资源简介 高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案,成套的课件,成套的试题,成套的微专题 期待你的加入与分享湘教版高中数学必修第一册-5.1.1角的概念的推广-学案讲义教材要点要点一 角的分类类型 定义 图示正角 以________方向旋转形成的角负角 以________方向旋转形成的角零角 不旋转所形成的角,用0°表示状元随笔 (1)正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的,它们是用来表示具有相反意义的旋转量的.(2)在判断角度时,应时刻抓住“旋转”二字:①要明确旋转方向;②要明确旋转角的大小;③要明确射线未做任何旋转时的位置;④要注意由旋转方向来确定角的符号.要点二 象限角在平面直角坐标系内讨论角,为此取角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的________,那么,角的终边落在第几象限,就说这个角是第几象限角,如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角________任何一个象限.要点三 终边相同的角把所有与角α终边相同的角用集合表示出来,即S=________当k=0时,角β就是角α本身.状元随笔 (1)α为任意角,“k∈Z”这一条件不能漏.(2)k·360 °与α中间用“+”连接,k·360 °-α可理解成k·360 °+(-α).(3)当角的始边相同时,相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们相差360 °的整数倍.终边不同则表示的角一定不同.基础自测1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.( )(2)终边相同的角的表示不唯一.( )(3)终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.( )(4)终边与始边重合的角是零角.( )2.手表时针走1小时转过的角度是( )A.60° B.-60°C.30° D.-30°3.与53°角终边相同的角是( )A.127° B.233°C.-307° D.-127°4.2 019°是第________象限角.题型1 任意角的概念及应用例1 (1)(多选)下列说法错误的是( )A.0°~90°的角是第一象限角B.第二象限角大于第一象限角C.钝角都是第二象限角D.小于90°的角都是锐角(2)将表的分针拨慢30分钟,则这个过程中时针转过的角度是( )A.10° B.15°C.30° D.-30°方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题,关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.跟踪训练1 (1)下列说法正确的是( )A.第一象限的角一定是正角B.三角形的内角不是锐角就是钝角C.锐角小于90°D.终边相同的角相等(2)将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________.题型2 终边相同的角例2 (1)写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1 080°范围内与75°角终边相同的角.(2)写出终边在直线y=-x上的角的集合.方法归纳(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在[0°,360°)内相应的角;②由终边相同的角的表示方法写出角的集合;③根据条件能合并的一定合并,使结果简洁.(2)终边相同的角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍;②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍;③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.跟踪训练2 (1)与-460°角终边相同的角可以表示成( )A.460°+k·360°,k∈ZB.100°+k·360°,k∈ZC.260°+k·360°,k∈ZD.-260°+k·360°,k∈Z(2)终边落在x轴上的角的集合为________________.题型3 象限角与区域角的表示角度1 象限角的判定例3 (多选)若α是第二象限角,则所在的象限是( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限方法归纳关于角nα或象限的确定(1)由α的范围,表示出nα,的范围,由n的取值确定象限.(2)特别地,求所在象限时,可以把每个象限等分为n份,在每一份中按顺序标记一、二、三、四,找到原象限数字即可.(如图)角度2 区域角的表示例4 写出如图所示阴影部分(包括边界)的角α的范围.方法归纳区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°到360°范围内的角α和β,并将该范围内的区域角表示为{x|α<x<β},其中β-α<360°;(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍,即得区域角的范围.跟踪训练3 (1)已知α是第一象限角,那么是( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合.易错辨析 忽视轴线角致误例5 已知α为锐角,则2α为( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第二象限角 D.小于180°的角解析:因为α为锐角,所以α∈(0°,90°),则2α∈(0°,180°).答案:D易错警示易错原因 纠错心得当α=45°时,2α=90°,90°既不是第一象限也不是第二象限角. 易错选:C. 象限角不包括坐标轴表示的角. (0°,180°)内的角不能说是第一或第二象限角,其中还有终边在y轴的非负半轴的角.课堂十分钟1.下列各角中,与35°终边相同的角是( )A.215° B.365° C.755° D.-235°2.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A.120° B.-120° C.240° D.-240°3.若α是第四象限角,则180°-α是( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角4.角α,β的终边关于y轴对称,若α=30°,则β=________,α的相反角为________.5.写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合.参考答案与解析新知初探·课前预习要点一逆时针 顺时针要点二非负半轴 不属于要点三{β|β=α+k·360°,k∈Z}[基础自测]1.答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2.解析:-×360°=-30°.故选D.答案:D3.解析:与53°角终边相同的角是53°+k·360°,k∈Z,当k=-1时,角为-307°.故选C.答案:C4.解析:∵2 019°=360°×5+219°,180°<219°<270°.∴2 019°是第三象限角.答案:三题型探究·课堂解透例1 解析:(1)0°~90°的角是指[0°,90°),0°角不属于任何象限,所以A不正确;120°是第二象限角,390°是第一象限角,显然390°>120°,所以B不正确;钝角的范围是(90°,180°),显然是第二象限角,所以C正确;锐角的范围是(0°,90°),小于90°的角也可以是零角或负角,所以D不正确.故选ABD.(2)分针拨慢,则时针逆时针旋转,故时针转过的角度为正数.又因为分针拨慢30分钟,时针逆时针旋转0.5个小时,所以×360°=15°.故选B.答案:(1)ABD (2)B跟踪训练1 解析:(1)-355°是第一象限的角,但不是正角,所以A错误;三角形的内角还可能是90°,所以B错误;锐角小于90°,C正确;45°角与405°角的终边相同,但不相等,所以D错误.故选C.(2)将时钟拨快20分钟,分针顺时针旋转120°,所以分针转过的度数为-120°.答案:(1)C (2)-120°例2 解析:(1)与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.当360°≤β<1 080°,即360°≤k·360°+75°<1 080°时,解得≤k<2.又k∈Z,所以k=1或k=2.当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.综上所述,与75°角终边相同且在360°~1 080°范围内的角为435°角和795°角.(2)终边在y=-x(x<0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k1·360°,k1∈Z};终边在y=-x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k2·360°,k2∈Z}.因此,终边在直线y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k1·360°,k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°,k2∈Z},即S={α|α=120°+2k1·180°,k1∈Z}∪{α|α=120°+(2k2+1)·180°,k2∈Z}={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.故终边在直线y=-x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.跟踪训练2 解析:(1)因为-460°=260°+(-2)×360°,所以与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°,k∈Z.故选C.(2)在0°~360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,又∵所有与0°角终边相同的角的集合为S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.答案:(1)C (2){β|β=k·180°,k∈Z}例3 解析:∵α是第二象限角,∴90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,∴45°+k·180°<<90°+k·180°,k∈Z.当k=2n(n∈Z)时,45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z);当k=2n+1(n∈Z)时,225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z).∴的终边位于第一或第三象限.故选AC.答案:AC例4 解析:(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°,k∈Z的形式,与-180°+30°=-150°角终边相同的角可写成-150°+k·360°,k∈Z的形式,所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|-150°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z}.(2)因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°,k∈Z的形式,与360°-60°=300°角终边相同的角可写成300°+k·360°,k∈Z的形式,所以图(2)阴影部分的角α的范围为{α|45°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}.跟踪训练3 解析:(1)∵k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z,∴k·180°<<45°+k·180°,k∈Z.当k=2n,n∈Z时,n·360°<<45°+n·360°,n∈Z,∴是第一象限角.当k=2n+1,n∈Z时,180°+n·360°<<45°+180°+n·360°(n∈Z),∴在第三象限.故选D.(2)若角α的终边落在OA上,则α=30°+k·360°,k∈Z.若角α的终边落在OB上,则α=135°+k·360°,k∈Z.所以,角α的终边落在图中阴影区域内时,30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z.故角α的取值集合为{α|30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.答案:(1)D (2)见解析[课堂十分钟]1.解析:755°=2×360°+35°.故选C.答案:C2.解析:一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是-240°,故选D.答案:D3.解析:可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.故选C.答案:C4.解析:∵角α,β的终边关于y轴对称,α=30°,∴β=180°-30°+k·360°=150°+k·360°(k∈Z),α的相反角为-30°.答案:150°+k·360°(k∈Z) -30°5.解析:先写出边界角,再按逆时针顺序写出区域角,则得(1){α|30°+k·360°≤α≤150°+k·360°,k∈Z}.(2){α|-210°+k·360°≤α≤30°+k·360°,k∈Z}.高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案,成套的课件,成套的试题,成套的微专题 期待你的加入与分享高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案,成套的课件,成套的试题,成套的微专题 期待你的加入与分享湘教版高中数学必修第一册-5.1.2弧度制-学案讲义教材要点要点一 度量角的两种单位制角度制 定义 用________作单位来度量角的单位制1度的角 周角的为1度的角,记作1°弧度制 定义 以________为单位来度量角的单位制1弧度的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 ________状元随笔 正确理解弧度与角度的概念区别 (1)定义不同; (2)单位不同:弧度制以“ 弧度”为单位,角度制以“ 度”为单位联系 (1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值; (2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化要点二 弧度数的计算(1)正角:正角的弧度数是一个________.(2)负角:负角的弧度数是一个________.(3)零角:零角的弧度数是________.(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=.要点三 角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度360°=________ 2π rad=________180°=________ π rad=________1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad= °≈57.3°度数×=弧度数 弧度数×=度数状元随笔 对角度制与弧度制换算公式的理解(1)弧度制、角度制都是角的度量制,它们之间可以进行换算.(2)用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但量度相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量度也不同.要点四 扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为r,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则(1)弧长公式:l=________.(2)扇形面积公式:S=lr=α·r2.基础自测1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)1 rad的角和1°的角大小相等.( )(2)用弧度来表示的角都是正角.( )(3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关.( )(4)扇形的半径为1 cm,圆心角为30°,则扇形的弧长l=|α|r=30 cm.( )2.(多选)下列各种说法中,正确的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的C.根据弧度的定义,180°的角一定等于π rad的角D.利用弧度制度量角时,它与圆的半径长短有关3.将864°化为弧度为( )A. B. C. D.π4.扇形圆心角为216°,弧长为30π,则扇形半径为________. 题型1 角度与弧度的互化例1 (1)把-1 125°化为2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式是( )A.-6π- B.-6π+C.-8π- D.-8π+(2)把-化成角度是( )A.18° B.-18° C.36° D.-36°方法归纳进行角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则:牢记180°=π rad,充分利用1°=rad和1 rad=°进行换算.(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=°;n°=n·.提醒:(1)用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写.(2)用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数.(3)度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.跟踪训练1 (多选)下列转化结果正确的是( )A.30°化成弧度是B.-化成度是-600°C.67°30′化成弧度是D.化成度是288°题型2 用弧度制表示角例2 已知角α=2 005°.(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角;(2)在[-5π,0)内找出与α终边相同的角.方法归纳(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β=2kπ+α,k∈Z}.(2)用弧度数表示区域角时,先把角度换算成弧度,再写出与区域角的终边相同的角的集合,最后用不等式表示出区域角的集合,对于能合并的应当合并.跟踪训练2 (1)终边在直线y=-x上的所有角的集合是( )A. B.C. D.(2)用弧度表示终边落在如图①②所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合.题型3 弧长公式与扇形面积公式的应用例3 (1)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数.(2)已知一扇形的圆心角是72°,半径等于20 cm,求扇形的面积.(3)已知一扇形的周长为40 cm,求它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?方法归纳弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法(1)将角度转化为弧度表示,弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化,因此解决这些问题通常采用弧度制.一般地,在几何图形中研究的角,其范围是[0,2π);(2)利用α,l,r,S四个量“知二求二”代入公式.跟踪训练3 (1)一个扇形的弧长为6,面积为6,则这个扇形的圆心角是( )A.1 B.2C.3 D.4(2)已知扇形的圆心角为120°,半径为 cm,则此扇形的面积为________ cm2.易错辨析 混用角度与弧度致误例4 下列与的终边相同的角的表示正确的是( )A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)解析:与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C正确.故选C.答案:C易错警示易错原因 纠错心得忽略了角的度量,单位的一致性,易错选B. 在解决角度制和弧度制的有关问题时,要遵循转换的原则,表达要规范,即在同一个式子中角度制和弧度制不能混用.课堂十分钟1.1 920°的角化为弧度数为( )A. B.C. D.2.已知α=-2 rad,则角α的终边在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知半径为4的圆上,有一条弧所对的圆心角的弧度数为3,则这条弧的弧长为( )A.6 B.8C.10 D.124.已知弧长为π的弧所对圆心角为60°,则这条弧所在圆的半径为________.5.已知角α=1 200°.(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角.(2)在区间[-4π,π]上找出与α终边相同的角.参考答案与解析新知初探·课前预习要点一度 弧度 半径长 rad要点二(1)正数 (2)负数 (3)0 要点三2π rad 360° π rad 180° 要点四α·r [基础自测]1.答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×2.解析:角的大小只与角的始边和终边的位置有关,而与圆的半径大小无关.故选ABC.答案:ABC3.解析:864°=864×=.故选C.答案:C4.解析:∵216°=216×=,l=α·r=r=30π,∴r=25.答案:25题型探究·课堂解透例1 解析:(1)-1 125°=-3×2π-=-4×2π+=-8π+.故选D.(2)-=-×°=-36°.故选D.答案:(1)D (2)D跟踪训练1 解析:30°化成弧度是,A正确;-化成度是-600°,B正确;67°30′是67.5°=67.5×=,C错误;化成度是288°,D正确.故选ABD.答案:ABD例2 解析:(1)∵2 005°=2 005× rad= rad=rad,又∵π<<,∴角α与终边相同,是第三象限的角.(2)与α终边相同的角为2kπ+(k∈Z),由-5π≤2kπ+<0,k∈Z知k=-1,-2,-3.∴在[-5π,0)内与α终边相同的角是-,-,-.跟踪训练2 解析:(1)直线y=-x过原点,它是第二、四象限的角平分线所在的直线,故在0~2π范围内终边在直线y=-x上的角有两个:,.因此终边在直线y=-x上的角的集合S=∪==.故选D.(2)对于题图①,225°角的终边可以看作是-135°角的终边,化为弧度,即-,60°角的终边即的终边,∴所求集合为.对于题图②,同理可得,所求集合为{α}∪{α}={α}.答案:(1)D (2)见解析例3 解析:(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l cm,半径为r cm,依题意有联立①②得r2-5r+4=0,解得r=1或r=4.当r=1时,l=8,此时θ=8 rad>2π rad,舍去;当r=4时,l=2,此时θ==(rad).∴θ= rad.(2)设扇形的圆心角为α,弧长为l cm,半径为r cm,面积为S cm2.∵72°=72×=(rad),∴l=αr=×20=8π(cm).∴S=lr=×8π×20=80π(cm2).(3)设扇形的圆心角为θ,半径为r cm,弧长为l cm,面积为S cm2,则l+2r=40,∴l=40-2r,∴S=lr=×(40-2r)r=(20-r)r=-(r-10)2+100.∴当r=10时,扇形的面积最大.这个最大值为100 cm2,这时θ===2 rad.跟踪训练3 解析:(1)设扇形的圆心角为α,半径为r,弧长为l,面积为S,由扇形的弧长为6,面积为6.则解得α=3,即扇形的圆心角为3 rad.故选C.(2)设扇形的圆心角为α,弧长为l cm,半径为r cm,面积为S cm2,因为120°=120× rad=(rad),所以l=αr=×=(cm).所以S=lr=××=π(cm2).答案:(1)C (2)π[课堂十分钟]1.解析:∵1°=rad,∴1 920°=1 920×rad=rad.故选D.答案:D2.解析:∵1 rad=()°,∴α=-2 rad=-()°≈-114.6°.故角α的终边在第三象限.故选C.答案:C3.解析:由题可得该弧的弧长l=3×4=12.故选D.答案:D4.解析:由弧长公式l=|α|·r,可得半径r===3.答案:35.解析:(1)因为α=1 200°=1 200×==3×2π+,又<<π,所以角α与的终边相同,所以角α是第二象限的角.(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+,k∈Z,所以由-4π≤2kπ+≤π,得-≤k≤.因为k∈Z,所以k=-2或k=-1或k=0.故在区间[-4π,π]上与角α终边相同的角是-,-,.高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案,成套的课件,成套的试题,成套的微专题 期待你的加入与分享 展开更多...... 收起↑ 资源列表 湘教版高中数学必修第一册-5.1.1角的概念的推广-学案讲义【含答案】.docx 湘教版高中数学必修第一册-5.1.2弧度制-学案讲义【含答案】.docx