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2024年宁夏中考数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．下列各数中，无理数是（　　）
A．﹣1 B． C． D．π
2．下列运算正确的是（　　）
A．x3+x2＝x5 B． C．（3x）2＝6x2 D．﹣5﹣3＝﹣2
3．小明与小亮要到科技馆参观．小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　）
A．南偏东60°方向 B．北偏西60°方向
C．南偏东50°方向 D．北偏西50°方向
4．某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如表：
成绩 171及以下 172 173 174 175及以上
人数 3 8 6 5 2
则本次测试成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．172和172 B．172和173 C．173和172 D．173和173
5．用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　）
A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置
6．已知|3﹣a|＝a﹣3，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，l1∥l2，动点P从点A出发沿直线l1以1cm/s的速度向右运动，设运动时间为t s．
下列结论：
①当t＝2s时，四边形ABCP的周长是10cm；
②当t＝4s时，点P到直线l2的距离等于5cm；
③在点P运动过程中，△PBC的面积随着t的增大而增大；
④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点P运动过程中，线段DE的长度不变．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．地球上水（包括大气水、地表水和地下水）的总体积约为14.2亿km3.请将数据1420000000用科学记数法表示为 　 　．
10．为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示：
移植总数n 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数m 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 　 　（结果精确到0.1）．
11．某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31.4米记作+1.6米，那么水库水位为28米记作 　 　米．
12．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　 　．
13．如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则∠BHC＝　 　°．
14．在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 　 　（写出一个即可）．
15．观察下列等式：
第1个：1×2﹣2＝22×0；
第2个：4×3﹣3＝32×1；
第3个：9×4﹣4＝42×2；
第4个：16×5﹣5＝52×3．
…
按照以上规律，第n个等式为 　 　．
16．如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB＝2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 　 　cm（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713，1.732）
三、解答题（本题共10小题，其中17～22题每小题6分，23、24题每小题6分，25、26题每小题6分，共72分）
17．（6分）解不等式组．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，以AB为直径的⊙O经过点D，点P是边AC上一点（不与点A，C重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）过点A作一条直线，将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）在边AB上找一点P′，使得BP′＝CP．
20．（6分）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件．
（1）某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？
（2）中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？
21．（6分）如图，在 ABCD中，点M，N在AD边上，AM＝DN，连接CM并延长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F．求证：AE＝DF．
小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
22．（6分）尊老敬老是中华民族的传统美德，爱老是全社会的共同责任．为了解某地区老年人的生活状况，随机抽取部分65岁及以上的老年人进行了一次问卷调查．
调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况选择（例：65～70岁表示大于等于65岁同时小于70岁）． 1．您的年龄范围（　　） A.65～70岁 B.70～75岁 C.75～80岁 D.80岁及以上 2．您的养老需求（　　） A．医疗服务 B．社交娱乐 C．健身活动 D．餐饮服务 E．其他 3．您的健康状况（　　） A．良好 B．一般 C．较差
将调查结果绘制成如下统计图表．请阅读相关信息，解答下列问题：
健康状况统计表
65～70岁 70～75岁 75～80岁 80岁及以上
良好 65% 58% 50% 40%
一般 25% 30% 35% 40%
较差 10% 12% 15% 20%
（1）参与本次调查的老年人共有 　 　人，有“医疗服务”需求的老年人有 　 　人；
（2）已知该地区65岁及以上的老年人人口总数约为6万人，估计该地区健康状况较差的老年人人口数；
（3）根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，你能提出哪些合理化的建议？（写出一条即可）
23．（8分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x+1的图象可以由函数y＝2x的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
【动手操作】
列表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 …
… ﹣1 ﹣2 2 1 …
描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象．
【探究发现】
（1）将反比例函数的图象向 　 　平移 　 　个单位长度得到函数的图象．
（2）上述探究方法运用的数学思想是 　 　．
A．整体思想
B．类比思想
C．分类讨论思想
【应用延伸】
（1）将反比例函数的图象先 　 　，再 　 　得到函数的图象．
（2）函数图象的对称中心的坐标为 　 　．
24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．
（1）求证：BC∥EF；
（2）连接CE，若⊙O的半径为，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
25．（10分）综合与实践
如图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线交外角∠CAM的平分线于点E．
【发现结论】
结论1：∠AEB＝　 　∠ACB；
结论2：当图1中∠ACB＝90°时，如图2所示，延长BC交AE于点F，过点E作AF的垂线交BF于点G，交AC的延长线于点H．则AE与EG的数量关系是 　 　．
【应用结论】
（1）求证：AH＝GF；
（2）在图2中连接FH，AG，延长AG交FH于点N，补全图形，求证：．
26．（10分）抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值；
（3）如图2点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年宁夏中考数学试题参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．A
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．1.42×109 10．0.9 11．﹣1.8 12．m 13．81
14．y＝x+1（答案不唯一） 15．n2×（n+1）﹣（n+1）＝（n+1）2×（n﹣1）
16．34.1
三、解答题（本题共10小题，其中17～22题每小题6分，23、24题每小题6分，25、26题每小题6分，共72分）
17．（6分）解：，
解不等式①得，x＜﹣4，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为x＜﹣4．
18．（6分解：

＝a﹣1．
当时，
原式＝11．
19．（6分）解：（1）如图，直线AD为所作；
（2）如图，点P′为所作．
20．（6分）解：（1）设扎染工艺品销售扎染x件，刺绣工艺品销售y件，
根据题意得：175x+325y＝1175，
整理得：x，
∵x，y均为正整数，
∴，
答：扎染工艺品销售扎染3件，刺绣工艺品销售2件；
（2）转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形的结果有3种，
∴该顾客获得纪念品的概率是．
21．（6分）证明：∵AM＝DN，
∴AM+MN＝DN+MN，
∴AN＝DM，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∵AE∥DC，DF∥AB，
∴△AME∽△DMC，△DNF∽△ANB，
∴，，
∴，
∴1，
∴AE＝DF．
22．（6分）解：（1）参与本次调查的老年人共有：480+350+220+150＝1200（人）；
有“医疗服务”需求的老年人有：1200×（1﹣20%﹣12%﹣8%﹣5%）＝660（人）；
故答案为：1200；660．
（2）根据题意得，
60000
＝2400+2100+1650+1500
＝7650．
答：估计该地区健康状况较差的老年人有7650人；
（3）根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量（答案不唯一，只要建议合理即可）．
23．（8分）解：【动手操作】
列表：
x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 3 4 5 …
y … 1 ﹣2 1 …
描点、连线画出函数图象如图示：
【探究发现】
（1）将反比例函数的图象向左平移 1个单位长度得到函数的图象．
故答案为：左，1；
（2）上述探究方法运用的数学思想是B．
故答案为：B；
【应用延伸】
（1）将反比例函数的图象先右平移2个单位长度，再向下平移1个得到函数的图象．
故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度；
（2）函数图象的对称中心的坐标为（2，﹣1）．
故答案为（2，﹣1）．
24．（8分）（1）证明：连接OE，交BC于点G，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
又∵D为△ABC 的内心，
∴∠OAE＝∠CAE，
∴∠OEA＝∠CAE，
∴OE∥AC，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BGO＝90°，
又∵EF为⊙O的切线且OE为⊙O的半径，
∴∠FEO＝90°，
∴∠BGO＝∠FEO，
∴BC∥EF；
（2）解：连接BE，
∵，
∴∠AEC＝30°，
∴∠ABC＝∠AEC＝30°，
∴∠BOE＝60°，∠EFO＝30°，
∴EF＝OE tan60°＝2，
∴S阴影部分＝S△EFO﹣S扇形BOE
．
25．（10分）【发现结论】解：结论1：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵AE是∠CAM的平分线，
∴∠CAM＝2∠EAM，
∵∠CAM＝∠ACB+∠ABC，
∴2∠EAM＝∠ACB+2∠ABE，
∵∠EAM＝∠AEB+∠ABE，
∴2（∠AEB+∠ABE）＝∠ACB+2∠ABE，
∴∠AEBACB，
故答案为：；
结论2：由结论1知，∠AEBACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AED∠ACB＝45°，
∵EH⊥AF，
∴∠AEH＝90°，
∴∠AEB＝∠BGG＝45°，
∵∠ABE＝∠GBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△GBE（ASA），
∴AE＝EG；
故答案为：AE＝EG；
【应用结论】证明：（1）在Rt△AFC中，∠EFG+∠EAH＝90°，
在Rt△AEH中，∠AHE+∠EAH＝90°，
∴∠EFG＝∠EHA，
在△EFG和△EHA中，
，
∴△EFG△EHA（AAS）；
∴FG＝HA；
（2）证明：补全图形如图所示，
在Rt△AEG中，
∵∠EAG＝∠EGA＝45°，
∴，
∴Rt△EFG≌Rt△EHA（HL），
∴EF＝EH，
∵∠FEH＝90°，
∴∠EFH＝∠EHF＝45°，
∴∠AFN＝∠FAN＝45°，∠NGH＝∠AGE＝45°，
∴FN＝AN，∠NGH＝∠NHG＝45°，
∴GN＝HN，
又∵AN＝AG+GN，
∴．
26．（10分）解：（1）把点A（﹣1，0）代入 得；
解得a；
∴抛物线的解析式为：yx2x﹣2．
（2）把y＝0代入yx2x﹣2得，x2x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0）；
当x＝0是，y＝﹣2，
∴点C的坐标（0，﹣2）；
∴BC2；BC的解析式为：yx﹣2；
根据题意，点D的坐标为（m，0），
把x＝m代入yx2x﹣2得，ym2m﹣2．
把x＝m代入yx﹣2，得ym﹣2，
∴P（m，m2m﹣2）；E（m，m﹣2）；
∴DE＝2m，EP＝2mm2；
∵PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴△BDE∽△BOC，
∴BD：BO＝BE：BC，即BE BO＝BC BD，
∴BE（4﹣m），
∵PEBE（4﹣m），
∴2mm2（4﹣m），
解得m或m＝4（舍）；
（3）存在，点H的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．理由如下：
∵C（0，﹣2），F（1，0），
∴直线CF的解析式为：y＝2x﹣2，
当x时，y＝22＝3；
∴M（，3）；
∵点N是x轴上方抛物线上的一点，
∴当y＝3时，x2x﹣2＝3，
解得x＝﹣2或x＝5；
当N（﹣2，3）时，FH＝MN；
∴H的坐标为：（，0）或（，0）；
当N（5，3）时，FH＝MN；
∴H的坐标为：（，0）或（，0）．
综上所述，点H的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
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