资源简介

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湘教版高中数学必修第一册-5.1.1角的概念的推广-学案讲义
教材要点
要点一　角的分类
类型 定义 图示
正角 以________方向旋转形成的角
负角 以________方向旋转形成的角
零角 不旋转所形成的角，用0°表示
状元随笔　(1)正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的．
(2)在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向；②要明确旋转角的大小；③要明确射线未做任何旋转时的位置；④要注意由旋转方向来确定角的符号．
要点二　象限角
在平面直角坐标系内讨论角，为此取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的________，那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角________任何一个象限．
要点三　终边相同的角
把所有与角α终边相同的角用集合表示出来，即S＝________当k＝0时，角β就是角α本身．
状元随笔　(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
(2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．
(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(　　)
(2)终边相同的角的表示不唯一．(　　)
(3)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　)
(4)终边与始边重合的角是零角．(　　)
2．手表时针走1小时转过的角度是(　　)
A．60°　　　　　　　　B．－60°
C．30° D．－30°
3．与53°角终边相同的角是(　　)
A．127° B．233°
C．－307° D．－127°
4．2 019°是第________象限角．
题型1　任意角的概念及应用
例1　(1)(多选)下列说法错误的是(　　)
A．0°～90°的角是第一象限角
B．第二象限角大于第一象限角
C．钝角都是第二象限角
D．小于90°的角都是锐角
(2)将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是(　　)
A．10° B．15°
C．30° D．－30°
方法归纳
与角的概念有关问题的解决方法
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
跟踪训练1　(1)下列说法正确的是(　　)
A．第一象限的角一定是正角
B．三角形的内角不是锐角就是钝角
C．锐角小于90°
D．终边相同的角相等
(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．
题型2　终边相同的角
例2　(1)写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．
(2)写出终边在直线y＝－x上的角的集合．
方法归纳
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并的一定合并，使结果简洁．
(2)终边相同的角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
跟踪训练2　(1)与－460°角终边相同的角可以表示成(　　)
A．460°＋k·360°，k∈Z
B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z
D．－260°＋k·360°，k∈Z
(2)终边落在x轴上的角的集合为________________．
题型3　象限角与区域角的表示
角度1　象限角的判定
例3　(多选)若α是第二象限角，则所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
方法归纳
关于角nα或象限的确定
(1)由α的范围，表示出nα，的范围，由n的取值确定象限．
(2)特别地，求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一、二、三、四，找到原象限数字即可．(如图)
角度2　区域角的表示
例4　写出如图所示阴影部分(包括边界)的角α的范围．
方法归纳
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，并将该范围内的区域角表示为{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区域角的范围．
跟踪训练3　(1)已知α是第一象限角，那么是(　　)
A．第一象限角　
B．第二象限角
C．第一或第二象限角
D．第一或第三象限角
(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
易错辨析　忽视轴线角致误
例5　已知α为锐角，则2α为(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．小于180°的角
解析：因为α为锐角，所以α∈(0°，90°)，则2α∈(0°，180°)．
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
当α＝45°时，2α＝90°，90°既不是第一象限也不是第二象限角． 易错选：C. 象限角不包括坐标轴表示的角． (0°，180°)内的角不能说是第一或第二象限角，其中还有终边在y轴的非负半轴的角．
课堂十分钟
1．下列各角中，与35°终边相同的角是(　　)
A．215°　　　B．365° C．755°　　　D．－235°
2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　)
A．120°　　　B．－120° C．240°　　　D．－240°
3．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________，α的相反角为________．
5．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
逆时针　顺时针
要点二
非负半轴　不属于
要点三
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：－×360°＝－30°.
故选D.
答案：D
3．解析：与53°角终边相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，当k＝－1时，角为－307°.
故选C.
答案：C
4．解析：∵2 019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°.
∴2 019°是第三象限角．
答案：三
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以A不正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以B不正确；钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以C正确；锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以D不正确．
故选ABD.
(2)分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以×360°＝15°.
故选B.
答案：(1)ABD　(2)B
跟踪训练1　解析：(1)－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角还可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°角与405°角的终边相同，但不相等，所以D错误．
故选C.
(2)将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转120°，所以分针转过的度数为－120°.
答案：(1)C　(2)－120°
例2　解析：(1)与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．
当360°≤β<1 080°，即360°≤k·360°＋75°<1 080°时，解得≤k<2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1 080°范围内的角为435°角和795°角．
(2)终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}；
终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}．
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
跟踪训练2　解析：(1)因为－460°＝260°＋(－2)×360°，
所以与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
故选C.
(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又∵所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
答案：(1)C　(2){β|β＝k·180°，k∈Z}
例3　解析：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z.当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)；当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z).∴的终边位于第一或第三象限．故选AC.
答案：AC
例4　解析：(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与360°－60°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(2)阴影部分的角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
跟踪训练3　解析：(1)∵k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，
∴k·180°<<45°＋k·180°，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，n·360°<<45°＋n·360°，n∈Z，
∴是第一象限角．
当k＝2n＋1，n∈Z时，180°＋n·360°<<45°＋180°＋n·360°(n∈Z)，
∴在第三象限．
故选D.
(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋k·360°，k∈Z.
若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋k·360°，k∈Z.
所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，
30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z.
故角α的取值集合为{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
答案：(1)D　(2)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：755°＝2×360°＋35°.
故选C.
答案：C
2．解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.
答案：D
3．解析：可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
故选C.
答案：C
4．解析：∵角α，β的终边关于y轴对称，α＝30°，
∴β＝180°－30°＋k·360°＝150°＋k·360°(k∈Z)，α的相反角为－30°.
答案：150°＋k·360°(k∈Z)　－30°
5．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
(2){α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．
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湘教版高中数学必修第一册-5.1.2弧度制-学案讲义
教材要点
要点一　度量角的两种单位制
角度制 定义 用________作单位来度量角的单位制
1度的角 周角的为1度的角，记作1°
弧度制 定义 以________为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 ________
状元随笔　正确理解弧度与角度的概念
区别 (1)定义不同； (2)单位不同：弧度制以“ 弧度”为单位，角度制以“ 度”为单位
联系 (1)不管以“ 弧度”还是以“ 度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值； (2)“ 弧度”与“角度”之间可以相互转化
要点二　弧度数的计算
(1)正角：正角的弧度数是一个________．
(2)负角：负角的弧度数是一个________．
(3)零角：零角的弧度数是________．
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
要点三　角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝________ 2π rad＝________
180°＝________ π rad＝________
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝ °≈57.3°
度数×＝弧度数 弧度数×＝度数
状元随笔　对角度制与弧度制换算公式的理解
(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．
(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．
要点四　扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝________．
(2)扇形面积公式：S＝lr＝α·r2.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1 rad的角和1°的角大小相等．(　　)
(2)用弧度来表示的角都是正角．(　　)
(3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关．(　　)
(4)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝|α|r＝30 cm.(　　)
2．(多选)下列各种说法中，正确的是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad的角
D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关
3．将864°化为弧度为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．π
4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
　　　
题型1　角度与弧度的互化
例1　(1)把－1 125°化为2kπ＋α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式是(　　)
A．－6π－ B．－6π＋
C．－8π－ D．－8π＋
(2)把－化成角度是(　　)
A．18°　　　B．－18° C．36°　　　D．－36°
方法归纳
进行角度制与弧度制互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n·.
提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．
(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．
(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
跟踪训练1　(多选)下列转化结果正确的是(　　)
A．30°化成弧度是
B．－化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是
D．化成度是288°
题型2　用弧度制表示角
例2　已知角α＝2 005°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．
方法归纳
(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．
跟踪训练2　(1)终边在直线y＝－x上的所有角的集合是(　　)
A． B．
C． D．
(2)用弧度表示终边落在如图①②所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
题型3　弧长公式与扇形面积公式的应用
例3　(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
(3)已知一扇形的周长为40 cm，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
方法归纳
弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法
(1)将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是[0，2π)；
(2)利用α，l，r，S四个量“知二求二”代入公式．
跟踪训练3　(1)一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知扇形的圆心角为120°，半径为 cm，则此扇形的面积为________ cm2.
易错辨析　混用角度与弧度致误
例4　下列与的终边相同的角的表示正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
故选C.
答案：C
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略了角的度量，单位的一致性，易错选B. 在解决角度制和弧度制的有关问题时，要遵循转换的原则，表达要规范，即在同一个式子中角度制和弧度制不能混用．
课堂十分钟
1．1 920°的角化为弧度数为(　　)
A． B．
C． D．
2．已知α＝－2 rad，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
4．已知弧长为π的弧所对圆心角为60°，则这条弧所在圆的半径为________．
5．已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角．
(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
度　弧度　半径长　rad
要点二
(1)正数　(2)负数　(3)0　
要点三
2π rad　360°　π rad　180°　
要点四
α·r　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关．
故选ABC.
答案：ABC
3．解析：864°＝864×＝.
故选C.
答案：C
4．解析：∵216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，
∴r＝25.
答案：25
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)－1 125°＝－3×2π－＝－4×2π＋＝－8π＋.
故选D.
(2)－＝－×°＝－36°.
故选D.
答案：(1)D　(2)D
跟踪训练1　解析：30°化成弧度是，A正确；－化成度是－600°，B正确；67°30′是67.5°＝67.5×＝，C错误；化成度是288°，D正确．
故选ABD.
答案：ABD
例2　解析：(1)∵2 005°＝2 005× rad＝ rad＝rad，又∵π<<，
∴角α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，
由－5π≤2kπ＋<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.
∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－，－，－.
跟踪训练2　解析：(1)直线y＝－x过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0～2π范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：，.因此终边在直线y＝－x上的角的集合
S＝∪＝＝.故选D.
(2)对于题图①，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，∴所求集合为.
对于题图②，同理可得，所求集合为
{α}∪
{α}＝
{α}．
答案：(1)D　(2)见解析
例3　解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为r cm，
依题意有
联立①②得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4.
当r＝1时，l＝8，此时θ＝8 rad>2π rad，舍去；
当r＝4时，l＝2，此时θ＝＝(rad).∴θ＝ rad.
(2)设扇形的圆心角为α，弧长为l cm，半径为r cm，面积为S cm2.
∵72°＝72×＝(rad)，∴l＝αr＝×20＝8π(cm).
∴S＝lr＝×8π×20＝80π(cm2).
(3)设扇形的圆心角为θ，半径为r cm，弧长为l cm，面积为S cm2，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r，
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.
∴当r＝10时，扇形的面积最大．
这个最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad.
跟踪训练3　解析：(1)设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由扇形的弧长为6，面积为6.
则解得α＝3，
即扇形的圆心角为3 rad.
故选C.
(2)设扇形的圆心角为α，弧长为l cm，半径为r cm，面积为S cm2，
因为120°＝120× rad＝(rad)，
所以l＝αr＝×＝(cm).
所以S＝lr＝××＝π(cm2).
答案：(1)C　(2)π
[课堂十分钟]
1．解析：∵1°＝rad，∴1 920°＝1 920×rad＝rad.
故选D.
答案：D
2．解析：∵1 rad＝()°，∴α＝－2 rad＝－()°≈－114.6°.故角α的终边在第三象限．
故选C.
答案：C
3．解析：由题可得该弧的弧长l＝3×4＝12.
故选D.
答案：D
4．解析：由弧长公式l＝|α|·r，可得半径r＝＝＝3.
答案：3
5．解析：(1)因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，又<<π，所以角α与的终边相同，所以角α是第二象限的角．
(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
因为k∈Z，
所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，.
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