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湘教版高中数学必修第一册-3.2.1函数的单调性与最值-学案讲义
最新课程标准 学科核心素养
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性． 2．理解单调性的作用和实际意义． 1.理解函数单调性的定义及相关概念，理解函数最大(小)值的定义．(数学抽象) 2．能用单调性的定义证明函数的单调性．(逻辑推理) 3．会利用函数的单调性求函数的最大(小)值．(数学运算)
教材要点
要点一　函数最大(小)值
设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集．
(1)如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点；
(2)如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最小值M＝f(a)，称M为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点．
状元随笔　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.
要点二　增函数与减函数的定义
状元随笔　定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1＜x2；
(3)属于同一个单调区间．
要点三　单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间I叫作y＝f(x)的________．
状元随笔　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)上单调递减．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)≤1恒成立，则f(x)的最大值是1.(　　)
(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0).(　　)
(4)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上在x＝b处有最小值f(b)．(　　)
2．函数y＝－2x2＋3x的单调递减区间是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0)
C． D．
3．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　)
A．＞0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)
D．f(x1)＞f(x2)
4．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．
　　
题型1　利用图象求函数的单调区间
例1　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.
(1)将函数写成分段函数的形式；
(2)画出函数的图象；
(3)根据图象写出它的单调区间．
方法归纳
(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间．
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．
跟踪训练1　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为(　　)
A．(－3，1)
B．(－5，3)
C．(－3，－1)，(1，4)
D．(－5，－3)，(－1，1)
(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是__________，递减区间是__________________．
题型2　函数的单调性判断与证明
例2　用定义证明函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
注：作差变形是解题关键．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝，判断并用定义证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
题型3　函数单调性的应用
角度1　比较大小
例3　已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数 ，则(　　)
A．f＞f(a2－a＋1) B．f＜f(a2－a＋1)
C．f≥f(a2－a＋1) D．f≤f(a2－a＋1)
状元随笔　利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
角度2　解不等式
例4　f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取值范围是(　　)
A．m＞0 B．0＜m＜
C．－1＜m＜3 D．－＜m＜
状元随笔　利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定义域内．
角度3　利用函数的单调性求参数的取值范围
例5　若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(0，1]
方法归纳
“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别
单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
角度4　求函数的最值
例6　已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
方法归纳
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系式正确的是(　　)
A．f(－1)＜f(1)＜f(2) B．f(1)＜f(2)＜f(－1)
C．f(2)＜f(1)＜f(－1) D．f(1)＜f(－1)＜f(2)
(2)函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)
(3)已知函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．
(4)已知函数f(x)＝，求函数f(x)在[1，5]上的最值．
易错辨析　忽视函数的定义
例7　已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　)
A．－3≤a＜0 B．a≤－2
C．a＜0 D．－3≤a≤－2
解析：函数f(x)＝是R上的增函数，则f(x)＝－x2－ax－5(x≤1)单调递增，故它的对称轴－≥1，即a≤－2，此时f(x)＝(x＞1)也单调递增，所以a＜0，要保证在R上是增函数．还需在x＝1处满足－12－a×1－5≤，即a≥－3.综上所述，－3≤a≤－2.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
只考虑f(x)＝－x2－ax－5(x≤1)单调递增与f(x)＝(x＞1)单调递增，即 ∴a≤－2，忽视增函数的定义出错． 分段函数如果都能单调递增还需保证断点左侧的值小于或等于右侧的值． 本题中：－12－a×1－5≤.
课堂十分钟
1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[－3，1]上单调递减
D．函数在区间[－5，5]上没有单调性
2．函数y＝的单调减区间是(　　)
A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)
C{x∈R|x≠1} D．R
3．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)
A．1 B．
C． D．
4．设关于x的函数y＝(k－2)x＋1是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．
5．已知f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点二
f(x1)f(x2)　增函数　减函数
要点三
单调性　单调区间
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是.
答案：D
3．解析：由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确．故选AB.
答案：AB
4．解析：由图象知点(1，2)是最高点，点(－2，－1)是最低点，
∴ymax＝2，ymin＝－1.
答案：－1，2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝
(2)如图．
(3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2)．
跟踪训练1　解析：(1)在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．
(2)y＝－x2＋2|x|＋3＝
画出函数图象如图，由图可知函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是：(－∞，－1]，(0，1].递减区间是：[－1，0]，[1，＋∞)．
答案：(1)C　(2)(－∞，－1]，(0，1]　[－1，0]，[1，＋∞)
例2　证明：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋k·＝(x1－x2)－k·＝(x1－x2)·，
因为00.
当x1，x2∈(0，]时，x1x2－k<0 f(x1)－f(x2)>0，此时函数f(x)为减函数；
当x1，x2∈(，＋∞)时，x1x2－k>0 f(x1)－f(x2)<0，此时函数f(x)为增函数．
综上，函数f(x)＝x＋(k>0)在区间(0，]上为减函数，在区间(，＋∞)上为增函数．
跟踪训练2　解析：f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．
证明如下： x1，x2∈(0，＋∞)，且x1有f(x1)－f(x2)＝＝＝，
因为00.
当x>2时>0，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此时f(x)单调递减．
当0所以，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．
例3　解析：∵a2－a＋1＝＋.又∵函数y＝f(x)在[0，＋∞)是减函数，∴f(a2－a＋1)≤f.故选C.
答案：C
例4　解析：由题意知解得0故选B.
答案：B
例5　解析：函数f(x)＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1，g(x)＝的图象由y＝的图象向左平移一个单位长度得到的，若在区间[2，4]上是减函数，则2m>0，解得m>0.综上可得m的取值范围是(0，1].故选D.
答案：D
例6　解析： x1，x2∈[2，6]，且x1f(x1)－f(x2)＝＝＝.
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以，函数f(x)＝在区间[2，6]上单调递减．
因此，函数f(x)＝在区间[2，6]的两个端点处分别取得最大值与最小值．在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.
跟踪训练3　解析：(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f(x)在(－∞，2]上单调递减，因为2>1>－1，所以f(2)(2)因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.故选C.
(3)f(x)＝|2x－a|＝，
所以f(x)＝|2x－a|的单调递减区间是，单调递增区间是，
若函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则＝3，解得a＝6.
(4)先证明函数f(x)＝的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，
f(x1)－f(x2)＝＝.
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在区间上是单调递减的，所以函数f(x)在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
答案：(1)C　(2)C　(3)6　(4)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不一定能用“∪”连接．故选ABD.
答案：ABD
2．解析：单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A.
答案：A
3．解析：∵函数y＝在[2，3]上单调递减，
∴当x＝3时，y＝有最小值.
故选D.
答案：D
4．解析：f(x)为R上的增函数，则k－2>0，k>2.
答案：(2，＋∞)
5．解析：∵f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，
且f(x－2)∴
解得1≤x<，
所以x的取值范围为1≤x<.
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湘教版高中数学必修第一册-3.2.2函数的奇偶性-学案讲义
最新课程标准 学科核心素养
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 1.了解函数奇偶性的概念．(数学抽象) 2．会利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(逻辑推理) 3．会利用奇、偶函数的图象．(直观想象) 4．能利用函数的奇偶性解决简单问题．(逻辑推理)
教材要点
要点
1．偶函数的概念
如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝________成立，则称F(x)为偶函数．
2．奇函数的概念
如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝________成立，则称F(x)为奇函数．
3．奇、偶函数的图象特征
(1)奇函数的图象关于________成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于________对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
状元随笔　奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知f(x)是定义在R上的函数．若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　　)
(2)偶函数的图象与x轴交点的个数一定是偶数．(　　)
(3)f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.(　　)
(4)一个奇函数与一个偶函数的积函数是偶函数．(　　)
2．下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝|x|　 B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋14
3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)
A．－2 B．2
C．0 D．不能确定
4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)
题型1　函数奇偶性的判断
例1　判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
方法归纳
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：
①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．
②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．
③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；
若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
(2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称．
跟踪训练1　(1)(多选)下列函数中，是偶函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝x2＋ D．y＝x＋x2
(2)函数f(x)＝是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
题型2　函数奇偶性的图象特征
例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已知画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象．
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间．
(3)根据图象写出使y＝f(x)＜0的x的取值范围．
方法归纳
1．巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性．
(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．
2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略
(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．
(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．
跟踪训练2　设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________．
题型3　函数奇偶性的应用
角度1　利用函数的奇偶性求参数
例3　(1)已知函数f(x)＝x2－(2－m)x＋3为偶函数，则m的值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
方法归纳
已知函数的奇偶性求参数值的三种思路
(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程．
(2)一般化策略：对x取定义域内的任意一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值．
(3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去．
角度2　利用函数的奇偶性求函数值
例4　(1)已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋3，且f(－2)＝10，则函数f(2)的值是________．
方法归纳
利用函数的奇偶性求函数值的方法
已知函数的某一个值，求对应的函数值时，常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值．
角度3　利用函数的奇偶性求函数解析式
例5　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝x(x－1)，求f(x)．
方法归纳
利用奇偶性求函数解析式的方法
已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：先设出未知解析式的定义区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可．具体如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上；(2)将－x代入已知区间上的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性把f(－x)写成－f(x)或f(x)，从而解出对应区间上的f(x)．
角度4　奇偶性与单调性的简单应用
例6　(1)若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
A．f＜f(－1)＜f(2)
B．f(2)＜f＜f(－1)
C．f(2)＜f(－1)＜f
D．f(－1)＜f＜f(2)
(2)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
方法归纳
利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
跟踪训练3　(1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．
(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2，2a]，则a＝________，b＝________．
(3)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________．
(4)已知偶函数f(x)，且当x∈[0，＋∞)时，都有(x1－x2)·[f(x2)－f(x1)]＜0成立，令a＝f(－5)，b＝f，c＝f(－2)，则a，b，c的大小关系是________(用“＞”连接)．
易错辨析　忽视函数的定义域致误
例7　关于函数f(x)＝与h(x)＝的奇偶性，下列说法正确的是(　　)
A．两函数均为偶函数
B．两函数都既是奇函数又是偶函数
C．函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
解析：函数f(x)＝的定义域满足即x2＝4，因此函数f(x)的定义域为{－2，2}，关于原点对称，此时f(x)＝0，满足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数，而函数h(x)＝的定义域为{4}，不关于原点对称，因此函数h(x)是非奇非偶函数．故选D.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了函数的定义域，直接利用函数奇偶性的定义判断，错选了C. 根据函数的解析式，判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域，只有在函数的定义域关于原点对称的情况下，才能根据解析式是否满足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)判断函数的奇偶性．若函数的定义域不关于原点对称，则可以直接说明函数是非奇非偶函数．
课堂十分钟
1．(多选)下列函数是奇函数的有(　　)
A．y＝x3＋ B．y＝(x＞0)
C．y＝x3＋1 D．y＝
2．函数y＝的图象大致为(　　)
3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)
A．(－1，0)
C．(－∞，－1)
4．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________．
5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(x－1)，求函数f(x)的解析式．
抽象函数
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
题型1　抽象函数的定义域
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围．
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的取值范围．
(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同．
例1　已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x －m)(m＞0)的定义域．
思路分析：由f(x)的定义域为[0，1]可知对应关系f作用的范围为[0，1]，而f(x＋m)＋f(x －m)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x＋m，x －m都在[0，1]这个区间内，从而使f(x＋m)＋f(x －m)有意义．
解析：由题意得
∵－m＜m，1－m＜1＋m，而m与1 －m的大小不确定，
∴对m与1－m的大小讨论．
①若m＝1－m，即m＝，则x＝m＝；
②若m＜1－m，即m＜，则m≤x≤1－m；
③若m＞1－m，即m＞，则x∈ .
综上所述，当0＜m≤时，函数g(x)的定义域为{x|m≤x≤1－m}，当m＞时，函数g(x)的定义域为 .
题型2　抽象函数的奇偶性
对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(－x)的式子．再利用奇偶性的定义加以判断．其解题策略为
(1)要善于对所给的关系式进行赋值．
(2)变形要有目的性，要以“f(－x)与f(x)的关系”为目标进行化简和变形．
例2　函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．
证明：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，
得f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)．
即f(－x)＋f(x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
题型3　抽象函数的单调性
判断抽象函数的单调性，通常利用单调性的定义，但要注意充分运用所给条件，判断出函数值之间的关系．
常见思路：先在所证区间上任取两数x1，x2(x1＜x2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题．
例3　已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，对定义域内任意的x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时，f(x)＞0.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较f与f的大小．
思路分析：(1)利用赋值法证明f(－x) ＝f(x)；(2)利用定义法证明单调性；(3)利用函数的单调性比较大小．
解析：(1)证明：由题意可知函数f(x)的定义域关于原点对称．
∵对定义域内任意的x1，x2，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
令x1＝x2＝－1，得f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，
即f(1)＝2f(－1)，即2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，
∴f(－x)＝f[(－1)·x]＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f(x1)＋f－f(x1)＝f，
∵x2＞x1＞0，∴＞1，又∵当x＞1时，f(x)＞0，∴f＞0，
即f(x2)－f(x1)＞0，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由(1)知f(x)是偶函数，则有f＝f.
由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且＞，
则f＞f，
∴f＞f.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
1．F(x)　2.－F(x)　3.原点　y轴
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．
故选C.
答案：C
3．解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.
故选B.
答案：B
4．解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．
答案：(2)(4)　(1)(3)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)函数f(x)＝的定义域为{－1，1}，关于原点对称，此时f(x)＝0，所以函数f(x)＝既是奇函数又是偶函数．
(2)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
(3)函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)关于原点对称．又因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数．
(4)方法一：∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，
∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．
当x＜0时，－x＞0，
∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)．
∴函数f(x)为奇函数．
方法二：作出函数的图象，如图所示的实线部分：由图可知，该函数为奇函数．
跟踪训练1　解析：(1)由偶函数的定义可知AC是偶函数．故选AC.
(2)函数的定义域为(－∞，0)关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－(－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)；
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－(－x2－1)＝－f(x)．
综上可知，函数f(x)＝
是奇函数．故选A.
答案：(1)AC　(2)A
例2　解析：(1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)＜0的x的取值范围为(－2，0)
跟踪训练2　解析：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5，5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2答案：{x|－2例3　解析：(1)f(－x)＝(－x)2－(2－m)(－x)＋3＝x2＋(2－m)x＋3，由函数y＝f(x)为偶函数，知f(－x)＝f(x)，即x2＋(2－m)x＋3＝x2－(2－m)x＋3，∴2－m＝－(2－m)，∴m＝2.故选B.
(2)由题意f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，∴a＝－.此时f(x)＝为奇函数．
故选C.
答案：(1)B　(2)C
例4　解析：(1)∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2，
由－x代入x得：f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋2
由题意知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋2，
所以f(1)＋g(1)＝－1＋1＋2＝2.故选D.
(2)令g(x)＝ax3＋bx
∵g(－x)＝a(－x3)＋b(－x)＝－ax3－bx＝－(ax3＋bx)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．∴f(－x)＝g(－x)＋3＝－g(x)＋3，
∵f(－2)＝10，
∴g(2)＝－7，∴f(2)＝g(2)＋3＝－7＋3＝－4.
答案：(1)D　(2)－4
例5　解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)．
所以f(x)＝.
例6　解析：(1)∵对任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2)．
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，－2<－<－1，∴f(2)故选B.
(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于解得－1≤m<.
∴实数m的取值范围是.
答案：(1)B　(2)见解析
跟踪训练3　解析：(1)方法一(定义法)　由已知
f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.(经检验满足题意)
方法二(特值法)　由f(x)为奇函数得
f(－1)＝－f(1)，
即＝－，
整理得a＝－1.
(2)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，
故有a－2＋2a＝0，解得a＝.
又因为f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，
即－＝0，解得b＝0.
(3)令g(x)＝x5＋ax3＋bx，
则g(x)是定义在R上的奇函数．
从而g(－2)＝－g(2)．
又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10.
∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18.
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
解析：(4)∵当x∈[0，＋∞)时都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]<0成立，∴f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递增．又f(x)为偶函数，画出符合题意的图象(不唯一)，如图．
由图可知，当自变量与y轴距离越近，则函数值越小，即<|－2|<|－5|，则fc>b.
答案：(1)－1　(2)　0　(3)－26　(4)a>c>b
[课堂十分钟]
1．解析：A中函数的定义域为R，f(x)＝x3＋，f(－x)＝－(x3＋)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；B中函数的定义域关于原点不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；C中函数的定义域为R，f(0)＝0＋1＝1≠0，则函数f(x)为非奇非偶函数；D中函数的定义域为(－∞，0)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数．故选AD.
答案：AD
2．解析：函数的定义域为R.由函数的解析式可得：f(－x)＝＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当x＝1时，y＝＝2>0，选项B错误．故选A.
答案：A
3．解析：由f(x)为奇函数可知，
＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
所以0故选D.
答案：D
4．解析：因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＋f(1)＝0，
即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.
答案：1
5．解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)(－x－1)＝x(x＋1)
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x(x＋1)，
又∵f(0)＝0.
综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝
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