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湘教版高中数学必修第一册-3.1.3简单的分段函数-学案讲义
教材要点
要点　分段函数
一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数．
状元随笔　1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．(　　)
(2)函数f(x)＝是分段函数．(　　)
(3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(　　)
(4)分段函数各段上的函数值集合的交集为 .(　　)
2．(多选)下列给出的式子是分段函数的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
3．已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)
A．0　　　　B．　　　　C．1　　　　D．2
4．函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．
题型1　分段函数求值问题
角度1　分段函数求值
例1　已知函数f(x)＝
求f(－5)，f(1)，f.
变式探究　本例中的条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
角度2　解分段函数不等式
例2　已知函数f(x)＝求不等式f(x)＜0的解集．
方法归纳
1．分段函数求值
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．
2．解分段函数不等式
要注意分类讨论，分类标准是分段函数的分段区间．先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，最后取并集即可．
跟踪训练1　(1)已知f(x)＝若f(x)＝－1，则x＝________．
(2)已知函数f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围为________．
题型2　分段函数的图象与应用
例3　已知f(x)＝－x＋3，g(x)＝x＋，h(x)＝x2－4x＋3.
(1)在同一坐标系中画出函数f(x)，g(x)，h(x)的图象．
(2) x∈R，令M(x)表示f(x)，g(x)，h(x)中的最大者，记作M(x)＝{f(x)，g(x)，h(x)}，请分别利用图象法和解析法表示函数M(x)，并求M(x)的值域．
方法归纳
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意连接点处点的虚实，保证不重不漏．
跟踪训练2　已知f(x)＝
(1)作出f(x)的图象；
(2)求f(x)的值域．
题型3　分段函数的应用
例4　为了节约用水，某市出台一项水费征收措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元)．
方法归纳
分段函数应用问题的两个关注点
(1)应用情境．
日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数．
(2)注意问题．
求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理．
跟踪训练3　甲、乙两地相距150千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时50千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1个小时，然后以每小时60千米的速度返回甲地．从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米，试写出y与x的函数关系式．
易错辨析　不能正确理解分段函数致误
例5　已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则a的值为________．
解析：当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；
当－1＜a＜2时，有a2＝3，∴a＝或a＝－(舍去)；
当a≥2时，有2a＝3，∴a＝，与a≥2矛盾．
综上可知a＝.
答案：
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视对a的讨论致误． 涉及自变量为参数的分段函数求参数问题，应根据参数与分段函数的定义域的关系分类讨论．
课堂十分钟
1．f(x)＝|x－1|的图象是(　　)
2．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D(D(x))等于(　　)
A．0 B．1
C． D．
3．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)．例如，f(2)＝3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)＝3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元．下图给出的四个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是(　　)
4．设函数f(x)＝，则f(f(－1))的值为______．
5．已知函数f(x)＝求使f(x)＜2成立的x的值组成的集合．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：由分段函数的概念可知，各分段上x的范围没有公共部分，AD是分段函数，故选AD.
答案：AD
3．解析：f(2)＝＝1.
答案：C
4．解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，x2∈(0，＋∞)；
当x<0时，y＝－2，故值域为{－2}
答案：(－∞，0)　{－2}
题型探究·课堂解透
例1　解析：由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.
变式探究　解析：当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；当－2例2　解析：当x≥2时，x－4<0，解得2≤x<4.当x<2时，x2－4x＋3<0，解得1跟踪训练1　解析：(1)当x>1时，－x＋1＝－1，解得x＝2∈(1，＋∞)；当x≤1时，x2－1＝－1，解得x＝0∈(－∞，1].综上，x＝0或x＝2.
(2)当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集为(－∞，－3)；
当－2当a≥4时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解．
故a的取值范围为(－∞，－3)．
答案：(1)0或2　(2)(－∞，－3)
例3　解析：(1)由题意可以画出函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝x＋，h(x)＝x2－4x＋3在同一坐标系下的图象：
(2)由图中函数的取值情况，结合函数M(x)的定义，可得M(x)的图象为：
结合图象得函数M(x)＝
且最小值在x＝1处取得，最小值是2，故值域为[2，＋∞)．
跟踪训练2　解析：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0，1].
例4　解析：设本季度他应交的水费为y元，当0≤x≤5时，y＝1.2x；
当5第一部分收基本水费1.2×5元，
第二部分由基本水费与加价水费组成，
即1.2(x－5)＋1.2(x－5)×200%＝1.2(x－5)×(1＋200%)元，
所以y＝1.2×5＋1.2(x－5)×(1＋200%)＝3.6x－12；
当6综上，可得y＝
跟踪训练3　解析：由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时．
(1)当货车从甲地前往乙地时，由题意，
可知y＝50x(0≤x≤3)；
(2)当货车卸货时，y＝150(3(3)当货车从乙地返回甲地时，由题意，知
y＝150－60(x－4)(4≤x≤6.5)．
所以y＝
[课堂十分钟]
1．解析：因为f(x)＝|x－1|＝当x＝1时，f(1)＝0，可排除A、C.又当x＝－1时，f(－1)＝2，排除D.故选B.
答案：B
2．解析：∵函数D(x)＝
∴D(x)∈{0，1}
∴D(x)是有理数
∴D(D(x))＝1.故选B.
答案：B
3．解析：开始时平均价格与即时价格一致，排除C、D，即时价格减少时，平均价格不可能增大，排除B.故选A.
答案：A
4．解析：∵f(x)＝，
∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝22＋2－2＝4.
答案：4
5．解析：由题意可得
或
由解得1≤x<；
由
解得x<－或综上所述，使f(x)<2成立的x的值组成的集合为.
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湘教版高中数学必修第一册-3.1.2表示函数的方法-学案讲义
最新课程标准 学科核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 2．理解函数图象的作用． 1.会用解析法、列表法、图象法表示函数．(数学建模) 2．会求函数的解析式．(逻辑推理、数学运算) 3．能作出函数的图象．(直观想象)
教材要点
要点　函数的表示法
表示法 定义
解析法 用________来表示函数的方法
列表法 用________来表示两个变量之间的对应关系的方法
图象法 用________来表示两个变量之间的对应关系的方法
状元随笔　1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．
2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(　　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示出来．(　　)
(3)任何一个函数都可以用解析法表示出来．(　　)
(4)函数的图象一定是连续不断的曲线．(　　)
2．函数f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的图象是(　　)
A．直线 B．射线
C．线段 D．离散的点
3．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y(单位：cm)表示成x的函数为(　　)
A．y＝50x(x＞0) B．y＝100x(x＞0)
C．y＝(x＞0) D．y＝(x＞0)
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为______．当g(f(x))＝2时，x＝________．
题型1　函数的表示法
例1　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求收款y(元)与台数x(台)之间的函数关系，分别用列表法、解析法和图象法表示出来．
方法归纳
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．
题型2　函数图象的画法
例2　作出下列函数的图象
(1)y＝，x∈[2，＋∞)；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)．
方法归纳
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
跟踪训练2　作出下列函数的图象．
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)
(2)y＝2x2－4x－3，(x∈[0，3))．
题型3　求函数的解析式
角度1　已知函数类型求函数解析式
例3　求函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)；
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根的平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)．
角度2　已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式
例4　(1)若f＝，则当x≠0，且x≠1时，函数的解析式f(x)＝________；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________．
角度3　已知式中含f(x)，f或f(x)，f(－x)形式的式子，求f(x)的解析式
例5　已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，则f(x)＝________．
方法归纳
1．待定系数法求解析式
根据已知的函数类型，设出函数的解析式，再根据条件求系数，常见的函数设法：
正比例函数 y＝kx，k≠0
反比例函数 y＝，k≠0
一元一次函数 y＝kx＋b，k≠0
一元二次函数 一般式：y＝ax2＋bx＋c，a≠0
顶点式：y＝a(x－h)2＋k，a≠0
两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，a≠0
2.换元法求函数的解析式
已知复合函数f(g(x))的解析式，令t＝g(x)，
当x比较容易解出时，可以解出x换元代入；
当x不容易解出时，可以考虑先构造，
如f＝x2＋＝－2，令t＝x＋，换元代入．
换元法还要注意换元t的范围．
3．解方程组法求函数的解析式
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(－x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(－x)，f(x)的方程，联立解出f(x).
跟踪训练3　(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，则f(x)＝______．
(2)已知函数y＝f(x)是一次函数，且[f(x)]2－3f(x)＝4x2－10x＋4，则f(x)＝________．
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________．
易错辨析　换元时忽略函数的定义域致误
例6　已知函数f(＋2)＝x＋4＋5，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2＋1　　B．f(x)＝x2＋1(x≥2)
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x2(x≥2)
解析：∵f(＋2)＝x＋4＋5
令＋2＝t≥2，则＝t－2，
∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＋5＝t2＋1(t≥2)
∴f(x)＝x2＋1(x≥2)，故选B.
答案：B
易错警示
易错原因 纠错心得
换元时，令＋2＝t，忽略了t的范围，错选A. 已知函数y＝f(g(x))的解析式，求函数y＝f(x)的解析式时，若函数y＝g(x)的值域不是全体实数，则所求得的函数y＝f(x)的解析式必须带有定义域(即函数y＝g(x)的值域)．
课堂十分钟
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝(　　)
x 0≤x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x≤20
f(x) 2 3 4 5
A.2 B．3
C．4 D．5
2．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
4．已知函数f(2x－1)＝3x－5，若f(x0)＝4，则x0＝________．
5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
解析式　表格　图象
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1，5]，则此时的图象为线段．故选C.
答案：C
3．解析：由题意知，×y＝100，得2xy＝100，∴y＝(x>0)，故选C.
答案：C
4．解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1　1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)列表法：
x(台) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
跟踪训练1　解析：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示：
用列表法表示如下：
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
例2　解析：(1)列表
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分．
(2)列表
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．
跟踪训练2　解析：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0，1，2}，
所以该函数图象为直线y＝1－x上的孤立点(如图①)．
(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.
因为x∈[0，3)，故图象是一段抛物线(如图②)．
例3　解析：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.
所以解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以
因为f(0)＝f(4)
所以4a＋b＝0.①
因为图象过点(0，3)，所以c＝3.②
设f(x)＝0的两实根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×＝10.
即b2－2ac＝10a2③
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.
所以f(x)＝x2－4x＋3.
例4　解析：(1)设t＝(t≠0，且t≠1)，则x＝，
∴f(t)＝＝，
∴f(x)＝(x≠0，且x≠1)．
(2)令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2≥0，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
答案：(1)(x≠0且x≠1)　(2)x2－1(x≥1)
例5　解析：用替换式子中的x，
可得f＋2f(x)＝.
于是有
∴消去f得f(x)＝(x≠0)．
答案：(x≠0)
跟踪训练3　解析：(1)设x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)
则[f(x)]2－3f(x)＝(kx＋b)2－3(kx＋b)
＝k2x2＋(2kb－3k)x＋b2－3b
＝4x2－10x＋4，
所以解得或
∴f(x)＝－2x＋4或f(x)＝2x－1.
(3)用－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，
由
消去f(－x)得f(x)＝x－1.
答案：(1)x2－5x＋6　(2)－2x＋4或2x－1　(3)x－1
[课堂十分钟]
1．解析：由图表可知f(11)＝4.故选C.
答案：C
2．解析：设y＝(k≠0)，当x＝2时，y＝1，所以1＝，得k＝2.故y＝.故选C.
答案：C
3．解析：方法一：设t＝x－1，则x＝t＋1.
∵f(x－1)＝x2＋4x－5
∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x；
方法二：∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，
∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
故选A.
答案：A
4．解析：令t＝2x－1，则x＝，f(t)＝－5＝t－.所以f(x)＝x－.
因为f(x0)＝4，所以x0－＝4，解得x0＝5.
答案：5
5．解析：(1)f(x)图象的简图如图所示．
(2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].
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湘教版高中数学必修第一册-3.1.1对函数概念的再认识-学案讲义
最新课程标准 学科核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3．了解构成函数的要素． 4．能求简单函数的定义域． 1.了解函数的有关概念．(数学抽象) 2．会求函数的定义域和简单的值域．(数学运算) 3．会判断函数是否是同一个函数．(数学运算)
教材要点
要点一　函数的概念
概念 一般地，设A，B是两个非空的________，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有________的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数．
三 要 素 对应关系 y＝f(x)，(x∈A，y∈B)
定义域 ________的取值范围
值域 与x∈A对应的函数值组成的集合{f(x)|x∈A}
状元随笔　对函数概念的4点说明：
(1)非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空实数集．
(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值．
(3)单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应．
(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系．
要点二　两个函数相等
两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等．
状元随笔　由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均取数值)之间是否具有函数关系，只要检验：
(1)定义域和对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量x在定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应．
要点三　常见函数的定义域和值域
1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为________，值域是________．
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是__________，当a＞0时，值域为__________________，当a＜0时，值域为__________________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　)
(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　)
(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(　　)
(4)两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数．(　　)
2．下列可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　)
3．函数y＝的定义域是(　　)
A．{x|x≥1} B．{x|x≤1}
C．{x|x＞1} D．{x|x＜1}
4．若f(x)＝x－，则f(3)＝________．
题型1　函数关系的判断
例1　(1)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　)
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积
(2)设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤2}，能表示从集合A到集合B的函数关系的是(　　)
方法归纳
(1)判断所给对应是否为函数的方法
①首先观察两个数集A，B是否非空；
②其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，既不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应x.
(2)根据图形判断对应是否为函数的方法步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
跟踪训练1　(1)(多选)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|.其中不能构成从M到N的函数的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
(2)图中所给图象是函数图象的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
题型2　求函数的定义域
例2　(1)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．{x|－3＜x≤0}
B．{x|－3＜x≤1}
C．{x|x＜－3或－3＜x≤0}
D．{x|x＜－3或－3＜x≤1}
(2)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．
B．{x|x≥－2}
C．
D．{x|x＞－2}
方法归纳
求给出解析式的函数的定义域的基本步骤
常见函数的定义域
(1)f(x)为整式型函数时，定义域为R；
(2)由于分式的分母不为0，所以当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；
(3)由于偶次根式的被开方数非负，所以当f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数为非负的实数的集合；
(4)函数y＝x0中的x不为0；
(5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集．
跟踪训练2　(1)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．{x|x≤0}
B．
C．
D．
(2)函数y＝的定义域为________．
题型3　两个函数是相等函数的判断
例3　(多选)下列各组函数是相等函数的是(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝x·
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝x0与g(x)＝
D．f(x)＝x2－x＋1与g(t)＝t2－t＋1
方法归纳
判断相等函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断相等函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关．
跟踪训练3　下列函数中与函数y＝x2是相等函数的是(　　)
A．u＝v2 B．y＝x·|x|
C．y＝ D．y＝()4
题型4　函数值与函数的值域
例4　(1)设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，求：
①f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)；
②g(f(2))，f(g(2))．
(2)求下列函数的值域．
①y＝3－4x，x∈(－1，3]；
②y＝；
③y＝x－.
方法归纳
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．
(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b±(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．
(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
跟踪训练4　(1)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
(2)已知函数f(x)＝.
求f(2)；f(f(1))．
易错辨析　忽略参数取值范围致误
例5　若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝的定义域为R，
即mx2－mx＋2＞0恒成立．
当m＝0时，易知成立，
当m≠0时，需满足
∴0＜m＜8，
综上所述，0≤m＜8.
答案：0≤m＜8
易错警示
易错原因 纠错心得
漏掉了m＝0的情况致误， 错误答案：0＜m＜8. 由函数的定义域求参数时，若二项系数含有参数，一定要分情况讨论，否则容易发生错误．
课堂十分钟
1．下列各图中，一定不是函数图象的是(　　)
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
3．下列各组函数中，表示相等函数的是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝，g(x)＝|x|
C．f(x)＝1，g(x)＝x0
D．f(x)＝，g(x)＝
4．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝________．
5．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)若a＞0，求f(a－1)的值．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
实数集　唯一确定　x
要点三
1．R　R
2．R　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由函数的定义可知D正确．
答案：D
3．解析：要使函数y＝有意义，
则必须∴x>1，
故选C.
答案：C
4．解析：f(3)＝3－＝3－2＝1.
答案：1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.
(2)A中，函数的值域为{y|0≤y≤2}，不满足条件；B中，函数的值域为{y|0≤y≤2}，不满足条件；C中，在0≤x<2内，一个x有两个y与之对应，不满足条件；D中，每个x都有唯一确定的y与之对应，是函数关系．故选D.
答案：(1)A　(2)D
跟踪训练1　解析：(1)①中，当x＝4时，y＝42＝16 N，故不能构成函数．②中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故不能构成函数；③中，当x＝－1时，y＝－1－1＝－2 N，故不能构成函数；④中，当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故构成函数．故选ABC.
(2)根据函数的概念可知③④是函数的图象．故选B.
答案：(1)ABC　(2)B
例2　解析：(1)要使函数f(x)有意义，
则解得x≤1且x≠－3，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≤1且x≠－3}，即{x|x＜－3或－3＜x≤1}．故选D.
(2)要使函数f(x)有意义，
则解得x≥－2且x≠，故选A.
答案：(1)D　(2)A
跟踪训练2　解析：(1)要使函数f(x)有意义，
则解得x≤0且x≠－，故选C.
(2)∵函数解析式为y＝，
∴x＋3≥0且x≠2，
∴x≥－3且x≠2.
答案：(1)C　(2){x|x≥－3且x≠2}
例3　解析：A中，定义域都是(－∞，0]，但解析式不相同；B中，g(x)＝＝|x|与f(x)＝x解析式不同；C、D是相等函数．
答案：CD
跟踪训练3　解析：函数y＝x2的定义域为R，对于A项，u＝v2的定义域为R，对应法则与y＝x2一致，则A正确；对于B项，y＝x·|x|的对应法则与y＝x2不一致，则B错误；对于C项，y＝的定义域为{x|x≠0}，则C错误；对于D项，y＝()4的定义域为{x|x≥0}，则D错误；故选A.
答案：A
例4　解析：(1)①f(2)＝2×22＋2＝10；
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20；
g(a)＋g(0)＝；
②g(f(2))＝g(10)＝＝；
f(g(2))＝f＝2×＋2＝.
(2)①因为x∈(－1，3]，所以－12≤－4x<4，所以－9≤3－4x<7，
所以函数y＝3－4x，x∈(－1，3]的值域是[－9，7)．
②因为y＝＝＝2－≠2，
所以函数y＝的值域为{y|y≠2}．
③设＝t，则t≥0，x＝，
所以y＝－t＝(－t2－2t＋1)＝－(t＋1)2＋1，
因为t≥0，所以y≤，
所以函数y＝x－的值域为.
跟踪训练4　解析：(1)A中，由x≥0得y＝≥0，∴y＝(x≥0)的值域为[0，＋∞)，A不符合；B中，设＝t，由x>0得t＝>0，由y＝(t>0)的图象知其值域为(0，＋∞)，B符合；C中，由y＝(x≠0)的图象知，y＝的值域为(－∞，0)不符合；D中，y＝x2＋1≥1，值域为[1，＋∞)，不符合．
(2)①f(2)＝＝；
②∵f(1)＝＝；
∴f(f(1))＝f＝＝.
答案：(1)B　(2)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：对于A选项，由图象可知，存在x同时对应两个函数值y，A选项中的图象不是函数图象；对于B选项，由图象可知，每个x有唯一的函数值y与之对应，B选项中的图象是函数图象；对于C选项，由图象可知，每个x有唯一的函数值y与之对应，C选项中的图象是函数图象；对于D选项，由图象可知，每个x有唯一的函数值y与之对应，D选项中的图象是函数图象．故选A.
答案：A
2．解析：要使f(x)有意义，只需满足
即x≤且x≠0.故选D.
答案：D
3．解析：对于选项A：f(x)＝的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，定义域不同不是相等函数，故A不正确；对于选项B：f(x)＝＝|x|，g(x)＝|x|是相等函数，故B正确；对于选项C：f(x)＝1定义域为R，g(x)＝x0＝1，定义域为{x|x≠0}，定义域不同不是相等函数，故C不正确；对于选项D：f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}，g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，定义域不同不是相等函数，故D不正确；故选B.
答案：B
4．解析：由f(t)＝6，得＝6，即t＝－.
答案：－
5．解析：(1)由，解得x≥－2且x≠－1，
故f(x)的定义域为且；
(2)若a>0，f(a－1)＝＝.
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