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湘教版高中数学必修第一册-4.1.1有理数指数幂-学案讲义
教材要点
要点一　根式
1．a的n次方根定义
若一个(实)数x的n次方(n∈N，且n≥2)等于a，即________．则称x是a的n次方根．
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根 的表示符号 a的取值范围
n为奇数 ________ a∈R
n为偶数 ________ ________
3.根式：式子__________叫作根式，n叫作__________，a叫作__________．
状元随笔　(1)在n次方根的概念中，关键是数a的n次方根x满足xn ＝a，因此求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.
(2)n次方根实际上就是平方根与立方根的推广．
(3)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算．
要点二　根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据
(1)________没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝________．
(3)()n＝________(n∈N*，且n＞1).
(4)＝a(n为大于1的奇数).
(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数).
　与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时， ＝a；当n为偶数时， ＝|a|＝
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.
要点三　分数指数幂
分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数 指数幂 规定：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
性质 0的正分数指数幂等于__________，0的负分数指数幂__________
　分数指数幂是根式的一种表示形式，即a＝，分数指数不能随意约分，如(－3)约分后为(－3)＝，而在实数范围内是无意义的．
要点四　有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实数a的奇次方根只有一个．(　　)
(2)当n∈N*时，()n＝－2.(　　)
(3)()n中实数a的取值范围是任意实数．(　　)
(4)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝a.(　　)
2．下列各式正确的是(　　)
A．＝－3 B．＝a
C．()3＝－2 D．＝2
3．将根式化为分数指数幂是(　　)
A．a－　　 　B．a C．－a　　 　D．－a
4.的值是________．
题型1　根式的化简与求值
例1　(1)化简＋的结果是(　　)
A．1 B．2a－1
C．1或2a－1 D．0
(2)计算下列各式
① ＋()5；
② ＋()6；
③ ＋.
方法归纳
根式化简或求值的策略
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
跟踪训练1　(1)下列各式正确的是(　　)
A．＝a B．a0＝1
C．＝－4 D．＝－5
(2)计算下列各式：
① ＝________．
② －－＝________．
　根式与分数指数幂的互化
例2　(1)将分数指数幂a－ (a＞0)化为根式为________．
(2)化简：(a2·)÷(·)＝________．(用分数指数幂表示)
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．
①a3·.
② (a＞0，b＞0).
方法归纳
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数←分数指数的分母，被开方数(式)的指数←分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
特别提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．
跟踪训练2　下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．－＝(－x) (x＞0) B．＝y(y＜0)
C．＝ (x＞0) D．＝－(x≠0)
题型3　指数幂的化简与求值
例3　(1)化简：
①ab·(－3ab)÷；
②(mn－)8；
③(－)÷.
(2)求值：
①＋2－2×－0.010.5；
②0.064－－＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|.
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练3　(1)计算：(－1.8)0＋·－＋；
(2)化简：(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c).
　忽视根式中的变量条件致误
例4　式子a 经过计算可得(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：因为 成立，所以a＜0，所以a＝a＝＝－.
故选D.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视a＜0这一条件，易错选A. 把一个完全平方式从二次根号内开方出来之后，要先加上绝对值号，再根据条件或分类讨论去掉绝对值符号得出最终结果．
课堂十分钟
1．将化为分数指数幂，其形式是(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
2．已知m＜，则化简的结果为(　　)
A． B．－
C． D．－
3．若2＜a＜3，化简＋的结果是(　　)
A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
4．计算＝________．
5．计算：0.0001－＋27－－＋－1.5.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
1．xn＝a
2.　±　[0，＋∞)
3.　根指数　被开方数
要点二
(1)负数　(2)0　(3)a　(5)a　－a
要点三
0　无意义
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项A、B、D错误，故选C.
答案：C
3．解析：＝a－.
答案：A
4．解析：＝＝＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)原式＝a＋|1－a|＝故选C.
(2)①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
②原式＝|－2|＋2＝4.
③原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2
答案：(1)C　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.
(2)①＝＝π－3.
②－－＝－－＝－－＝.
答案：(1)D　(2)①π－3　②
例2　解析：(1)a－＝＝.
(2)(a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a－＝a.
(3)①a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
②＝＝＝＝a－·
答案：(1).　(2)a　(3)见解析
跟踪训练2　解析：－＝－x (x>0)；＝(y2)＝－y(y<0)；
x－＝(x－3)＝(x>0)；
x－＝ ＝(x≠0).
答案：C
例3　解析：(1)①原式＝×a＋－b＋－＝－9a.
②＝
＝m2n－3
＝.
③(－)÷＝÷
＝a÷a－a÷a
＝a－－a－
＝a－a
＝－a.
(2)①原式＝1＋×－＝1＋－＝；
②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝－1＋＋＋＝.
跟踪训练3　解析：(1)原式＝1＋·－10＋＝1＋·－10＋27＝29－10＝19.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－.
[课堂十分钟]
1．解析： = === -
答案：B
2．解析：∵m<，∴3m－2<0，排除A，B，
又(3m－2)2>0，所以为正，所以选C.
答案：C
3．解析：由于2＜a＜3，所以2－a＜0，3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1.
答案：C
4．解析：＝＝＝.
答案：
5．解析：原式＝－＋－2×＋2×＝0.1－1＋32－－1＋－3
＝10＋9－＋27＝.
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湘教版高中数学必修第一册-4.1.3幂函数-学案讲义
最新课程标准 学科核心素养
1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律． 2．了解幂函数． 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(数学抽象、数学运算) 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(直观想象、逻辑推理) 3．能利用幂函数的单调性比较大小．(数学运算)
教材要点
要点一　幂函数的概念
一般来说，当x为自变量而α为非零实数时， 函数________叫做(α次)幂函数．
要点二　幂运算的基本不等式
对任意的正数r和两正数a>b，有＝ >1，即ar＞br.
对任意的负数r和两正数a>b，有＝<1，即ar要点三　实数次幂函数y＝xα(α≠0)的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝
定义域 R R R ________ ________
值域 R ________ R ________ ________
奇偶性 奇函数 ________ ________ 非奇非偶 函数 ________
单调性 在R上递增 在________ 上递减， 在________ 上递增 在R上递增 在________ 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减
图象
过定点 ________ ________
　幂函数在区间(0，＋∞)上，当α＞0时，y＝xα是增函数；当α＜0时，y＝xα是减函数．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1).(　　)
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限，但可能出现在第二象限．(　　)
(3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．(　　)
(4)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大．(　　)
2．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．(多选)已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)，下列说法错误的是(　　)
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
C．f(x)的图象一定经过点(1，1)
D．f(x)的图象有可能经过点(1，－1)
4．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(3，)，则f(9)＝________．
题型1　幂函数的概念
例1　(1)(多选)下列函数中是幂函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x5
C．y＝4x2 D．y＝x
(2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
方法归纳
(1)幂函数的判断方法
①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．
②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
(2)求幂函数解析式的依据及常用方法
①依据．
若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
②常用方法．
设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.
跟踪训练1　若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　)
A．1　　　　B．－3 C．－1　　　　D．3
(2)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)＝________．
题型2　幂函数的图象及应用
例2　(1)函数y＝x的图象是(　　)
(2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“＜”连接起来结果是________．
方法归纳
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
跟踪训练2　
(1)如图，曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，三个值，则相应于曲线c1，c2，c3的n值依次为(　　)
A．－2，，2 B．2，，－2
C．－2，2， D．2，－2，
(2)当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
题型3　幂函数的性质及其应用
角度1　比较大小
例3　把，，，按从小到大的顺序排列：____________________________．
角度2　解不等式
例4　已知(a＋1)－1＜(3－2a)－1，求a的取值范围．
方法归纳
1．比较幂的大小的策略
比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，中间值可以是“0”或“1”．
2．利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；
(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3　(1)下列两个数的大小正确的是(　　)
A．< B．<
C．0.20.6>0.30.6 D．9－>
(2)若(3－2m)＞(m＋1)，则实数m的取值范围为________．
　忽视幂函数的图象特点致误例5　若函数f(x)＝(m2＋3m＋1)·是幂函数，且其图象过原点，则m＝________．
解析：因为函数f(x)＝(m2＋3m＋1)·是幂函数，所以m2＋3m＋1＝1，解得m＝0或m＝－3.当m＝0时，f(x)＝x－1，其图象不过原点，应舍去；当m＝－3时，f(x)＝x5，其图象过原点．
答案：－3
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了函数图象过原点，没有对所求m值进行检验，致使得到错误答案：0或－3 幂函数的图象过原点，则指数大于0；图象不过原点，则指数小于或等于0.
课堂十分钟
1．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为(　　)
A．－1，3 B．－1，1
C．1，3 D．－1，1，3
2．在同一坐标系中，函数f(x)＝ax＋与g(x)＝ax2的图象可能是(　　)
3．设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b＜a＜c B．a＜c＜b
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
4．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f＝________．
5．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求f(x)的解析式．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
　y＝xα
要点三
{x|x≥0}　{x|x≠0}　{y|y≥0}　{y|y≥0}　{y|y≠0}　偶函数　奇函数　奇函数　(－∞，0)　(0，＋∞)　(0，＋∞)　(0，0)，(1，1) 　(1，1)
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：函数y＝＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．故选B.
答案：B
3．解析：当α＝－1时，f(x)＝x－1＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，因此A，B错误；当x＝1时，f(1)＝1，因此C正确，D错误．故选ABD.
答案：ABD
4．解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，
∵幂函数y＝f(x)的图象过点(3，)，
∴＝3α，解得α＝，
∴f(x)＝，∴f(9)＝＝3.
答案：3
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)A不符合幂函数的特点，C中系数不是1，BD是幂函数．
故选BD.
(2)由幂函数的定义可知
解得m＝－3或1，n＝.
答案：(1)BD　(2)见解析
跟踪训练1　解析：因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以所以m＝1.
故选A.
(2)设f(x)＝xα(α为常数)，所以＝3α，α＝－2，
所以f(4)＝4－2＝.
答案：(1)A　(2)
例2　解析：(1)由幂函数的图象过点(0，0)和(1，1)，故排除A、D；因为y＝xα中，0<α＝<1，所以图象在第一象限内上凸，排除C，故选B.
(2)过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0，当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，01时，指数越大，图象越高，所以m>q，综上所述n答案：(1)B　(2)n跟踪训练2　解析：(1)对于函数y＝x－2，y＝x2，y＝x，令x＝4，得到的函数值依次为，16，2.函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝x，y＝x－2.因此相应于曲线c1，c2，c3的n值依次为2，，－2.故选B.
(2)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限．所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第四象限．
答案：(1)B　(2)四
例3　解析：＝1，>1，<1，<1，∵y＝x为增函数，∴<.综上，<<<.
答案：<<<
例4　解析：①当a＋1>0，且3－2a>0时，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，∴
解得②当a＋1<0，且3－2a>0时，
(a＋1)－1<0，(3－2a)－1>0.符合题意．可得解得a<－1.
③当a＋1<0且3－2a<0时，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，
∴不等式组解集为 .
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1)∪.
跟踪训练3　解析：(1)∵函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，又>，∴>，A错；∵函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又>，∴<，B正确；由幂函数单调性知0.20.6<0.30.6，C错；9－＝<<，∴9－<，D错．故选B.
(2)∵函数y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，
∴
解得－1≤m<.
故实数m的取值范围为.
答案：(1)B　(2)
[课堂十分钟]
1．解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1，1，3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1，3.故选C.
答案：C
2．解析：因为当a>0时，f(x)＝ax＋是增函数，与y轴的交点在正半轴上，g(x)＝ax2的开口向上；当a<0时，f(x)＝ax＋是减函数，与y轴的交点在负半轴上，g(x)＝ax2的开口向下；所以只有A中的图象符合，故选A.
答案：A
3．解析：a＝2－6＝8－2，b＝3－4＝9－2，c＝7－2，由幂函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，可知b答案：A
4．解析：设幂函数为f(x)＝xα(α为常数).
∵函数f(x)的图象过点(4，2)，∴2＝4α，
∴α＝，∴f(x)＝，
∴f＝＝.
答案：
5．解析：∵幂函数y＝x3m－9在区间(0，＋∞)上单调递减，∴3m－9<0，即m<3.
又∵m∈N*，∴m＝1，2.
又y＝x3m－9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，
∴3m－9是偶数．∴m＝1.
∴f(x)＝x－6.
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湘教版高中数学必修第一册-4.1.2无理数指数幂-学案讲义
最新课程标准 1.认识无理数指数幂ax(a＞0，且a≠1，x∈R)的意义． 2．掌握实数指数幂的运算性质． 学科核心素养 1.了解无理数指数幂的意义．(数学抽象) 2．能利用实数指数幂的运算性质进行指数运算．(数学运算)
教材要点
要点一　有理数指数幂的基本不等式
(1)基本形式：对任意的正有理数r和正数a，若a＞1，则ar＞1；若a<1，则ar<1.
(2)推论：对任意的正数a＞1和两有理数r>s，有＝ar－s>1，即ar＞as.
对任意的正数a<1和两有理数r>s，有＝ar－s<1，即ar< as.
要点二　无理数指数幂的概念
给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂au都有了定义，其中a叫作底数，u叫作指数．
　(1)无理数指数幂通常用近似逼近的方法转化为有理数指数幂，即用无理数指数幂的不足近似值(逢数都舍)和过剩近似值(逢数进位)不断地逼近无理数指数幂的准确值．具体方法是：先取无理数指数的两种近似值(不足近似值和过剩近似值)，然后计算无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值，这两个值可以无限逼近一个实数aα(a＞0，α是无理数).
(2)0的正无理数指数幂为0，0的负无理数指数幂没有意义．
要点三　幂运算基本不等式
对任意的正数u和正数a，若a＞1，则au＞1；若a<1，则au<1.
对任意的负数u和正数a，若a＞1，则au<1；若a<1，则au＞1.
要点四　实数指数幂的运算性质
对于任意正数a，b和实数r，s，指数幂均满足下面的运算性质：
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)；
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)；
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R).
　实数指数幂的运算性质除了上述三个外，还有如下两个常用性质：
(1)ar÷as ＝ar－s(a＞0，r，s∈R)；
(2)＝(a＞0，b＞0，r∈R).
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)5是一个确定的实数．(　　)
(2)指数幂aα的指数α只能取无理数．(　　)
(3)(2)＝8.(　　)
(4)2∈R.(　　)
2．(2)2＝(　　)
A．4　　　　B．8　　　　C．8　　　　D．16
3．化简： ＝________．(a＞0)
4．计算：()2＝________．
题型1　无理数指数幂的运算
例1　(1)(3·)3；
(2) (a＞0).
方法归纳
关于无理数指数幂的运算
(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算；
(2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．
跟踪训练1　计算：
(1)；
(2)(·)12(m＞0).
题型2　条件因式的化简与求值
角度1　“已知值”的化简求值
例2　已知x＝，y＝，求－的值．
角度2　“整体代换”的化简求值
例3　已知＋＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3) .
方法归纳
解条件求值问题的原则
(1)对于含条件的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件的联系，然后求值．
(2)也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值．
跟踪训练2　(1)已知am＝4，an＝3，则 的值为(　　)
A． B．6
C． D．2
(2)已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，则＝________．
题型3　实数指数幂比较大小
例4　已知a>1，h>0，对任意的实数u，求证：
(1)au＋2h－au＋h>au＋h－au；
(2)(1＋h)100>1＋100h.
方法归纳
进行实数指数幂的大小比较时，要善于应用幂运算基本不等式，同时注意数的正负性，对于正数a，b，<1 0a>b.
跟踪训练3　已知00，对任意的实数u，求证：au＋h－au＋2h课堂十分钟
1．计算(π)－的结果是(　　)
A．π　　　　B．　　　　C．－π　　　　D．
2.·等于(　　)
A．－ B．－ C． D．
3．若2x＝7，2y＝6，则4x－y等于(　　)
A． B． C． D．
4．化简(＋)2 020·(－)2 021＝________．
5．已知＋＝4，求的值．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：＝＝24＝16.
答案：D
3．解析： ＝＝.
答案：
4．解析：＝＝＝53＝125.
答案：125
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)原式＝(3·2)3＝(3)3·2·3＝36·22＝2 916.
(2)原式＝a＋－π＝a－.
跟踪训练1　解析：(1)原式＝(π－)2＝(π)2＝π3.
(2)原式＝(m－)12＝()12＝m2π.
例2　解析：－
＝－＝.
∵x＝，y＝，
∴原式＝＝＝－24＝－8.
例3　解析：(1)将a＋a－＝3两边平方，
得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.
(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.
(3)由于a－a－＝(a)3－(a－)3，
所以有
＝
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
跟踪训练2　解析：(1)＝＝＝.
(2)∵x＋y＝12，xy＝9，
∴2＝＝＝＝.
∵x答案：(1)A　(2)－
例4　证明：(1)因为au＋2h，au＋h，au都是正数，且＝＝ah>1，故au＋2h－au＋h，au＋h－au也是正数．
又因为＝＝＝ah>1，
即得au＋2h－au＋h>au＋h－au.
(2)由于对正数A和B有(1＋A)(1＋B)>1＋A＋B，
故(1＋h)2>1＋2h，(1＋h)3>(1＋2h)(1＋h)>1＋3h，
从而(1＋h)10＝[(1＋h)2(1＋h)3]2>[(1＋2h)(1＋3h)]2>(1＋5h)2>1＋10h，两端10次方得(1＋h)100>(1＋10h)10>1＋100h.
跟踪训练3　证明：由au，au＋h，au＋2h都是正数，且＝＝ah<1，得au＋h－au＋2h>0，au－au＋h>0，
所以＝＝＝ah<1，
所以au＋h－au＋2h[课堂十分钟]
1．解析：＝＝π－1＝.
答案：D
2．解析：·＝·
＝－·＝－＝－ .
答案：A
3．解析：4x－y＝22x－2y＝＝.
答案：D
4．解析：()2 020·()2 021＝[()()]2 020·()＝12 020·()＝.
答案：－
5．解析：∵＋＝4，∴x＋2＋x－1＝16.
∴x＋x－1＝14，∴x2＋2＋x－2＝196，
∴x2＋x－2＝194，
∴原式＝＝－3.
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