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湘教版高中数学必修第一册-4.3.1对数的概念
教材要点
要点一　对数的概念
1．定义：如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么________叫作以________为底，________的对数，记作b＝logaN.
2．相关概念
底数与真数
其中，________叫作对数的底数，________叫作真数．
状元随笔　logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
要点二　对数与指数间的关系
当a＞0，且a≠1时，ab＝N b＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．
状元随笔　
要点三　对数的性质
性质1 ________没有对数
性质2 1的对数是________，即loga1＝__(a＞0，且a≠1)
性质3 底的对数是______，即logaa＝______(a＞0，且a≠1)
要点四　对数的基本恒等式
alogaN＝N(a＞0且a≠1，N＞0)；
b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)
(2)因为(－4)2＝16，所以log(－4)16＝2.(　　)
(3)因为3x＝81，所以log813＝x.(　　)
(4)log32＝log23.(　　)
2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有(　　)
A．log2M＝a B．logaM＝2
C．loga2＝M D．log2a＝M
3．若log8x＝－，则x的值为(　　)
A． B．4
C．2 D．
4．3log32＋log21＝________．
　对数的概念
例1　(1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为(　　)
A．(－∞，3] B．(3，4)
C．(4，＋∞) D．(3，4)
(2)将下列指数式、对数式互化．
①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④＝6.
方法归纳
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练1　(1)(多选)下列指数式与对数式的互化正确的是(　　)
A．30＝1与log31＝0
B．log39＝2与＝3
＝与log8＝－
D．log77＝1与71＝7
(2)对数式log(x－1)(x＋2)中x的取值范围是________．
　对数的计算
例2　求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；
(3)logx27＝.
方法归纳
(1)logaN＝x与ax＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)是等价的，转化前后底数不变．
(2)对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个．
跟踪训练2　求下列各式中x的值：
(1)log2x＝；(2)log216＝x；(3)logx27＝3.
　对数的性质及对数恒等式的应用
例3　(1)已知log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________；
(2)计算：＋102＋lg 2＋eln 3.
方法归纳
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log\”后再求解．
2．利用对数恒等式求解的方法
首先利用指数运算性质变形，变形为alogab的形式，再利用对数恒等式计算求值．
跟踪训练3　(1)＝(　　)
A． B．
C． D．2
(2)计算：log3[log3(log28)]＝________．
易错辨析　忽视对数的底数致误
例4　使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)
A．
C．(0，1)
解析：使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足
解得0＜a＜.
答案：B
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了底数a的范围致误，易错选D. 对数式中只要底数和真数都含有参数，都需要考虑，否则致错．
课堂十分钟
1．若a＞0，且a≠1，c＞0，则将ab＝c化为对数式为(　　)
　A．logab＝c B．logac＝b C．logbc＝a D．logca＝b
2．若log2(logx9)＝1，则x＝(　　)
A．3 B．±3 C．9 D．2
3．在log3(m－1)中，实数m的取值范围是(　　)
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
4．式子＋的值为________．
5．求下列各式中x的值：
(1)若log3＝1，求x的值；
(2)若log2 021(x2－1)＝0，求x的值．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
1．b　a　(正)数N
2．a　N
要点三
零和负数　0　0　1　1　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由对数的定义可知logaM＝2.
答案：B
3．解析：由对数与指数的互化可得：x＝＝＝.
答案：A
4．解析：原式＝2＋0＝2.
答案：2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由对数的定义可知
解得x>3且x≠4.
故选B.
(2)①由54＝625得log5625＝4.
②由log216＝4得24＝16.
③由10－2＝0.01得lg 0.01＝－2.
④由＝6得()6＝125.
跟踪训练1　解析：(1)对于A，30＝1可化为0＝log31，所以A中互化正确；对于B，log39＝2可化为32＝9，所以B中互化不正确；对于C，8－＝可化为log8 ＝－，所以C中互化正确；对于D，log77＝1可化为71＝7，所以D中互化正确．故选ACD.
(2)由题意得解得∴x>1且x≠2.
答案：(1)ACD　(2)(1，2)∪(2，＋∞)
例2　解析：(1)∵4x＝5·3x，
∴＝5，∴＝5，
∴x＝.
(2)∵log7(x＋2)＝2，
∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.
(3)∵logx27＝，∴＝27，
∴x＝＝32＝9.
跟踪训练2　解析：(1)∵log2x＝，∴x＝，∴x＝.
(2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4.
(3)∵logx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3.
例3　解析：(1)∵log2[log4(log3x)]＝0＝log21，
∴log4(log3x)＝1.
又log4(log3x)＝log44＝1，
∴log3x＝4，
∴x＝34＝81.
(2)原式＝5·＋102·10lg 2＋eln 3
＝5×3＋102×2＋3
＝218.
答案：(1)81　(2)见解析
跟踪训练3　解析：(1)＝2－1·＝×＝.
(2)log3[log3(log28)]＝log3[log3(log223)]＝log3(log33)＝log31＝0.
答案：(1)A　(2)0
[课堂十分钟]
1．解析：由对数的定义直接可得logac＝b.
答案：B
2．解析：∵log2(logx9)＝1，∴logx9＝2，即x2＝9，又∵x>0，∴x＝3.
答案：A
3．解析：由m－1>0得m>1.
答案：D
4．解析：由对数性质知，＝5，＝0，故原式＝5.
答案：5
5．解析：(1)∵log3＝1，∴＝3，
∴1＋2x＝9，∴x＝4.
(2)∵log2 021(x2－1)＝0，
∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±.
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湘教版高中数学必修第一册-4.3.3.1对数函数的图象与性质(1)
教材要点
要点一　对数函数的概念
对数运算y＝____________________确定了一个函数，叫作(以a为底的)对数函数．
状元随笔　(1)因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a＞0，且a≠1.
(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝logax(a＞0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．
要点二　反函数
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
要点三　对数函数的图象与性质
表达式 y＝logax(a＞1) y＝logax(0＜a＜1)
图象
性质 定义域________
值域R
过点________，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
状元随笔　底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝log2x2是对数函数．(　　)
(2)对数函数y＝log5x与y＝的图象关于y轴对称．(　　)
(3)对数函数的图象都在y轴的右侧．(　　)
(4)函数y＝ax与函数y＝logax的图象关于直线y＝x对称．(　　)
　
2．(多选)若函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可能是(　　)
A．0.3 B．
C． D．π
3．函数f(x)＝lg (2x－1)的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
4．函数y＝loga(x－3)－2的图象过的定点是________．
　对数函数的图象问题
角度1　图象过定点问题
例1　已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．
方法归纳
解决与对数函数有关的函数图象过定点问题的方法：对任意的a＞0且a≠1，都有loga1＝0，例如，解答函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点的问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．
角度2　对数函数的底与图象变化的关系
例2　如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________.
方法归纳
当0＜a＜1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢．当a＞1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．
角度3　图象的识别问题
例3　函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为(　　)
方法归纳
(1)对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点等求解．
(2)根据函数解析式确定函数图象的问题，主要是通过不同的角度来确定函数解析式与函数图象的对应关系，如函数的定义域(值域)、单调性，图象是否过定点、图象的对称性等．
跟踪训练1　(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的(　　)
(2)图中曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)
A．
B．
C．
D．
(3)函数y＝loga(2x－1)＋2的图象恒过定点P，点P在指数函数f(x)的图象上，则f(－1)＝________．
题型2　对数型函数的定义域
例4　求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)f(x)＝＋lg (x＋2)．
方法归纳
求函数的定义域，首先要分析自变量x的约束条件，在与对数函数有关的问题中应注意真数大于零，底数大于零且不等于1；其次求解不等式时，要充分应用函数的性质．
跟踪训练2　(1)函数y＝的定义域为(　　)
A．　　　　　B．[1，＋∞)
C． D．(－∞，1)
(2)函数y＝loga(x－1)＋loga(1＋x)的定义域为________．
　对数型函数的值域与最值问题
例5　求函数f(x)＝，x∈的值域．
方法归纳
(1)利用对数运算性质化为关于log2x的一个二次函数，再通过二次函数的性质求最值．
(2)求形如y＝logaf(x)(a＞0且a≠1)的复合函数值域的步骤：①求函数的定义域；②将原函数拆分成y＝logau(a＞0，且a≠1)，u＝f(x)两个函数；③由定义域求u的取值范围；④利用函数y＝logau(a＞0且a≠1)的单调性求值域．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．
易错辨析　忽视对底数的讨论致误
例6　若函数y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．
解析：当a＞1时，函数y＝logax在[2，4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.
当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2，4]上是减函数，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.
综上可知a＝2或a＝.
答案：2或
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视对底数a的分类讨论，只考虑了a＞1的情况，漏掉了0＜a＜1的情况． 底数的范围不同决定了对数函数的单调性不同，从而影响了在闭区间上的最值．所以一定要对底数进行讨论．
课堂十分钟
1．(多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的图象必过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[－2，0] B．(－2，0)
C．(－2，0] D．(－2，＋∞)
3．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)的图象大致为(　　)
4．若函数y＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则f(1)＝________．
5．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，求实数a的值．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
logax(x>0，a>0且a≠1)
要点三
(0，＋∞)　(1，0)　增函数　减函数
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由图象可知函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，所以0答案：AB
3．解析：由对数函数的概念可知2x－1>0，即x>，故选C.
答案：C
4．解析：因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)恒过定点(1，0)，所以令x－3＝1，即x＝4，此时y＝－2，所以函数y＝loga(x－3)－2过定点(4，－2).
答案：(4，－2)
题型探究·课堂解透
例1　解析：依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝－＝2－＝.
答案：
例2　解析：由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.
答案：b>a>1>d>c
例3　解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1.
答案：A
跟踪训练1　解析：(1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．
(2)已知图中曲线是对数函数y＝logax的图象，
由对数函数的图象和性质，可得C1，C2，C3，C4的a值从小到大依次为：C4，C3，C2，C1，
由a取，，，四个值，故C1，C2，C3，C4的a值依次为，，，.
(3)根据题意，令2x－1＝1，得x＝1，此时y＝2，所以定点P的坐标是(1，2)，所以f(x)＝2x，所以f(－1)＝.
答案：(1)C　(2)A　(3)
例4　解析：(1)由得，所以定义域为(2，＋∞).
(2)由得，所以定义域为(－2，－1)∪(－1，0).
跟踪训练2　解析：(1)由题意得即故函数的定义域为[1，＋∞).
(2)由题意知　解得x>1，
∴函数y＝loga(x－1)＋loga(1＋x)的定义域为(1，＋∞).
答案：(1)B　(2)(1，＋∞)
例5　解析：f(x)＝log2(4x)·log
＝(log2x＋2)·
＝－.
设log2x＝t.
∵x∈，∴t∈[－1，2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，y有最大值，且ymax＝；当t＝2时，y有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为.
跟踪训练3　解析：(1)由题意得
解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)因为f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]
＝loga(－x2＋2x＋3)
＝loga[－(x－1)2＋4]，
若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4，
所以loga4＝－2，a－2＝4，
又0＜a＜1，所以a＝.
若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．
综上可知，a＝.
[课堂十分钟]
1．解析：f(x)＝loga(x＋2)(0所以必过第二、三、四象限．
答案：BCD
2．解析：要使函数有意义，则1－log2(x＋2)≥0得log2(x＋2)≤1，即0＜x＋2≤2，得－2＜x≤0，即函数的定义域为(－2，0].
答案：C
3．解析：在logax中x>0，∴y＝logax＝logax(0答案：B
4．解析：由对数函数的定义可知a2＋a－5＝1.
解得a＝2或a＝－3(a＝－3舍去)，
∴f(x)＝log2x，∴f(1)＝0.
答案：0
5．解析：∵a>1，∴f(x)＝logax在(0，＋∞)上是增函数．
∴最大值为f(2a)，最小值为f(a).
∴f(2a)－f(a)＝loga2a－logaa＝，即loga2＝.∴a＝4.
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湘教版高中数学必修第一册-4.3.2.1对数的运算法则(1)
教材要点
要点　对数的运算法则
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)loga(M·N)＝________________，
(2)loga＝________________，
(3)logaMn＝____________(n∈R)．
状元随笔　对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3) ＋log2(－5)是错误的．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)lg (x＋y)＝lg x＋lg y．(　　)
(2)loga(xy)＝logax·logay(a＞0，且a≠1，x，y＞0)．(　　)
(3)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　)
(4)loga(xy)＝logax＋logay.(a＞0，且a≠1，x，y＞0)．(　　)
2．计算：lg 2＋lg 5＝(　　)
A．1　　　　B．2 C．5　　　　D．10
3．log618＋2log6的结果是(　　)
A．－2 B．2
C． D．log62
－＝________．
题型1　对数式的化简
例1　用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga； (2)logax3y5；
(3)loga； (4)loga.
方法归纳
运用对数运算法则进行对数式的化简，要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
跟踪训练1　请用lg x, lg y, lg z，lg (x＋y), lg (x－y)表示下列各式．
(1)lg (x2－y2)；
(2)lg .
题型2　对数式的求值
角度1　对数运算法则的正用
例2　计算：
(1)；
(2)log2.
方法归纳
选择适当的对数运算法则求值，注意掌握一些对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)．
角度2　对数运算法则的综合应用
例3　计算下列各式的值．
(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；
(2)；
(3)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
方法归纳
1．对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
2．对数式的求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，
lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
角度3　带有附加条件的对数式求值
例4　(1)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，则lg ＝________．
(2)已知3a＝2，3b＝，则2a－b＝________．
方法归纳
先将条件或结论适当变形，再准确应用对数运算公式及有关性质解题．
跟踪训练2　(1)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于(　　)
A．a2＋b B．b＋2a
C．a＋2b D．a＋b2
－lg 0.01＋ln e3等于(　　)
A．14 B．0
C．1 D．6
(3)·(lg 32－lg 2)＝________．
(4)lg 2－lg ＋3lg 5－log32·log49＝________．
易错辨析　忽视对数的限制条件
例5　若lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则的值为________．
解析：∵lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，∴(x－y)(x－4y)＝0.
解得x＝y或x＝4y.
∴＝1或＝4.
由已知得x＞0，y＞0，x－2y＞0.
当＝1时，x－2y＜0，此时lg (x－2y)无意义，舍去．
当＝4时，代入已知条件，符合题意，综上＝4.
答案：4
易错警示
易错原因 纠错心得
本题易错地方是忽视对数的限制条件，尤其x－2y＞0这一条件，得出错误答案1或4. 在对数的定义中，要求真数大于0，底数大于0且不等于1.在解题时不能漏掉任何一个条件．
课堂十分钟
1．log5＋log53等于(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．log5
2．log36－log32＝(　　)
A． B．1
C．log34 D．log312
3．若10a＝5，10b＝2，则a＋b等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．lg ＋lg 的值是________．
5．计算：
(1)(lg 5)2＋lg 2×lg 50；
(2)log2732·log6427＋log92·log4.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
(1)logaM＋logaN　(2)logaM－logaN　(3)nlogaM
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
答案：A
3．解析：原式＝log618＋log62＝log636＝2.故选B.
答案：B
4．解析：－＝＝＝＝log33＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1) (1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；
(2)logax3y5＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay；
(3)loga＝loga－loga(yz)＝logax－(logay+logaz )＝logax－logay－logaz；
(4)loga＝logax2＋loga－loga＝2logax＋logay－logaz.
跟踪训练1　解析：(1)lg (x2－y2)＝＝lg (x－y)＋lg (x＋y).
(2)lg ＝lg x＋lg y2－lg z＝lg x＋2lg y－lg z．
例2　解析：(1)lg＝lg 100＝；
(2)log2(47×25)＝log247＋log225＝14＋5＝19.
例3　解析：(1)原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
例4　解析：(1) lg ＝lg 45＝lg
＝ (lg 9＋lg 10－lg 2)＝ (2lg 3＋1－lg 2)
＝lg 3＋－lg 2≈0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6.
(2)∵3a＝2，3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320.
答案：(1)0.826 6　(2)log320
跟踪训练2　解析：(1)lg 12＝lg 4＋lg 3＝2lg 2＋lg 3＝2a＋b.故选B.
(2)3log34－－lg 0.01＋ln e3＝4－－lg ＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.故选B.
(3)原式＝×lg ＝·lg 24＝4.
(4)原式＝lg 2＋2lg 2＋3lg 5－log32·log23＝3lg 2＋3lg 5－1＝3(lg 2＋lg 5)－1＝3lg 10－1＝3－1＝2.
答案：(1)B　(2)B　(3)4　(4)2
[课堂十分钟]
1．解析：因为＋log53＝log5()＝log51＝0.
答案：A
2．解析： log36－log32＝log3＝log33＝1.
答案：B
3．解析：由已知得a＝lg 5，b＝lg 2，
故a＋b＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故选C.
答案：C
4．解析：lg ＋lg ＝lg＝lg 10＝1.
答案：1
5．解析：(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)log2732·log6427＋log92·log4
＝·＋·
＝＋＝＋
＝＋＝.
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湘教版高中数学必修第一册-4.3.3.2对数函数的图象与性质(2)
教材要点
要点一　y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)＞0解得x的取值范围，即函数的定义域．
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据________法则判定．(或运用单调性定义判定)
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
(5)最值：在f(x)＞0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．
要点二　logaf(x)＜logag(x)型不等式的解法
(1)讨论a与1的关系，确定单调性；
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(　　)
(2)y＝在(0，＋∞)上为增函数．(　　)
(3)ln x＜1的解集为(－∞，e)．(　　)
(4)y＝log2[(x－1)(x－2)]的增区间是(－∞，1).(　　)
2．不等式log2(2x＋3)＞log2(5x－6)的解集为(　　)
A．(－∞，3) B．(－，3)
C． D．
3．若a＝lg 11，b＝lg 9，c＝lg ，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
4．函数f(x)＝ln (2－x)的单调递减区间是________．
　对数函数单调性的应用
角度1　比较大小
例1　(多选)下列各组的大小关系正确的是(　　)
　　　　B．log1.51.6＞log1.51.4
C．log0.57＜log0.67 D．log3π＞log20.8
方法归纳
比较对数值大小时常用的三种方法
角度2　解简单的对数不等式
例2　(1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；
(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
方法归纳
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．
(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.
跟踪训练1　(1)已知a＝，b＝log2，c＝，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
(2)若loga＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________.
　对数型函数的单调性
例3　函数y＝的单调递增区间为________；单调递减区间为________．
变式探究　将本例改为“函数y＝在区间(－∞，]上是增函数”，求实数a的取值范围．
方法归纳
形如y ＝loga f(x)的函数的单调性判断，首先要确保f(x)＞0.
当a＞1时，y ＝loga f(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y ＝f(x)的单调性一致．
当0＜a＜1时，y ＝loga f(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y ＝f(x)的单调性相反．
跟踪训练2　(1)函数y＝的单调增区间为________.
(2)已知函数y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上单调递减，则a的取值范围是________．
　对数函数性质的综合应用
例4　已知奇函数f(x)＝ln .
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
(3)当x∈[2，5]时，ln (1＋x)＞m＋ln (x－1)恒成立，求实数m的取值范围．
方法归纳
以对数函数为载体，考查函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等，这类问题综合性较强，明确各知识点与所求目标之间的联系，做好等价转化是解决问题的关键．解题中需注意运用常见方法和规避常见错误．
(1)定义域：研究此类综合性问题，首先要弄清函数的定义域，即遵循“定义域\”优先原则，在对数函数综合性问题的求解中尤其重要．
(2)单调性：复合函数单调性的核心是同增异减．
(3)奇偶性：难点在于对数式的化简与变形．
(4)值域：常采用换元法求解，注意新元的取值范围．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间．
易错辨析　忽略对数函数大于0致误
例5　若函数f(x)＝ln (x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：设g(x)＝x2－ax＋1，要使f(x)＝ln (x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，
则即得a≤
故实数a的取值范围是(－∞，].
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略对数的真数大于0这一隐含条件，从而漏掉g(2)≥0致误． 求解含参数的对数函数有关的复合函数问题时，参数不但要结合复合函数的单调性列出取值范围，还要满足对数的真数在所给的单调区间上大于0这一条件．
课堂十分钟
1．设a＝log2，b＝log3，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c＞b＞a B．c＞a＞b
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
2．函数f(x)＝(2－x)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
3．不等式的解集为(　　)
A．(－∞，3) B．
C． D．
4．已知f(x)＝ln 是奇函数，则m＝________．
5．已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0且a≠1)．
(1)若a＞1，解不等式f(x)＜0.
(2)若函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
同增异减
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：∵函数y＝log2x是增函数，
∴
解得答案：D
3．解析：∵函数y＝lg x是增函数，且11>9>，
∴lg 11>lg 9>lg，即a>b>c.
答案：C
4．解析：由2－x>0得，x<2，
所以函数f(x)＝ln (2－x)的单调递减区间是(－∞，2).
答案：(－∞，2)
题型探究·课堂解透
例1　解析：A中，因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6，A错；B中，因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4，B正确；C中，因为0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67log31＝0，log20.8log20.8，D正确．
答案：BD
例2　解析：(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.72x＜log0.7(x－1)，得解得x＞1，
即x的取值范围是(1，＋∞).
(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，
当a＞1时，有解得2≤x＜3.
当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2.
综上可得，
当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)；
当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2].
答案：(1)(1，＋∞)　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)∵a＝2－∈(0，1)，b＝log2<0，c＝log>1，∴b(2)当a>1时，loga<0<1成立，当01.
答案：(1)C　(2)∪(1，＋∞)
例3　解析：由题意知x2＋4x－12>0，
依据二次函数t＝x2＋4x－12的图象可得x>2或x<－6.
且t＝x2＋4x－12在(－∞，－6)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
又∵y＝logt是(0，＋∞)上的减函数，
所以函数的单调递增区间是(－∞，－6)，单调递减区间是(2，＋∞).
答案：(－∞，－6)　(2，＋∞)
变式探究　解析：令g(x)＝x2－ax＋a，由于y＝f(x)＝logg(x)在区间(－∞，]上是增函数，故g(x)应在区间(－∞，]上是减函数，且g(x)>0故有即解得2≤a<2＋2，
故实数a的取值范围是[2，2＋2).
跟踪训练2　解析：(1)由1－x2>0，得－1令t＝1－x2，x∈(－1，1)，
当x∈(0，1)时，y＝log(1－x2)单调递增，
故y＝log(1－x2)的单调增区间为(0，1).
(2)若函数y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上单调递减，则a<0且ax－1>0在(－2，－1)上恒成立，
即a<在(－2，－1)上恒成立，
所以a≤－1，故a的取值范围是(－∞，－1].
答案：(1)(0，1)　(2)(－∞，－1]
例4　解析：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即ln ＝－ln .
∴＝，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1，
经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1.
(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
证明：由(1)得f(x)＝ln ，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝ln －ln ＝ln ＝ln .
∵1∴x2－x1>0，>1，
∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
(3)由已知得m由(2)知f(x)＝ln 在[2，5]上为减函数．
∴f(x)在[2，5]上的最小值为f(5)＝ln .
于是m即实数m的取值范围为.
跟踪训练3　解析：(1)要使此函数有意义，则有或
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称．∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0[课堂十分钟]
1．解析：∵a＝＝log23－1，b＝＝log34－1且2＝log24>log23>log34>log33＝1，则1>a>b>0，c＝log34>1.∴a，b，c的大小关系是c>a>b.
答案：B
2．解析：由2－x>0，得到x<2，令t＝2－x，则t＝2－x在(－∞，2)上递减，而y＝在(0，＋∞)上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到f(x)＝在(－∞，2)上递增．
答案：A
3．解析：因为函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，所以,解得答案：D
4．解析：∵f(－x)＝ln ＝ln，－f(x)＝－＝，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ln＝，∴m＝－1.
答案：－1
5．解析：(1)因为a>1，loga(1－ax)<0，所以loga(1－ax)所以0<1－ax<1，所以－1<－ax<0，
解得0所以a>1时，不等式的解集为.
(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0，2]上单调递增，
而t＝1－ax在区间(0，2]上单调递减，
所以00.
再由，解得0则实数a的取值范围为.
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湘教版高中数学必修第一册-4.3.2.2对数的运算法则(2)
教材要点
要点一　常用对数与自然对数
(1)常用对数：以10为底的对数，叫作常用对数，并且把log10N记为lg N.
(2)自然对数：以e(e＝2.718 28…)为底的对数，叫作自然对数，并且把logeN 记为ln N .
要点二　对数换底公式
logab＝(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)．
特别地：logab·logba＝________(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)．
状元随笔　对数换底公式常见的两种变形
(1)logab·logba ＝1，即 ＝logba ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .
＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍．
基础自测
1. 计算：log927＝(　　)
A．2 B．4
C．3 D．
2．log63·log9 6＝(　　)
A． B．3
C．2 D．
3．若lg 5＝a，lg 7＝b，则用a，b表示log75等于(　　)
A．a＋b B．a－b
C． D．
4．计算：log59·log8125＝________．
题型1　利用换底公式直接求值
例1　计算下列各式的值．
(1)(log43＋log83)log32；
(2).
方法归纳
(1)利用对数的换底公式可以将不同底对数的问题化为同底对数的问题．
(2)换底时要注意与题中条件结合，所取的底数要便于计算．
(3)要注意公式的逆用，如＝log93 ＝.
跟踪训练1　求值：
(1)
(2)(log23＋log43)(log32＋log274)
题型2　利用换底公式条件求值
例2　设3x＝4y＝36，求的值．
方法归纳
与对数有关的条件求值，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质，要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．
跟踪训练2　已知2x＝3y＝a，＝2，求a的值．
　对数运算在实际问题中的应用
例3　一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价值降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2)
方法归纳
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
跟踪训练3　中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(　　)
附：lg 2≈0.301 0
A．20% B．23%
C．28% D．50%
课堂十分钟
1．计算log225·log52＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
2．已知log212＝m，，则log312＝(　　)
A． B．
C． D．
3．若2a＝10，b＝log510，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．log35log46log57log68log79＝________．
5．设α，β是方程lg2x－lg x－3＝0的两根，求logα β＋logβ α的值．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点二
1
[基础自测]
1．解析：log927＝＝＝，故选D.
答案：D
2．解析：log63·log96＝log63·＝log63·＝，故选D.
答案：D
3．解析：log75＝＝，故选D.
答案：D
4．解析：根据换底公式，原式等价于×＝×＝1.
答案：1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)原式＝log32＝log32＝＋＝.
(2)原式＝×＝log×log9＝log32×log29＝log32×3log23＝－.
跟踪训练1　解析：(1)原式＝log64＋log69＝log636＝2.
(2)原式＝(log23＋log23)×()
＝log23×log32＝log23×log32＝.
例2　解析：∵3x＝4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
利用换底公式可得，
＝＝＝log363，
＝＝＝log364，
＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.
跟踪训练2　解析：由2x＝3y＝a，得x＝log2a，y＝log3a，
所以＋＝＋＝loga2＋loga3＝loga6＝2.
∴a2＝6，解得a＝±，又∵a>0，∴a＝.
例3　解析：设经过x年，这台机器的价值为8万元，则
8＝20(1－0.087 5)x，即0.912 5x＝0.4，
两边取以10为底的对数，
得x＝＝＝≈10.
所以约经过10年这台机器的价值为8万元．
跟踪训练3　解析：将信噪比从1 000提升至5 000时，
C增加比率为
＝≈
＝≈0.23＝23%.
答案：B
[课堂十分钟]
1．解析：log225·log52＝log252·log5＝2××log25×log52＝3.
答案：A
2．解析：因为log212＝m，所以＝＝＝m，即lg 3＝(m－2)lg 2，所以log312＝＝＝＝，故选B.
答案：B
3．解析：∵2a＝10，∴a＝log210，
又b＝log510，
∴＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.故选A.
答案：A
4．解析：log35log46log57log68log79＝. =
＝＝3
答案：3
5．解析：由题意lg α，lg β是关于lg x的一元二次方程lg2x－lg x－3＝0的两根，根据韦达定理lg α＋lg β＝1，lg α·lg β＝－3，
所以logα β＋logβ α＝＋＝＝＝－.
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