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湘教版高中数学必修第一册-4.4.1方程的根与函数的零点-学案讲义
教材要点
要点一　方程的根与函数零点的关系
状元随笔　函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
要点二　函数零点的判定
函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)＜0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.如果知道y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，就进一步断定，方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根．
状元随笔　定理要求具备两条：
①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数都有零点．(　　)
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．(　　)
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(　　)
(4)函数y＝2x－1的零点是.(　　)
2．函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的一个区间是(　　)
A．(0，1)　　B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
3．函数f(x)＝x3－x的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
4．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
　　　
题型1　求函数的零点
例1　(1)函数f(x)＝的零点是(　　)
A．　　 　B．1 C．和1　　　D．0和1
(2)如果函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0，2　　　B．0， C．0，－　　　D．2，－
方法归纳
函数零点的求法
求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝x－的零点是________．
(2)函数f(x)＝2x＋x－1的零点为________．
题型2　函数零点的个数问题
角度1　判断函数零点的个数
例2　函数f(x)＝ln x－的零点个数是(　　)
A．0　　　　　B．1 C．2　　　　　D．3
方法归纳
判断函数零点的个数的方法主要有：
(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．
(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数．
角度2　由函数零点求参数的取值范围
例3　已知函数f(x)＝ ,若方程f(x)－m＝0有4个不相同的解，则实数m取值范围为(　　)
A．(0，1]　　　B．[0，1) C．(0，1)　　　D．[0，1]
方法归纳
已知函数零点个数求参数范围的常用方法
跟踪训练2　(1)函数f(x)＝－x3－2在区间(－1，0)内的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
题型3　函数零点所在的区间问题
角度1　确定零点所在区间
例4　函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的一个区间是(　　)
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
方法归纳
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
角度2　由函数零点所在区间求参数范围
例5　若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是________________.
方法归纳
根据零点存在性定理及函数性质列出不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围．
跟踪训练3　(1)在下列区间中，函数f(x)＝－log2x的零点所在区间为(　　)
A． B．(1，2)
C．(3，4) D．(4，5)
(2)已知函数f(x)＝ln x－m的零点位于区间(1，e)内，则实数m的取值范围是________．
易错辨析　忽视零点存在性定理的条件致误
例6　(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法错误的有(　　)
A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
解析：由题知f(0)·f(1)＜0，所以根据函数零点存在性定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点，又f(1)·f(2)＞0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点．故选ABD.
答案：ABD
易错警示
易错原因 纠错心得
易忽略零点存在性定理的条件：函数在闭区间上是连续不断的一条曲线． 端点函数值异号，只是一个条件，还要注意零点存在性定理成立的另一个条件，即函数在闭区间上是连续不断的一条曲线．
课堂十分钟
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1 B．，1
C．，－1 D．－，1
2．函数f(x)＝x3＋3x－2的零点所在区间为(　　)
A． B．
C． D．
3．(多选)已知函数,若函数g(x)＝f(x)－m恰有3个零点，则m的取值可能为(　　)
A． B．1
C．2 D．
4．函数f(x)＝零点的个数为________．
5．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
交点的横坐标　零点
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：f(1)＝ln 2－2＜0，f(2)＝ln 3－1＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
∴函数f(x)的一个零点区间为(1，2).
答案：B
3．解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．
答案：D
4．解析：由得
∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－，－.
答案：－，－
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)当x≤1时，由2x －2＝0得x＝1；
当x＞1时，由2＋log2x＝0得x＝(舍去)所以函数f(x)的零点是1.
故选B.
(2)由题意知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a，则g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).由g(x)＝0得x＝0或x＝－，故函数g(x)的零点是0，－.
故选C.
答案：(1)B　(2)C
跟踪训练1　
解析：(1)令f(x)＝x－＝0，得x＝±1.∴函数f(x)＝x－的零点是±1.
(2)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝－x＋1的图象，如图所示，由图可知函数f(x)的零点为0.
答案：(1)±1　(2)0
例2　解析：(1)由f(x)＝ln x－＝0得ln x＝，在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－的零点个数为2.
答案：C
例3　解析：画出函数f(x)的图象，如图所示：
若方程f(x)－m＝0有4个不相同的解，
则y＝m和f(x)的图象有4个不同的交点，
结合图象，0＜m≤1.
答案：A
跟踪训练2　解析：(1)因为函数f(x)＝－x3－2为减函数，又f(－1)＝－(－1)3－2＝1>0，f(0)＝－(0)3－2＝－1<0.故函数f(x)在区间(－1，0)内的零点个数是1.
(2)∵f(x)＝24ax2＋4x－1，
∴f(0)＝－1≠0，x＝0不是函数的零点．
∴当x≠0时，由f(x)＝24ax2＋4x－1＝0.
得a＝＝－·
＝－.
令t＝，则t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
令g(t)＝(t－2)2－，
则g(－1)＝，g(1)＝－，g(2)＝－.
函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点 函数y＝a的图象与函数y＝g(t)，t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)的图象有且只有一个交点，
由图可知，a∈∪.
答案：(1)B　(2)B
例4　解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其图象在定义域上为一条不间断的曲线，
且f(1)＝－1＜0，f＝ln ＞0，
由零点存在性定理可知，函数f(x)在上存在零点．
答案：C
例5　解析：根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．
由图可知
即
解得－12答案：(－12, 0)
跟踪训练3　解析：(1)因为函数f(x)＝－log2x是减函数．又f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－2<0，根据零点存在性定理得到函数f(x)在区间(3，4)上存在零点．
(2)令f(x)＝ln x－m＝0，得m＝ln x，因为x∈(1，e)，所以ln x∈(0，1)，故m∈(0，1).
答案：(1)C　(2)(0，1)
[课堂十分钟]
1．解析：方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.故选B.
答案：B
2．解析：函数f(x)＝x3＋3x－2是连续函数且单调递增，
∵f()＝＋－2＝－＜0，
f ()＝＋－2＝＞0
∴f() f ()＜0，
由零点判定定理可知函数的零点在区间)上．
故选C.
答案：C
3．解析：g(x)恰好有3个零点，
等价于f(x)＝m有三个不等实根，如图，
作出y＝f(x)的图象，可得当＜m≤2时，
f(x)的图象与y＝m有三个交点．
故选BC.
答案：BC
4．解析：x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3.
x＞0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0，
∵f(1)f(e3)＜0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上，f(x)在R上有2个零点．
答案：2
5．解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得
解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
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湘教版高中数学必修第一册-4.4.2计算函数零点的二分法-学案讲义
教材要点
要点一　二分法
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，在这条线路上有200多根电线杆，如图所示．工人首先从线路的中点C查起，如果CB段正常，就选择CA的中点D测试，如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所用的这种方法称作二分法．
要点二　用二分法求函数零点近似值的一般操作方法
设函数y＝f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x－x0|≤ε.
(1)在D内取一个闭区间[a，b] D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)＜0；
(2)取区间[a，b]的中点m＝(a＋b)；
(3)如果|m－a|＜ε , 则取m为f(x)的零点近似值，计算终止；
(4)计算f(m)，如果f(m)＝0，则m就是f(x)的零点，计算终止；
(5)f(m)与f(a)同号则令a＝m，否则令b＝m，再执行(2)．
状元随笔　二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用二分法可求所有函数零点的近似值．(　　)
(2)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．(　　)
(3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用．(　　)
(4)用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间．(　　)
2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　)
3．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A．0.9 B．0.7
C．0.5 D．0.4
4．已知函数y＝f(x)在区间(2，4)上连续，验证f(2)·f(4)＜0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点所在的区间为________．
题型1　二分法的概念应用
例1　(1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
方法归纳
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
跟踪训练1　(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　　)
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝log4x D．f(x)＝ex－2
题型2　用二分法求函数零点的近似值
例2　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点．(精确度0.01)
方法归纳
(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
②取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
(2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点，中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
跟踪训练2　根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是(　　)
f(1)＝－1 f(2)＝3 f(1.5)＝－0.125
f(1.75)＝1．109 375 f(1.625)≈0．416 015 63 f(1.562 5)≈0．127 197 27
A.1.75 B．1.625
C．0.127 197 26 D．1.562 5
题型3　用二分法求方程的近似解
例3　用二分法求2x＋x＝4在区间(1，2)内的近似解(精确度0.2)．
参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
方法归纳
用二分法求方程的近似解的方法
对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．
跟踪训练3　用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
x 1.600 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0
f(x)的 近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 －0.029 －0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．
易错辨析　精确度理解不正确致误
例4　用二分法求方程x2－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)．
解析：令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，所以函数f(x)在区间(2.2，2.4)内有零点，设为x0.取区间(2.2，2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29＞0，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2，2.3)．
再取区间(2.2，2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5＞0，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2，2.25)．
因为|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以原方程的一个近似正解可取为2.25.
易错警示
易错原因 纠错心得
误认为精确度是|f(a)－f(b)|＜ε，导致错误． 利用二分法求方程的近似解时，要随时检验区间(a，b)的长度与精确度ε的关系，一旦有|a－b|＜ε，应立即停止计算，该区间中的任一值都是方程的近似解．
课堂十分钟
1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
2．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　)
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
3．在用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内近似根的过程中，已经得到f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间(　　)
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能确定
4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)＜0，取区间[2，4]的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区间是________.
5．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．
所以f(x)在区间________内存在零点x0.填表：
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
参考答案与解析
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
故选C.
答案：C
3．解析：由题意可知函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|＜0.1.
故选B.
答案：B
4．解析：∵f(2)·f(3)＜0，∴零点在区间(2，3)内．
答案：(2，3)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
故选B.
(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝10＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2)．
答案：(1)B　(2)(1，2)
跟踪训练1　解析：f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，故选ACD.
答案：ACD
例2　解析：经计算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.
取(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0，
因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25，1.5)，
如此继续下去，如下表：
区间 中点值 中点函数近似值
(1，1.5) 1.25 －0.30
(1.25，1.5) 1.375 0.22
(1.25，1.375) 1.312 5 －0.05
(1.312 5，1.375) 1.343 75 0.08
(1.312 5，1.343 75) 1.328 125 0.01
(1.312 5，1.328 125) 1.320 312 5 －0.02
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，
所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.
跟踪训练2　解析：因为f(1.5)＝－0.125＜0.f(1.562 5)≈0.127 197 27＞0，f(x)在(1，2)上是连续的，且|1.562 5－1.5|＝0.062 5＜0.1，所以区间[1.5，1.562 5]中的任意一个值都可作为函数f(x)在区间(1，2)上零点的近似值．故选D.
答案：D
例3　解析：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0.
区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1，2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33＞0
(1，1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37＜0
(1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035＜0
(1.375，1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，
∴2x＋x＝4在(1，2)内的近似解可取为1.375.
跟踪训练3　解析：由题中图表可知f(x)＝3x－x－4的零点在1.556 2和1.562 5之间，方程3x－x－4＝0的近似解在1.556 2和1.562 5之间，由题意知近似解要精确到0.01，所以方程3x－x－3＝0的近似解为1.56.
答案：1.56
[课堂十分钟]
1．解析：用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同．
故选C.
答案：C
2．解析：因为f(－1)＝2－1－3＝－<0，
f(0)＝20－3＝－2<0，
f(1)＝2－3＝－1<0，
f(2)＝22－3＝1>0，
f(3)＝23－3＝5>0，
又因为f(1)·f(2)<0，
所以f(x)＝2x－3的零点x0∈(1，2)．
故选C.
答案：C
3．解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴在区间(1，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点．又∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴在区间(1.25，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点．由此可得方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25，1.5)内．
故选B.
答案：B
4．解析：∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2，3)．
答案：(2，3)
5．解析：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，
f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
(1，2) 1.5 ＋ 1
(1，1.5) 1.25 ＋ 0.5
(1，1.25) 1.125 － 0.25
(1.125，1.25) 1.187 5 ＋ 0.125
(1.125，1.187 5) 1.156 25 ＋ 0.062 5
因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，
所以原方程的近似解可取为1.187 5.
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