资源简介

新题型研究之应用性问题（课标版－原创）
【考点知晓】情景应用性问题是中考重要考点之一，是具有实际意义或实用背景的数学问题.由于它来自于生活，生产实践，因此它反映时代气息，关注着社会热点，涉及现实生活各个方面.解决应用性问题的关键是正确理解题意，排除一切非数学因素的干扰，努力读懂题目中的图形、表格及数量之间的关系，然后捕捉每一个有效的信息，将生活中的语言转换成数学语言，实际问题转化为数学问题，并构造出相应数学模型，从而求得问题的正确答案.
【考题漫步】
例1 小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a > 8），就站到A窗口队伍的后面. 过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人.
（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）？
（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其他因素）.
思路分析：由于小杰从2分钟后到达A窗口所花的时间并不包括小杰
买好饭的时间，2分钟后，小杰前面只有a－4×2=(a－8)人，
而1分钟就有4人离开，因此（a－8）人要分钟才会离开，
小杰才能到达A窗口；若在2分钟后小杰从A窗口队伍中到达
B窗口的队伍中去，B队伍同样有人离开，且2分钟期间有12人
离开，有5×2=10人加入B队伍，于是当小杰到达B队之前，
已有人，每分钟有6人离开，故当小杰到达B窗口时，所花时间为分钟，若到达B窗口所花时间比到达A窗口所花时间少，则有.
解：（1）他继续在A窗口排队所花的时间为
（分）
（2）由题意，得
.解得 a > 20.
所以，a的取值范围为 a > 20.
重要提醒：此题的情境学生并不陌生，且立意新颖难度不大，考生在日常生活中经常会遇到卖东西排队的时候，为了节约时间也往往会挑一条速度较快的队伍去排，如果题中的字母a是一个具体的数字，则这个问题就相当容易了，而此题主要就是为了考查考生用字母表示数的问题，能够用含字母的代数式表达所要表达的式子.
触类旁通：有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校．
　　（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
　　（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？
解：（1）∵　＋7＝19＞15，
∴　王老师应选择绕道而行去学校．
（2）设维持秩序时间为t
则－（t＋）＝6，
解之得t＝3（分）．
　　答：维持好秩序的时间是3分钟．
例2 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．
（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
思路分析：（1）由三角形的中位线性质可知，狮子能将公鸡送到吊环上；
（2）由相似三角形性质，通过对应边成比例，问题得解.
解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上．
如图1，当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ，
∵AB为△PHQ的中位线，AB＝1.2（米）
∴QH＝2.4＞2（米）．
（2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝PQ），
狮子刚好能将公鸡送到吊环上
如图2，△PAB∽△PQH，
∴QH＝3AH＝3.6（米）
重要提醒：构造三角形，利用三角形的性质解决应用形问题，是中考的命题热点之一.
触类旁通：如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，
与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面
所形成的影长PE为3.5米，窗户的高度AF为2.5米.
求窗外遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离AD.
(结果精确到0.1米)
思路分析：从第二个饭碗开始，每增加一个饭碗，增加的高度不变，是很典型的一次函数关系.
重要提醒：代定系数法是常用的数学思想方法，常用来求函数表达式.
触类旁通：商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图3的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是 50 ．
例4 近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．
思路分析：从对话内容中找出量与量之间的相等关系（即：同样的钱加的油量不同），是列方程解应用题的关键.
解：设今年5月份汽油价格为x元／升，则去年5月份的汽油价格为（x-1.8）元／升．根据题
意，得
整理，得 x2 - l.8x - 14.4 = 0
解这个方程，得x1=4.8，x2=-3分
经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3 不符合实际意义，故舍去．分
答：今年5月份的汽油价格为4.8元／升．
重要提醒：列分式方程解应用题应注意两点，一是要验根；二是要看结果是否符合题意.
例5 在暑期社会实践活动中，小明所在小组的同学与一 家玩具生产厂家联系，给该厂组装玩具，该厂同意他们组装240套玩具.这些玩具分为A、B、C三种型号，它们的数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数量如图所示：
若每人组装同一种型号玩具的速度都相同，根据以上信息，完成下列填空：
（1）从上述统计图可知，A 型玩具有 套，B型玩具有 套，C型玩具有 套.
（2）若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所画的时间相同，那么的值为 ，每人每小时能组装C型玩具 套.
思路分析：由扇形统计图可知，B型玩具占20％， C型玩具占25％，再由条形统计图中C型玩具每人每小时组装（2a－2）套，可求出a的值.
解：(1) 132,48,60,(2) 4,6,
重要提醒：正确理解条形统计图和扇形统计图的特点是解题关键.
触类旁通：如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图.教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格.
⑴请根据图11中所提供的信息填写右表：
⑵请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好.
⑶依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好.
平均数
中位数
体能测试成
绩合格次数
甲
65
乙
60
解：⑴
平均数
中位数
体能测试成绩合格次数
甲
60
65
2
乙
60
57.5
4
⑵①乙；②甲
⑶从折线图上看，两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势，但是，乙的增长速度比甲快，并且后一阶段乙的成绩合格次数比甲多，所以乙训练的效果较好.
【轻松演练】
1.右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小
等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 3oa .
2.某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销售量与定价的关系
进行了调查，结果如下：
定价(元)
100
110
120
130
140
150
销量(个)
80
100
110
100
80
60
为获最大利润，销售商应该将该品牌电饭锅定价为 130 元.
3.一个篮球需要m元，买一人排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要_______元．
3m＋5n
4.如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于
A．6（＋1）m B． 6 (—1) m
C． 12 (＋1) m D．12（－1）m
5.如图是测量一物体体积的过程：
步骤一，将的水装进一个容量为的杯子中．
步骤二，将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满．
步骤三，同样的玻璃球再加一个放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测一颗玻璃球的体积在下列哪一范围内？
Ａ．以上，以下 Ｂ．以上，以下
Ｃ．以上，以下 Ｄ．以上，以下
6.如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E.C，E，A三点在同一条直线上，点B，E分别在点E，A的正下方且D，B，C三点在
同一条直线上.B，C相距20米，D，C相距40米，
乙楼高BE为15米，甲楼高AD为（ ）米
(小明身高忽略不计).
A、40 B、20 C、15 D、30
7.如示意图，小华家（点A处）和公路（）之间竖立着一块
　　35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了
　　小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区
　　内的那段公路计为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车
　　经过公路段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离
　　是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．
133m
8.如图，“五一”期间在某商贸大厦上从点A到点B悬挂了
一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上．
小明在四楼D点测得条幅端点A的仰角为30ｏ，测得条幅端点B的俯角为45o；小雯在三楼C点测得条幅端点A的仰角为45o，测得条幅端点B的俯角为30ｏ．若设楼层高度CD为3米，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB的长．（结果精确到个位，参考数据=1．732）
解：过D作DM⊥AE于M，过C作CN⊥AE于N，
则：MN=CD=3米，设AM=x，则AN=x+3，
由题意：∠ADM =30ｏ，∠ACN =45ｏ，
在Rt△ADM中，DM=AM·cot30ｏ=x，
在Rt△ANC中，CN=AN=x+3，
又DM=CN=MB，
∴x=x+3，解之得，x=（+1），·
∴AB=AM+MB=x+x+3=2×（+1）+3=3+6≈11（米）
9.小明与小华在玩一个掷飞镖游戏，如图甲是一个把两个同心圆平均分成8份的靶，当飞镖掷中阴影部分时，小明胜，否则小华胜（没有掷中靶或掷到边界线时重掷）．
（1）不考虑其他因素，你认为这个游戏公平吗？说明理由．
（2）请你在图乙中，设计一个不同于图甲的方案，使游戏双方公平．
解：（1）这个游戏公平．
根据图甲的对称性，阴影部分的面积等于圆面积的一半，
∴这个游戏公平．
（2）把图乙中的同心圆平均分成偶数等分，再把其中的一半作为阴影部分即可．
综合题研究之代数与图形综合问题（一）（课标版－原创）
【考点知晓】
考查内容：代数与图形综合问题重点考查运用函数知识、方程的知识及几何知识.解决综合题的能力，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式，同时还要注意自变量的取值范围，它要求考生具有较强的分析问题的能力，会解答代数与几何的综合问题，具有拉大考生分数差距的作用.
考点评说：考查方式多为最后的压轴题，其难度较大，运算量较大，复习时要注意此类题型的训练.
【考题漫步】
例1（06，长春）P为正比例函数y=x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y），
（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标，
（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交，相离时x的取值范围.
思路分析：先求出⊙O的圆心P到直线x=2的距离，再根据直线和圆的位置关系中的圆心到直线的距离与半径的数量关系进行求解.
解：（1）过P作直线x=2的垂线，垂足为A，
当点P在直线x=2右侧时，AP=x-2=3，得x=5，∴P（5，）
当点P在直线x=2左侧时，PA=2-x=3，得x=-1，∴P（-1，-）
∴当⊙P与直线 =2相切时，点P的坐标为（5，）或（-1，-）
（2）当-1当x<-1或x>5时, ⊙P与直线x=2相离
重要提醒:此题是一个动点问题,将一次函数与直线和圆的位置关系结合考查,学生容易忽略的是考虑点P在直线x=2的左右两边的两种情况
触类旁通: (2005年·甘肃省)反比例函数y=-与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点，（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积.
解： （1）解方程组得， ∴A、B两点的坐标分别为（-2，4）（4，-2）
（2）∵直线y=-x+2与y轴交点D的坐标是（0，2）.∴S△AOD=×2×2=2，
S△BOD=×2×4=4， ∴S△AOB=2+4=6
例2（05南京）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元，设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽是x米.
（1）求y与x之间的关系式；
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽.
思路分析：仔细阅读题目，了解总费用包括镜面玻璃的价格，边框的价格以及加工费，然后用代数式准确表达出来，
解：（1）y与x之间的关系式是：y=120×2x×x+30×2（2x+x）+45，
即y=240x2+180x+45
（2）当y=195时，195=240x2+180x+45 解这个方程得：x1=，x2=-，
x2=-不合题意，舍去，当x=时，2x=1.
答：这面镜子的长为1m，宽为m
重要提醒：这道题难度不大，关键是同学们要明白长方形的面积公式，周长公式，熟练地运用代数式表达数量关系.
触类旁通（05黄冈）张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分则刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买了这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少钱？
解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为（x+2）米，依题意
得： x（x+2）×1=15 ， 化简得：x2+2x-15=0
∴x1=-5（舍去）x2=3
∴这种运输箱底部长为5米，宽为3米，由长方体展开图知：要购买矩形铁皮面积为（5+2）×（3+2）=35（m2）
∴做一个这样的水箱要花35×20=700元钱.
例3（06安徽）汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角 F 到楼梯的竖直距离 FG为 1 . 75m ．他量得客厅高 AB = 2 . 8m，楼梯洞口宽AF=2m., 阁楼阳台宽 EF = 3m ．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m,楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？
（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20cm，每个台阶宽要大于20cm, 问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？
思路分析：本题为综合性实际应用题，此类题目要认真分析所给条件，发现△ABC∽△GFA从而求出CD的值.第（2）问可由题意列不等式解决问题.
解： （1）根据题意得：AF∥BC
∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90°
∴△ABC∽△GFA
∴=是 ∴BC=3.2(m),CD=(2+3)-3.2=1.8(m)
(2)设楼梯应建n个台阶,则解得:14∴楼梯应建15个台阶
重要提醒:本题为综合运用相似、不等式等知识的实际问题,中考中关于实际经济生活的应用题为一大热点,题目文字多,数据多,数量关系多,因此理解题意,列出不等式方程是关键,往往需要在给出的问题中设计不同的方案,进而比较择优,寻求最佳方案.
触类旁通(2005·济南)如图，在一个长40m，宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A的路线以3m/s的速度跑向C地，当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地2m的D处时，他和王刚在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.
（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？
（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）
解: (1)由阳光与影子的性质可知DE∥AC,
∴∠BDE=∠BAC,∠BED=∠BCA
∴△BDE∽△BAC, ∴
∵AC=
BD=2(m)= (m), AB=40m
∴DE=
(2)BE==2,王刚到达E点所用的时间为
张华到达D点所用时间为14-4=10(s),张华追赶王刚的速度为(40-)÷10≈3.7(m/s)
例4(2006·旅顺) 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF＝2，
BF＝1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
思路分析：要求矩形PNDM的面积，应设DN=x，NP=y，
则矩形PNDM的面积S=xy再结合已知找出y与x的关系，代入后便可求解.
解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4），
易知CN=4-x，EM=4-y，且有
即：∴y=-x+5
S=xy=-x2+5x（2≤x≤4）此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5
∴当x≤5时，函数值是随x的增大而增大.
对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=-×42+5×4=12
重要提醒：此题综合考查比例线段，二次函数等知识，解决此题的关键在于在AB上找一点P，转变为求PM、PN的长.
触类旁通（05·连云港）如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处，两直角边分别与轴平行，
纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点．
（1）求和的值；
（2）设双曲线在之间的部分为，让一把三角尺的直角顶点在上
滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段交于两点，请探究是否存在点使得，写出你的探究过程和结论．
解：（1）∵在双曲线上，∥轴，∥轴，
∴A，B的坐标分别，．
又点A，B在直线上，∴
解得或
当且时，点A，B的坐标都是，不合题意，应舍去；当
且时，点A，B的坐标分别为,,符合题意．
∴且
（2）假设存在点使得．
∵ ∥轴，∥轴，∴∥，
∴，∴Rt∽Rt,∴,
设点P坐标为（1∴.又，
∴，即　　　
∵方程无实数根，所以不存在点使得．
轻松演练：1如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A1OB1（1）在图中画出△A1OB1（2）求经过A、A1、B1三点的抛物线的解析式.
解：（1）图略
(2)设该抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c
由题意知：A、A1、B1三点的坐标分别
是（-1，0）、（0，1）、（2，0）
∴ 解这个方程组得
∴抛物线的解析式是y=-
2.如图，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，使点A落在抛物线y=ax2（a＜0 ＝的图象上，（1）求抛物线y=ax2的函数关系式.（2）正方形OABC继续接顺时针旋转多少度时，点A再次落在抛物线y=ax2的图象上？并求这个点的坐标.
解：设旋转后点A落在抛物线上点A1处，OA1=1，过A1作A1M⊥x轴于M，则OM=，A1M=，A1（，）
由A1在y=ax2上，则-=a（）2，解得a=- ∴y=-x2
（2）由抛物线关于y轴对称，再次旋转后点A落在抛物线点A2处，点A2与点A1关于y轴对称，因此，再次旋转120°，点A2的坐标为（-，-）
3.(05淄博市)如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平分线交AB于点M，交DC于点N，
（1）设AE=x，四边形ADMN的面积为S，写出S关于x的函数关系式，
（2）当AE为何值时，四边形ADMN的面积最大？最大值是多少？
解：（1）连结ME，设MN交BE于P，
根据题意得：MB=ME，MN⊥BE，
过点N作NF⊥AB于点F，在Rt△MBP和Rt△MNF中，
∠MBP+∠BMP=90°，∠FNM+∠BMN=90°
∵∠MBP=∠MNF，又AB=FN， ∴R△EBA≌R△MNF
∴MF=AE=x
在R△AME中，由勾股定理得：
ME2=AE2+AM2 ， ∴MB2= x2+AM2
即（2-AM）2= x2+AM2，解得：AM=1-
∴四边形ADNM的面积S=-，即所求关系式为S=-
（2）S==-=-
4.（2006年·兰州）在⊙O的内接△ABC中，AB＋AC=12，AD⊥BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x.
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当AB的长等于多少时，⊙O的面积最大，并求出⊙O的最大面积.
解：（1）作直径AE，连结CE，如图所示，则∠ACE=90°，
∵AD⊥BC，∴∠ACE=∠ADB=90°
又∠B=∠E
∴△ABD∽△AEC
∴ 即 整理得y=-
(2)由（1）知y=-，则当x=6时，取得最大值，最大值为6
5. (06年·南昌)如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），OA=2，∠AOB=60°
(I) 求点A的坐标：
(2)若直线AB交x轴于点C，求△AOC的面积.
解：(1)过点A作AD⊥x轴，垂足为D
则OD=OA cos60°=2×=1，
AD=OA sin60°=2×=，
∴点A的坐标为(1，)
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
则有
∴直线AB的解析式为y
令x=0,得，∴
综合题研究之图形综合问题（课标版－原创）
【考点知晓】
考查内容：本节的内容涉及到三角形、四边形等图形的性质与有关证明，还涉及了图形的旋转与平移、圆的有关性质与计算等，解决这些问题常需要用到的数学思想有转化思想、由特殊到一般等，更多时候需要构造全等三角形对所涉及的角、线段进行推理论证.
考点评说：图形的全等、旋转、平移为新课标中的必考内容，对圆的证明不作太高要求，与圆有关的综合问题涉及也较浅显，但其中基础部分在中考中仍占一定的份量.
【考题漫步】
例1. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图1所示.
（1）作出△ABC关于轴对称的△A1B1C1，并
写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后
的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某
直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴.
思路分析： 根据轴对称图形的性质：对称点的连线被
对称轴垂直平分，作出图形的对称图；根据平移前后的图形中对应线段互相平行，可作出已知图形平移后的图形.
解：（1）A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1)
（2）A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1)
（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于直线轴对称.
重要提醒：
平移图形时只要将各特殊点按指定方向平移，
再将平移后所得的对应点连接起来就得到平移后
的图形。
触类旁通：
如图2是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（－2，4），B点坐标为（－4，2）；
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点坐标是_______ ，△ABC的周长是_______（结果保留根号）；
（3）画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连结AB′和A′B，试说出四边形ABA′B′是何特殊四边形，并说明理由。
解：（１）图略
　　（２）图略；（－１，１）　
　　（３）∵△Ａ′Ｂ′Ｃ是由△ABC以点Ｃ为旋转中心，
旋转180°得到的，∴A、C、A′三点共线，B、C、B′三
点共线，且∠A′AB=∠AA′B′，AB=A′B′，
∴AB∥A′B′，即ABA′B′，∴四边形ABA′B′是
平行四边形，又∵△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，A′C=B′C，∴AA′=BB′，
∴四边形ABA′B′是矩形。
例2. 如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
思路分析：在有两角相等的前提下，构造全等三角形只需截取一对对应相等的边即可，利用这种思路可在图2中截取AG=AE，得全等三角形，图3中虽然二个角发生变化，但∠B的大小未变，故结论不会改变。
解：图略；
（1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD.
（2）（1）中的结论仍然成立.
证明：在AC上截取AG=AE，连结FG，如图.∵∠1=∠2,AF为公共边，可证△AEF≌△AGF.
∴∠AFE=∠AFG,FE=FG.由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，可得∠2+∠3=60°，∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，∴∠CFG=60°，由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD，∴FG=FD，∴FE=FD.
重要提醒：此题也可由“角平分线上的点到角两边的距离相等”来作出辅助线进行证明.
触类旁通：如图，是等边三角形内的一点，连结，以为边作，且，连结．
（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若，连结，试判断的形状，并说明理由．
解：（1）猜想：
　　　　证明：在与中，
　　　　，，
　　　　
　　　　
　　　　
　（2）由　　可设，，
　　　　连结，在中，由于，且
　　　　为正三角形　　　
　　　　于是在中，
　　　　是直角三角形
例3．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，∠DEF＝90°，DE＝EF＝4。
(1)移动△DEF，使边DE与AB重合(如图①)，再将△DEF沿AB所在直线向左平移，使点F落在AC上(如图②)，求BE的长；
(2)将图②中的△DEF绕点A顺时针旋转，使点F落在BC上，连结AF(如图③)。请找出图中的全等三角形，并说明它们全等的理由(不再添加辅助线，不再标注其它字母)。
思路分析：（1）由图形的平移可知EF∥BC，则存在相似三角形，由相似三角形对应边成比例可先求出AE；（2）找全等三角形必须要先从形状相同的三角形着手，再看其对应边是否相等.
解：（1）∵EF∥BC，∴∠FEA=∠B=90°，∠CAB=∠FAE，∴△AEF∽△ABC，，∵AB=4，BC=6，DE=EF=4，∴，AE=，∴BE=AB－AE=4－=.
（2）Rt△AEF≌Rt△FBA.
在Rt△AEF和Rt△FBA中，EF=BA，AF=FA，∠B=∠E=90°，∴Rt△AEF≌Rt△FBA.
重要提醒：求线段的长通常可由相似三角形对应线段成比例或利用全等三角形对应边相等来解决.
触类旁通：如图，△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α.
(0o＜α＜90o＝得到△A1B1C，连结BB1.设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F.
(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明(△ABC与△A1B1C1全等除外)；
(2)当△BB1D是等腰三角形时，求α；
(3)当α＝60o时，求BD的长．
解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或
AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等.
以证明△CBD≌△CA1F为例：
证明：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°，
∴∠A1CF=∠BCD，∵A1C=BC，∴∠A1=∠CBD=45°，∴△CBD≌△CA1F
（2）在△CBB1中，∵CB=CB1，∴∠CBB1=∠CB1B=（180°－），又△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°
若B1B=B1D，则∠B1DB=∠B1BD，∵∠B1BD=45°+，∠B1BD=∠CBB1－45°=
（180°－）－45°=45°－，∴45°+=45°－，∵=0°（舍去）
②∵∠BB1C=∠B1BC＞∠B1BD，∴BD＞B1D，即BD≠B1D.
若BB1=BD，则∠BDB1=∠BB1D，即45°+=（180°－），=30°
由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，=30°
（3）作DG⊥BC于G，设CG=，
在Rt△CDG中，∠DCG==60°，∴DG=tan60°=，∵AC=BC=1，∴+=1
=，∴DB=
例4．如图，⊙O的直径，D是 线段BC的中点，
（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作，垂足为点E，求证直线DE是⊙O的切线。
思路分析：连接OD，过点O作于点F，则△OBD为等腰三角形，
利用解直角三角形的方法可求出BF及DF的长，再用勾股定理求出OD长.
在（2）中只要能证明到OD⊥DE则说明DE是⊙O的切线.
解：（1）点D在⊙O上，
连接OD，过点O作于点F.
在Rt△BOF中，，
∴.
∵，∴.
在Rt△ODF中，∵，
∴点D在⊙O上
（2）∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC
又∵，∴，
又∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线.
重要提醒：此题也可连结AD，利用“直径所对的圆周角为直角”来构造二角三角形，利用勾股定理解决此问题.
轻松演练：
1．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点0；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
(3)以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1．5．
解：（1）如图；
（2）1∶2
（3）如图.
2.如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.
　　(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.
解：(1)猜想：AF=BD且AF⊥BD.
　　　 证明：设AF与DC交点为G.
　　　 ∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
　　　 ∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
　　 　∴∠BCD=∠ACF.
　　 　∴△ACF≌△BCD.
　　　 ∴AF=BD.
　　　 ∴∠AFC=∠BDC.
　　　 ∵∠AFC+∠FGC=90°, ∠FGC=DGA，
　　 　∴∠BDC+∠DGA=90°.
　　 　∴AF⊥BD.
　　 　∴AF=BD且AF⊥BD.
　　 　(2)结论：AF=BD且AF⊥BD.
　　 　图形不惟一，只要符合要求即可.
　　 　如：　①CD边在△ABC的内部时；　②CF边在△ABC的内部时.
　　　 3．已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α﹝0°＜α＜90°﹞，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H.
（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；
（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？
请写出你的结论，并说明理由；
（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由.
解：（1）∵∠A=∠ADM=30°，
∴AM=MD.
∵∠BDC=90°－∠ADM=60°=∠B,
∴CB=CD，∵MG⊥AD，NH⊥BD，
∴AG=，DH=，
∵AD=BD，∴AG=DH
（2）结论成立.
∵∠ADM=60°，∴∠BDN=30°
在△AMD和△DNB中，∵∠ADM=∠B，AD=DB，∠A=∠BDN
∴△AMD≌△DNB ∴AM=DN ∵MG⊥AD，∴NH⊥BD，
∴△AMG≌△DNH ∴AG=DH
（3）结论成立
∵Rt△AGM∽Rt△NHB，∴Rt△DGM∽Rt△NHD
∴ ，，∴ ，∴ ，∴AG=DH
4．如图，在的外接圆中，是的中点，交于点，连结．
（1）列出图中所有相似三角形；
（2）连结，若在上任取一点（点除外），连结交于点，是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．
解：（1），，
（2）
证明：是的中点，如图，
，
又，
，
又，
，
，．
综合题研究之代数与图形综合问题（二）（课标版－原创）
【考点知晓】
考查内容：代数与图形综合问题重点考查运用函数知识、方程的知识及几何知识.解决综合题的能力，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式，同时还要注意自变量的取值范围，它要求考生具有较强的分析问题的能力，会解答代数与几何的综合问题，具有拉大考生分数差距的作用.
考点评说：考查方式多为最后的压轴题，其难度较大，运算量较大，复习时要注意此类题型的训练.
【考题漫步】
例1（2006年江西24题）一条抛物线y=+mx+n经过点（0，）与（4，）
（1）求这条抛物线的解析式并写出它的顶点坐标.
（2）现有一条半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标.
思路分析：（1）要确定抛物线y=+mx+n的解析式就是要求出m，n的值，所以需要找关于m，n的两个方程.根据函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系容易得到关于m，n的两个方程.由二次函数的解析式可得出抛物线的的顶点坐标.方法有三种.即顶点坐标公式、配方法、半用公式半不用公式.要求圆心的坐标即需要求它的横坐标a，纵坐标b，所以要建立a，b的两个方程，由圆心P在抛物线上再根据图象上的点的坐标与函数解析式的关系可得一个方程，根据切线的判定定理抓住圆与坐标轴相切得到圆心P到坐标轴的距离等于半径1，建立方程由于坐标轴包含x轴和y轴，所以要用到分类讨论的思维方法，使问题得到解决.
解：（1）由抛物线经过（0，），（4，）两点得 解得
∴抛物线的解析式是y=-x+ 由y=-x+=（x-2）2+
得抛物线的顶点坐标为（2，）
（2）设点P的坐标为（a,b）当⊙P与y轴相切时有：=1 a=±1
由a=1得b=×12-1+= 由a=-1得b=×（-1）2-（-1）+=
此时点P的坐标P1（1，），P2（-1，）
当⊙P与x轴相切时有=1 ∵抛物线的开口向上，顶点在x轴上方 ∴b>0
∴b=1 由b=1得a2-a+=1 解得a=2±
∴点P的坐标为P3（2-，1），P4（2+，1）
综上所述，圆心P的坐标为P1（1，），P2（-1，），P3（2-，1），P4（2+，1）
重要提醒：函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系.
因为⊙P与坐标轴相切包含了⊙P与x轴相切和⊙P与y轴相切两种情形，所以必须要分类讨论.
触类旁通（2006年重庆市27题）已知：m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根且m（1）求这个抛物线的解析式
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积.
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标
答案：（1）y=-x2-4x+5 （2）S△BCD=15（3）P点的坐标为（-，0）或（-，0）
例2（2006年山西26题）
如图1，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8），
（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式.
（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C、D两点（点C在点D的左侧）顶点为N，四边形MDNA的面积为S，若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止，求四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围.
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值.
（4）在运动过程中四边形MDNA能否为矩形？若能，求出此时t的值.若不能，请说明理由.
思路分析：（1）要确定抛物线C2的解析式需要知道抛物线上的三个点的坐标，由条件可知，抛物线C2上有三个点恰好是抛物线C1上三个点A、B、E关于原点对称点.根据点关于原点的对称的点的坐标特征找到A、B、E关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），F（0，-8）.
（2）要确定四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，实际上就是要建立关于s、t之间的等量关系，因为s表示四边形的面积，所以要想到四边形是什么四边形，其面积公式怎样？如果没有公式直接可导则要转化为有公式可导的图形的面积和或差使问题得到解决，然后根据函数关系式结合实际问题本身确定自变量t的取值范围.
（3）根据函数关系式及自变量的取值范围来确定函数的最大值.
（4）要判断四边形MDNA能否成为矩形，要根据矩形的判定定理，使四边形MDNA满足某个判定定理的条件建立方程，求出t的值.
解：（1）点A（-4，0），点B（-2，0），点E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），F（0，-8），设抛物线C2的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)
则解得
∴所求抛物线的解析式为：y=-x2+6x-8
（2）由（1）可计算得点M（-3，-1），N（3，1）过N作NH⊥AD垂足为H，当运动到时刻t时，AD=2OD=8-2t， NH=1+2t，根据中心对称性质OA=OD，OM=ON，所以四边形MDNA是平行四边形， ∴S=2S△ADN， ∴S=（8-2t）（1+2t）=-4t2+14t+8
因为运动至点A与点D重合为止 ∴0≤t＜4 ∴所求关系式是S=-4t2+14t+8(0≤t＜4)
（3）S=-4（t-）2+（0≤t＜4） ∴t=时,S最大=
（4）在运动的过程中四边形MDNA能成矩形.
由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线AD,MN 所以当AD=MN时四边形MDNA是矩形，所以OD=ON，所以ON2=OD2=OH2+NH2
∴t2+4t-2=0 ∴t1=-2 t2=--2（舍去）
所以在运动过程中四边形MDNA可以成矩形，此时t=-2.
重要提醒：抛物线C1关于原点对称的抛物线C2，说明抛物线C1上所有的点关于原点对称的点都在抛物线C2上.
四边形MDNA能否成为矩形实质上就是指四边形MDNA能否满足矩形判定定理的某个定理中所需要的条件.
触类旁通（2006年海南24题）如图2所示，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0）直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A（3，4），B点在y轴.
（1）求m的值及这个二次函数的关系式.
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求此时P点的坐标，若不存在，请说明理由.
答案：（1）m=1,y=x2-2x+1 (2)h=-x2+3x(0例3（2006年德州市）如图3所示，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0），（4，3）动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点M作MP⊥OA，交AC于P，连结NP，已知动点运动了x秒.（1）P点的坐标为（＿，＿）；（用含x的代数式表示）
（2）试求△NPC的面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的X值.
（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由.
思路分析：（1）根据点的坐标的定义，不难找出P点的横坐标，问题的关键是找P点的纵坐标，即求PM的长，则需要构建关于PM的方程，可由P在直线AC上必须满足直线AC的解析式或由△PMA∽△COA对应边成比例来构建方程求解.
（2）抓住三角形的面积公式构建S与x之间的等量关系，不难发现关键是求出CN边上的高.
（3）要保证△NPC是等腰三角形，只要依靠定义和判定定理来保证，根据条件可知用定义来做依据为简，即要使△NPC有两边相等，随着我们思维展开发现需要分类讨论.
解：（1）由题意可知C（0，3），M（x，0），N（4-x，3）
∴P点坐标为（x，3-x）
（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中NC=4-x，边上的高为x，其中0≤x≤4
∴S=（4-x）×x=（-x2+4x）=-（x-2）2+ ∴当x=2时，S最大值=
（3）延长MP交CB于Q则有PQ⊥BC ①若NP=CP ∵PQ⊥BC ∴NQ=CQ=x ∴3x=4
∴x= ②若CP=CN则CN=4-x, PQ=x, CP=x, 4-x=x ∴x=
③若CN=NP则CN=4-x ∵PQ=x,NQ=4-2x ∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2
∴（4-x）2=(4-2x)2+(x)2 ∴x=
综上所述x=或x=或x=
重要提醒：一个三角形是等腰三角形，它必须满足有两条边相等或两个角相等，而两条边相等并没有指明哪两条边，因而要对a=b或b=c或a=c三种情况讨论.
触类旁通（2006年广东省）如图4所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标.
答案：（1）B（5，），（2）OP=4，P（4，0），（3）P（1，0）或P（6，0）
例4（2005年广东省佛山市）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角”下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图），将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，；边OB在x轴上，边OA与函数y=的图象交于点P，以P为圆心，以2PO为半径作弧交图象于R分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB，要明白帕普斯的方法请研究以下问题：
（1）设P（a,）,R(b,) 求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）.
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q，请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB.
（3）应用上达方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）
思路分析：（1）由两点确定直线的解析式，因为O（0，0） ∴直线OM的解析式是正比例函数，可设直线OM的解析式为y=kx，由题设可求出M点的坐标，再把M点坐标代入y=kx可求到K.（2）判定一点是否在函数的图象上，只需将这点坐标代入解析式，会满足则在，否则不在，要证明∠MOB=∠AOB，这是证明角的倍分问题，实际上就是要证明∠AOM=2∠BOM∵∠BOM=∠RQM=∠SRQ 不难看出∠PSQ=2∠BOM， 故只需证∠POS=∠PSO， 故只需证明OP=PS 由此可见证明角的倍分问题要想办法转化为相等问题来证.（3）把问题转化即把钝角的问题转化为锐角的问题.
解：（1）设直线OM的函数关系式为y=kx,P(a,) R(b,) ∴M(b, )
∴K=÷b= ∴直线OM的函数关系式为y=x
(2)∵Q的坐标（a, ）满足y=x ∴Q点在直线OM上，
∵四边形PQRM是矩形， ∴SP=SQ=SR=SM=PR ∴∠POS=∠PSO， ∵∠PSQ是△SQR的一个外角 ∴∠PSQ=2∠SQR ∴∠POS=2∠SQR
∵QR∥OB ∴∠SOB=∠SQR ∴∠POS=2∠SOB
∴∠SOB=∠AOB 即∠MOB=∠AOB
（3）方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可
方法二：也可把钝角减去一个直角得到一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分，再将直角利用等边三角形将其三等分即可.
重要提醒：点在图象上点的坐标必须满足解析式
转化思想在解题中的应用，如：角的倍分问题要想办法转化为相等问题来证，钝角的三等分要转化为锐角的三等分.
轻松训练
1.（2006年·吉林省）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子.动点P、Q同时从点A出发，点P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A→D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止.P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2.
(1)当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式；
(2)当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；
(3)当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围；
解：1.(1)当0≤x≤1时,AP=2x,AQ=x,y=AQ·AP=x2,即y=x2
(2)S四边形ABPQ =S四边形ABCD时,橡皮盘刚好触及钉子.
BP=2x-2，AQ=x，（2x-2+x）×2=×22 ∴x=
（3）当1≤x≤时，AB=2,PB=2x-2, AQ=x, y=×AB=3x-2
即 y=3x-2
当≤x≤2时，过O作OE⊥AB于E，则BP=2x-2，AQ=x，OE=1，
Y=S梯形BEOP+S梯形OEAQ=x， 即y=x
90°≤∠POQ≤180° 或180°≤∠POQ≤270°
2.（2006年·无锡市）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止)．设P、Q同时出发并运动了t秒．
(1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
(2)试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由.
解：（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F ∵四边形ABCD是等腰梯形
∴四边形CDEF是矩形. ∴DE=CF 又∵AD=BC是 ∴Rt△ADE≌Rt△BCF
AE=BF 又CD=2㎝，AB=8㎝， ∴EF=CD=2㎝， ∴AE=BF=（8-2）=3㎝
若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形.
∵CQ=t ∴DQ=EP=2-t ∵AP=AE+EP ∴2t=3+2-t，∴t=
(2) Rt△ADE中，DE==3（㎝）
S梯形ABCD=×（8+2）×3=15（㎝2）
当S四边形PBCQ=S梯形ABCD时
①Q在CD上，即0≤t≤2 则CQ=t，BP=8-2t,
×(t+8-2t) ×3= t=3 (不合舍去) ②若Q在AD上 即 2DQ=t-2, QH=DQSin60°=
由题意知S四边形PBCQ=S△APQ+S△CDQ=×2t×+×2×=
即t2-9t+17=0, 解得t1= 使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半.
3.（2006年·潍坊市）已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为(-4,4)．平行于轴的直线过(0,-1)点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位（t>0），二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
解：（1）把A(-4,4)代入y=kx+1得k=-，
∴一次函数的解析式为y=-x+1；易求出二次函数的解析式为：y=x2
（2）由
解得或，
，
先求出AB的长，由此得出AB的长等于AB的中点到直线l的距离的2倍
∴以线段AB为直径的圆与l相切.
（3）平移后二次函数解析式为y=(x-2)2-t，
令y=0，得，x1=2-2，x2=2+2，
过三点的圆的圆心一定在直线x=2上，点为定点，
∴要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线x=2的距离，此时，半径为2，面积为，
综合题研究之代数综合题（课标版－原创）
【专题导引】
综合题考查内容包括①以方程、函数等有关知识解决数学问题；②以平行线、三角形、四边形、圆等有关知识解决数学问题；③在直角坐标系内,运用点的坐标、距离、函数、方程等代数知识，并结合所学的几何知识解决数学问题；④在几何图形中运用有关几何知识，并结合所学的代数知识解决数学问题.常用到的数学思想方法有：化归思想、分类思想、数形结合思想、代入法、待定系数法、配方法等.
代数综合题
【考点知晓】
考查内容：代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，主要包括方程、函数、不等式等内容，解代数综合题注意归纳整理代数中的基础知识，基本技能，基本方法，要注意各知识点之间的联系，注意数学思想方法、解题技巧的灵活运用、要抓住题意、化整为零、层层深入、各个击破，加强知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的.
考点评说：代数综合题历年来是中考试题中的重点题型，由于这类题型能较全面反映学生的综合能力并具有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型.
【考题漫步】
例1（2006年安徽省）老师在黑板上写出三个算式： 5一 3= 8×2，9-7=8×4，15-3=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11 5 =8×12，15-7=8×22，……
(1)请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3 )证明这个规律的正确性．
思路分析：通过观察、对比每个等式可知左边是两个奇数的平方差，右边是8与某个因数的乘积，同时左边的两个奇数不一定是连续的，所以不能用2n-1或2n+1表示，于是只有用两个不同的字母m，n来表示，并且要针对m，n的奇偶性讨论.
解（1）如：152-112=8×13；172-152=8×8
（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数
（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，则
（2m+1）2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1)
(a)当m,n同是奇数或偶数时，m-n一定为偶数，所以4（m-n）一定是8的倍数
(b)当m、n为一奇一偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数.故任意两个奇数的平方差是8的倍数.
重要提醒：本题虽然第一、第二个等式的左边均是两个连续奇数，但其它的等式左边却不是，因而在探索规律时，不能眼睛只盯住其中一个或两个甚至更多个的规律，应该是总揽全局，要观察、分析出每一个都具有的规律，同时本题证明时，应注意分类讨论的思想.
触类旁通：（2006年浙江省）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么
　　称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，
　　12=42-22，
　　20=62-42，
　　因此4，12，20都是“神秘数”.
　（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
　（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
　（3）两个连续奇数的（取正数）平方差是神秘数吗？为什么？
解：（1）是，如28=4×7=82-62；2012=4×503=5042-5022
（2）是，（2k+2）2-（2k）2=4（2k+1）
（3）不是.
例2(2006·齐齐哈尔)某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元;每件乙种商品进价8万元,售价10万元,且它们的进价和售价始终不变,现准备购进甲、乙两种商品共20件,所用资金不低于180万元,不高于200万元.
(1)该公司有哪几种进货方案?
(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润?最大利润是多少?
(3)若用(2)中所求得的利润再次进货,请直接写出获得最大利润的进货方案.
思路分析:“进货方案”实质上是指在甲、乙两种商品共20件的基础上分配进甲、乙各多少件?有几种分配方法?于是设购甲或乙任一种商品的件数为x,由总件数得出另一种商品的件数;由资金列出不等式组,即可求出件数x的取值范围,再求出利润与件数的函数关系式,再应用函数性质或代入验证求利润的最大值及设计方案.
解：（1）设购进甲种商品x件，乙种商品（20-x）件 则：
190≤12x+8(20-x)≤200
解得:7.5≤x≤10
因为x非负整数,可得x取8,9,10
故有三种进货方案:购甲种商品8件, 乙种商品12件
购甲种商品9件, 乙种商品11件
购甲种商品10件, 乙种商品10件
(2) 甲商品每件利润为14.5-12=2.5万元
乙商品每件利润为10-8=2万元
方法一:利润W=2.5x+2(20-x)=0.5x+40
∵W是x的一次函数,且x的系数0.5>0,故W随着x的增大而增大
故当x为最大值10时,W有最大值为45
方法二: (1)中三种方案的利润分别是44万元,44.5万元,45万元,故购甲种商品10件, 乙种商品10件时,可获最大利润45万元.
(3)购甲种商品1件, 乙种商品4件时,可获得最大利润
重要提醒:本题迁涉数量关系四个: 甲商品件数+乙商品件数=总件数，商品件数×进价=总价，售价-进价=每件商品的利润，每件商品的利润×商品件数=总利润；同时注意弄清哪些量是已知的，哪些量可用代数式表式，并且数据较多,防止混淆.
触类旁通(2006年·贵阳市)某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元;面包车每辆4万元;公司可投入的购车款不超过55万元.
(1)符合公司要求的购买方案有哪几种?请说明理由.
有三种方案:
(2)如果每辆轿车的日租金为200元;每辆面包车的日租金为110元;假设新购买的这10辆车每日都可租出,要使这10辆车的日租金收入不低于1500元,那么应选择以上哪种购买方案?
解：（1）①轿车3辆,面包车7辆②轿车4辆,面包车6辆③轿车5辆,面包车5辆
（2）选方案三
例3 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：
A型
B型
价格（万元/台）
12
10
处理污水量（吨/月）
240
200
年消耗费（万元/台）
1
1
经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
（1）请你设计该企业有几种购买方案；
（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；
（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）．
思路分析： 若企业购买A型号的设备x台，则购买B型号的设备(10－x)台，根据表格给出的A、B两种型号设备的有关信息，即可求出企业购买设备的资金．
解：（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型(10－x)台．
由题意知，12x+10(10－x) ≤105，解得x≤2.5．
∵x取非负整数，x可取0，1，2．
∴有三种购买方案：购A型0台，B型10台；购A型1台，B型9台；购A型2台，B型8台．
(2)由题意，得240x+200(10－x)≥2040，解得x≥1．∴x为1或2．
当x=1时，购买资金为12×1+l0×9=102(万元)；
当x=2时，购买资金为12×2+ l0×8=104(万元)．
∴为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．
(3)10年企业自己处理污水的总资金为102+10×10=202(万元)．
若将污水排到污水厂处理，10年所需费用
2040×12×10×l0=2448000(元)=244.8(万元)．
244.8－202=42.8(万元)，∴能节约资金42．8万元．
重要提醒：对于不同的购买方案，何种最优？最好的办法就是分类讨论．
触类旁通：某企业为了适应市场经济的需要，决定进行人员结构调整，该企业现有生产性行业人员100人，平均每人全年创造产值a元，现欲从中分流出x人去从事服务性行业．假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人全年创造产值可增加20%，而分流从事服务性行业的人员平均每人全年可创造产值3.5a元．如果要保证分流后，该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值，而服务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值的一半，试确定分流后从事服务性行业的人数．
解：设分流后从事服务性行业的人数为x人，可创造产值3.5a元，则企业生产性人员还有（100－x）人，可创产值（1＋20%）a（100－x）．分流前共创产值100a元，于是可列不等式组求解．
由题意，得
即解得．
∵ x为正整数，∴x的取值为15，16．
答：从事服务性行业的人员为15人或16人．
例4（2006年浙江绍兴市）某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头.假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图.
请结合图象，回答下列问题：
根据图中信息，请你写出一个结论；
问前15位同学接水结束共需要几分钟？
小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟.”你说可能吗？请说明理由.
思路分析：（1）由平面直角坐标系的横轴（x轴）表示接水的时间，纵轴（y轴）表示锅炉内的余水量，容易得出图象中的三个点的坐标所表示的意义等.（2）前15位同学需接水15×2=30升，又由图象知接水分：开放两个水龙头和一个水龙头前后两个过程，且第一个过程96-80=16不够，因而还需在第二个过程中，故要求第二个过程的解析式；但此时知道剩余水y=96-15×2=66，即可求得x的值；（3）小敏寝室8位同学去接水应分三种情况讨论，即：（一）全部在第一个过程，（二）有在第一个过程，又有在第二个过程，（三）全部在第二个过程.
解：（1）锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升；接水4分钟后，，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等.
（2）当0≤x≤2，
设函数解析式为y=k1x+b1,
把x=0，y=96，x=2，y=80代入得：
解得：
∴y=-8x+96(0≤x≤2).
当x>2时，
设函数解析式为y=k2x+b2,
把x=2,y=80和x=4,y=72代入得：
解得
∴y=-4x+88(x>2)
因为前15位同学接完水时，余水量为96-15×2=66（升），所以66=-4x+88,x=5.5
答：前15位同学接完水需5.5分钟.
(3)①若小敏他们是一开始接水时,则接水时间断8×2÷8=2(分),即8位同学接完水,只需要2分钟,与接水时间恰好3分钟不符.②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的,设8位同学从t分钟开始接水.
当0则8(2-t)+4[3-(2-t)]=8×2,
16-8t+4+4t=16,
∴t=1（分）
∴(2-t)+[ 3-(2-t)]=3(分)符合
③当t>2时,则8×2÷4=4(分).即8位同学接完水需4分钟,与接水时间恰好3分钟不符.所以小敏的说法是可能的,即从1分钟开始8位同学连续接完水愉好用了3分钟.
触类旁通：（2006年·湖州市）为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的.若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示.
（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强家务劳动的？
（2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式；
（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？
解：（1）如小强父母给小强每月的基本生自学成才费150元，又如小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小时奖等
（2）y=2.5x+150
（3）32.5小时
【轻松演练】
1.(2006年·河北省) 观察下列的点陈图形和与之相对应的等式,探究其中的规律;
(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式
①4×0+1=4×1-3
②4×1+1=4×2-3
③4×2+1=4×3-3
④
⑤
(2)通过猜想:写出第n个图形相对应的等式.
解：（1）④4×3＋1=4×4-3，⑤4×4＋1=4×5－3
（2）4×(n-1)+1=4n-3
2.（2006年·河南省）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠;设顾客预计累计购物x元(x>300)
（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用.
(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠?说明你的理由
解：⑴y甲=300+0.8(x-300)=0.8x+60 y乙=200+0.85(x-200)=0.85x+30
⑵当x=600时,两家一样；当x>600时, 甲更优惠；当3003.由于电力紧张,某地决定对工厂实行鼓励错峰用电,规定:在每天的7:00至24:00为用电高峰期,电价为a元／度,每天0:00至7:00为用电平稳期,电价为b元／度,下表为某厂4、5月份的用电量和电费情况统计表：
月份
用电量（万度）
电费（万元）
4
12
6.4
5
16
8.8
(1)若4月份在平稳期用电量占当月用电量的,5月份在平稳期的用电量占当用用电量的,求a,b的值;
(2)若6月份该厂预计用电20万度,为将电费控制在10万元至10.6万元之间(不含10万元和10.6万元),那么该厂6月份在平稳期的用电量占当月用电量的比例应在什么范围.
解：（1）a=0.6; b=0.4
（2）设比例为k,则10<20(1-k)×0.6+20k×0.4<10.6
解得:0.354.东方专卖店专销某种品牌的计算器,进价为12元／个,售价为20元／个,为了促销,专卖店决定：凡是买10个以上的,每多买一个,售价就降低0.10元(例如,某人买20个计算器,于是每个降价0.10×(20-10)=1元,就可以按19元／个的价格购买),但是最低价为16元／个.
(1)求顾客一次至少买多少个,才能以最低价购买?
(2)写出当一次购买x(x>10)个时,利润y(元)与购买量x(个)之间的函数关系式;
(3)有一天,一位顾客买了46个,另一位顾客买了50个,专卖店发现卖了50个反而比卖46个赚的钱少,为了使每次卖得多赚钱也多,在其他促销条件不变的情况下,最低价16元／个至少要提高到多少?为什么?
解：（1）50个
（2）当10当x>50时,y=(16-12)x=4x
（3）利润y=-0.1x2+9x=-0.1(x-45)2+202.5 故x=45时 最低售价为20-0.1(45-10)=16.5元

展开更多......

收起↑