(错)，若c<0，则B不成立；C中，若a3>b3，且ab<0，则>(对)，若a3>b3且ab<0，则；D中，若a2>b2，且ab>0，则<(错)，若则D不成立．故选C.
(2)对A，当c＝0时，ac2>bc2不成立，A错误；对B，当a＝－1，b＝－2时，<不成立，B错误；对C，因为a>b，两边同时减去c有a－c>b－c成立，故C正确；对D，由于>0，又a>b，故>，故D正确．
答案：(1)C　(2)CD
跟踪训练1　解析：(1)∵0(2)因为实数a，b，c满足c所以a>0，c<0，
由b>c，a>0，得ab>ac，故A正确；
由b0，故B正确；
由a>c，ac<0，得ac<0，故C正确；
由a>c，b2≥0，得cb2≤ab2，当b＝0时，等号成立，故D错误；
故选ABC.
答案：(1)A　(2)ABC
例2　证明：(法一)∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，两边同除以bd，得.
(法二)∵＝＝≤0，
∴.
跟踪训练2　证明：(1)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.
又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.
(2)由于＝＝，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
例3　解析：(1)0≤|a|≤3；
(2)－1(3)依题意得－2(4)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3②
由①②得，－10<2a－3b≤3.
跟踪训练3　解析：(1)∵1(2)由(1)知1[课堂十分钟]
1．解析：可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，
满足a>b，但|a|<|b|，a2所以A，B，C都不正确．故选D.
答案：D
2．解析：若a＝1，b＝0，c＝2，则a>b，c>b成立，而此时a－2，12<(－2)2，B错误；4>1，－1>－2，4×(－1)<1×(－2)，C错误；由不等式同向可加性知D正确．故选D.
答案：D
3．解析：由不等式的性质，AD显然正确，又a>b>0 a2>b2>0 <，B正确，当c＝0时，ac2＝0＝bc2，C错误．故选ABD.
答案：ABD
4．解析：∵－1又x>1，∴y<－y答案：y<－y5．解析：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，则解得λ1＝，λ2＝－.
又－(a＋b)≤，
－2≤－(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1.
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湘教版高中数学必修第一册-2.1.3基本不等式的应用-学案讲义
最新课程标准 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 学科核心素养 会用基本不等式解决实际问题．(逻辑推理、数学运算)
教材要点
要点　基本不等式与最值
已知x，y都为正数，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有________；
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有________．
状元随笔　利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等．
(1)一正：各项必须为正．
(2)二定：各项之和或各项之积为定值．
(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．
题型1　利用基本不等式求最值
例1　(1)已知正数x，y满足x＋y＝4，求的最小值．
(2)已知＝1(x>0，y>0)，求x＋y的最小值．
方法归纳
应用基本不等式解此类题的关键是“1”的整体代入的变形技巧．
跟踪训练1　(1)若a>0，b>0，a＋3b＝1，则的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．3
(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________.
题型2　利用基本不等式解决恒成立问题
例2　已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值等于(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
方法归纳
恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．
跟踪训练2　已知两个正数x，y满足x＋y＝4，则使不等式≥m恒成立的实数m的范围是________．
题型2　利用基本不等式解决实际问题
例3　某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3－(其中0≤x≤2)．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本(10＋2P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋)万元/万件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．
方法归纳
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
跟踪训练3　2016年11月3日20点43分我国长征运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．
(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数．
(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？
(消耗的A材料＝生产时间×每小时消耗的A材料．)
易错辨析　多次使用基本不等式求最值时忽略等号同时成立的条件
例4　已知实数m>0，n>0，且满足2m＋n＝2，则的最小值是________．
解析：∵m>0，n>0，2m＋n＝2，∴m＋＝1.∴＝·＝5＋≥5＋2＝9.当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号．
答案：9
易错警示
易错原因 纠错心得
错解：∵m>0，n>0， ∴2＝2m＋n≥2， ∴mn≤，∴≥2， ∴≥2≥2＝8 故的最小值为8. 上述求解过程中使用了两次基本不等式，但这两次取等号的条件不能同时成立，所以等号取不到． 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取到等号的条件成立．
课堂十分钟
1．若正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．2 C．5 D．4
2．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|a≥3} D．{a|a≤3}
3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
4．已知y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
5．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本f(x)(单位：万元)与年产量x(单位：百台)的函数关系式为f(x)＝，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．
(1)求年利润g(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式(利润＝销售额－投入成本－固定成本)；
(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
　最小值2　最大值
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)＝·＝，当且仅当＝，即x＝4－4，y＝8－4时取等号．
(2)x＋y＝(x＋y)·＝3＋≥3＋2，当且仅当＝，即x＝1＋，y＝2＋时取等号．
跟踪训练1　解析：(1)∵a>0，b>0，a＋3b＝1，∴＝·(a＋3b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝3b时等号成立，所以的最小值为4.
(2)∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋2＝5，
当且仅当＝，即x＝2，y＝1时取等号．
答案：(1)C　(2)5
例2　解析：∵a＞0，b＞0
∴等价于(2a＋b)≥m
又＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b时取等号．
∴m≤9.故选B.
答案：B
跟踪训练2　解析：∵x>0，y>0，x＋y＝4，∴＝·(x＋y)＝＝(5＋4)＝.当＝即x＝，y＝时取等号，∴的最小值是.∴m≤.
答案：m≤
例3　解析：(1)当促销费用为x万元时，
付出的成本是：x＋10＋2
销售收入是：，
故y＝×(4＋)－
整理可得y＝16－，0≤x≤2.
(2)根据(1)中所求，
y＝16－≤16－(2－1)＝16－3＝13，当且仅当x＝1时取得最大值．
故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元．
跟踪训练3　解析：(1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1.
生产m千克该产品需要的时间是.
所以y＝(x2＋9)＝m，1≤x≤10.
(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为：
y＝1 000≥1 000×2＝6 000
(当且仅当x＝，即x＝3时等号成立)
故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克．
[课堂十分钟]
1．解析：因为正实数a，b满足a＋b＝1，
所以＝＝＋3≥2＋3＝5，
当且仅当b＝3a＝时，取等号，
所以的最小值为5.故选C.
答案：C
2．解析：∵当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，即a≤x＋对一切实数x>1均成立，由于x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号，故x＋的最小值等于3，∴a≤3.故选D.
答案：D
3．解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝≥2＝20.
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立．故选B.
答案：B
4．解析：y＝4x＋≥2 ＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时y取得最小值4.又由已知x＝3时，y的最小值为4，所以＝3，即a＝36.
答案：36
5．解析：(1)当0当x≥20时，g(x)＝300x－＋1 700－500＝1 200－.
所以g(x)＝
(2)当0故当x＝15时，g(x)取得最大值g(15)＝－5×(15－15)2＋625＝625；
当x≥20时，∵x＋≥2＝160，
当且仅当“x＝”，即“x＝80”时等号成立，
∴g(x)＝1 200－≤1 200－160＝1 040，
即当x＝80时，g(x)取得最大值g(80)＝1 040，
综上所述：当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元．
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湘教版高中数学必修第一册-2.1.2基本不等式-学案讲义
最新课程标准 学科核心素养
掌握基本不等式(a＞0，b＞0)． 1.理解基本不等式的几何意义及其推导过程．(直观想象、逻辑推理) 2．会用基本不等式解决最值问题．(逻辑推理、数学运算)
教材要点
要点　基本不等式
定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥____________，当且仅当a＝b时，等号成立．
推论：对任意a，b≥0，必有____________，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中称为正数a，b的________，称为正数a，b的____________．
状元随笔　不等式与不等式a2＋b2≥2ab的异同
a2＋b2≥2ab
适用 范围 a，b∈R a＞0，b＞0
文字 叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值
“ ＝”成 立的条件 a＝b a＝b
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当a，b同号时，≥2.(　　)
(2)函数y＝x＋的最小值为2.(　　)
(3)6和8的几何平均数为2.(　　)
(4)不等式a2＋b2≥2ab与有相同的适用范围．(　　)
2．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是(　　)
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2
C．＞ D．≥2
3．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)
A．2 B．a
C． D．3
4．已知x，y都是正数．
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
题型1　利用基本不等式比较大小
例1　若a≥b＞0，试比较a, ，b的大小．
方法归纳
一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R，a＞0，b＞0)和基本不等式(a＞0，b＞0)来比较它们的大小，但此时应特别注意能否取到等号．
跟踪训练1　(1)若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　)
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
(2)已知a＞b＞c，则与的大小关系是________________.
题型2　利用基本不等式证明不等式
例2　已知a，b，c＞0，求证：≥a＋b＋c.
方法归纳
(1)在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a＞0，b＞0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2或(a＞0，b＞0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．
(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
跟踪训练2　已知实数x，y均为正数，求证：(x＋y)()≥25.
题型3　利用基本不等式求最值
例3　(1)对于代数式＋4x.
①当x>0时，求其最小值；
②当x<0时，求其最大值．
(2)设0(3)已知x>2，求x＋的最小值．
方法归纳
应用基本不等式解题的关键在于“拼”、“凑”、“拆”、“合”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．
跟踪训练3　(1)若0A． B．
C．1 D．4
(2)已知x＜，则2x＋的最大值是________．
(3)已知x>1，求y＝的最小值．
课堂十分钟
1．关于命题p： a，b∈R，ab≤，下列说法正确的是(　　)
A． p： a，b∈R，ab≥
B．不能判断p的真假
C．p是假命题
D．p是真命题
2．下列命题中正确的是(　　)
A．当a，b∈R时，≥2＝2
B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)≥4
C．当a＞4时，a＋≥2＝6
D．当a＞0，b＞0时，
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
4．已知t>0，则y＝的最小值为________．
5．设a>0，b>0，证明：≥a＋b.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
2ab　　算术平均数　几何平均数
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以＞0，＞0，所以≥2(当且仅当a＝b时取等号)，即≥2成立．故选D.
答案：D
3．解析：a>1，所以a－1>0，
所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.
当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．故选D.
答案：D
4．解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤＝＝，
即xy的最大值是.
当且仅当x＝y＝时xy取最大值．
答案：(1)2　(2)
题型探究·课堂解透
例1　解析：∵a≥b>0，∴ ≤ ＝a，∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
∴.
又a>0，b>0，则 ≥ ＝.
由a>0，b>0，得，
∵≥ ，∴，
∵－b＝≥0，∴≥b，
∴a≥ ≥b.
跟踪训练1　解析：(1)方法一　∵02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.
方法二　取a＝，b＝，则a2＋b2＝，
2＝，2ab＝，a＋b＝，
显然最大，故选D.
(2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴＝，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．
答案：(1)D　(2)
例2　证明：∵a，b，c，均大于0，
∴＋b≥ 2＝2a，
当且仅当＝b时等号成立．
＋c≥2＝2b，
当且仅当＝c时等号成立．
＋a≥2＝2c，
当且仅当＝a时等号成立．
相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴≥a＋b＋c.
跟踪训练2　证明：(x＋y)＝4＋9＋＝13＋，
又因为x>0，y>0，所以>0，>0，
由基本不等式得，≥2＝12，当且仅当＝时，取等号，
即2y＝3x时取等号，所以(x＋y)≥25.
例3　解析：(1)①∵x>0，∴>0，4x>0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，原式的最小值为8.
②∵x<0，∴－x>0.
则－＝＋(－4x)≥2＝8，当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8.
∴当x<0时，原式的最大值为－8.
解析：(2)∵00，∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号．
∴y的最大值为.
(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝6.
当且仅当x－2＝，
即x＝4时，x＋取最小值6.
跟踪训练3　解析：(1)∵00，
∴y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤·＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取等号．(也可用二次函数配方法求解．)
(2)∵x<，∴1－2x>0，
∵2x＋＝2x－1＋＋1＝－＋1，
∴1－2x＋≥2＝2(当且仅当x＝0时，等号成立)．
∴2x＋≤－2＋1＝－1.
(3)∵x>1，令t＝x－1(t>0)，则x＝t＋1，
所以y＝＝＝＝4t＋≥2＝4.
当且仅当4t＝，即t＝，x＝时取等号．
所以y＝的最小值为4.
答案：(1)B　(2)－1　(3)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：∵命题p： a，b∈R，ab≤，
∴ p： a，b∈R，ab＞，故A错误；
当a，b一正一负时，ab＜0，≥0，ab≤；
当a，b中至少一个为0时，ab＝0，≥0，ab≤；
当a，b均为负数时，a＋b＝－(－a－b)≤－2，
整理得ab≥，当且仅当a＝b时取等号；
当a，b均为正数时，a＋b≥2，整理得ab≤，当且仅当a＝b时，取等号．
∴命题p： a，b∈R，ab≤是假命题，故B，D均错误，C正确．故选C.
答案：C
2．解析：A项中，可能<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2>0，≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，(a>0，b>0)，所以D不正确．故选B.
答案：B
3．解析：由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
答案：C
4．解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时等号成立，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.
答案：－2
5．证明：∵a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a，∴≥a＋b.
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