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湘教版高中数学必修第一册-5.2.3.1诱导公式一、二、三、四-学案讲义
教材要点
要点一　诱导公式一
(1)语言表示：终边相同的角的________三角函数值相等．
(2)式子表示其中k∈Z.
要点二　诱导公式二
终边关系 图示
角－α与角α的终边关于________对称
公式 sin (－α)＝________， cos (－α)＝________， tan (－α)＝－tan α
要点三　诱导公式三
终边关系 图示
角π＋α与角α的终边关于________对称
公式 sin (π＋α)＝________， cos (π＋α)＝________， tan (π＋α)＝________
要点四　诱导公式四
终边关系 图示
角π－α与角α的终边关于________对称
公式 sin (π－α)＝________， cos (π－α)＝________， tan (π－α)＝________
状元随笔　诱导公式一～四的理解
(1)公式一～四中角α是任意角．
(2)公式一概括为：终边相同的角的同一三角函数值相等．
(3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：
①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin (π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin (π＋α)＝－sin α.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式中的角α一定是锐角．(　　)
(2)口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．(　　)
(3)由公式三知cos [－(α－β)]＝－cos (α－β)．(　　)
(4)在△ABC中，sin (A＋B)＝sin C．(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．sin 600°的值是(　　)
A． B．－ C． D．－
3．若sin (π＋α)＝－，则sin (4π－α)的值是(　　)
A．－ B． C．－ D．
4．化简：＝________．
题型1　给角求值问题
例1　(1)sin π·cos π·tan 的值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)sin2120°＋cos180°＋tan 45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________．
方法归纳
利用诱导公式解决给角求值问题的方法
(1)“负化正”；
(2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1　(1)sin 的值等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)sin 585°cos 1290°＋cos (－30°)cos 135°＋tan 135°＝________．
题型2　给值(或式)求值问题
例2　(1)若sin (π＋α)＝，α∈，则tan (π－α)等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
(2)已知cos ＝，求cos －sin2.
变式探究　本例(2)中的条件不变，求cos－sin2.
方法归纳
解决条件求值问题的方法
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
跟踪训练2　(1)已知sin(π－α)＝，则sin (π＋α)＝________．
(2)已知＝3，求tan (5π－α)的值．
题型3　化简求值问题
例3　(1)计算：cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝________．
(2)化简： .
方法归纳
三角函数式化简的方法和技巧
方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，灵活应用相关的公式及变形解决．
技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．
跟踪训练3　的值为(　　)
A．1 B．－1
C．sinα D．tan α
易错辨析　不能正确理解“符号看象限”的含义致误
例4　已知cos (π＋α)＝m，α∈，则sin (5π＋α)＝________．
解析：∵cos (π＋α)＝－cos α＝m，
∴cos α＝－m，
∴sin (5π＋α)＝sin (π＋α)＝－sin α＝－
＝.
答案：
易错警示
易错原因 纠错心得
错误理解“符号看象限”，得到错解： ∵α∈，∴π＋α∈， ∴π＋α是第一象限，∴cos(π＋α)＝cos α＝m， ∴sin (5π＋α)＝sin (π＋α)＝sin α＝－＝－. 在利用诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”判断三角函数符号时，不论角为何值，都应将它看作“锐角”处理．
课堂十分钟
1．cos＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．若cos (π＋α)＝－＜α＜2π，则sin (2π＋α)等于(　　)
A． B．±
C． D．－
3．已知α∈，tan α＝－，则sin (α＋π)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
4．已知cos ＝，则cos 的值为________．
5．化简.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
同一　sinα　cos α　tan α
要点二
x轴　－sin α　cos α
要点三
原点　－sin α　－cos α　tan α
要点四
y轴　sin α　－cos α　－tan α
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：sin 600°＝sin (600°－720°)＝sin (－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－.故选D.
答案：D
3．解析：∵sin (π＋α)＝－，∴sin α＝，sin (4π－α)＝－sin α＝－.故选A.
答案：A
4．解析：原式＝＝＝－1.
答案：－1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)sin π·cos π·tan
＝sin cos tan
＝－sin tan
＝－··(－)
＝－.
故选A.
(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin30°＝－＋＝.
答案：(1)A　(2)
跟踪训练1　解析：(1)sin ＝sin ＝－sin ＝－.故选D.
(2)原式＝sin (360°＋225°)cos (3×360°＋210°)＋cos 30°cos 135°＋tan 135°
＝sin 225°cos 210°＋cos 30°cos 135°＋tan 135°
＝sin (180°＋45°)cos (180°＋30°)＋cos 30°cos (180°－45°)＋tan (180°－45°)
＝sin 45°cos 30°－cos 30°cos 45°－tan 45°
＝×－×－1
＝－1.
答案：(1)D　(2)－1
例2　解析：(1)因为sin (π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－，
又∵α∈，所以cos α＝＝.
所以tanα＝＝－＝－.
所以tan (π－α)＝－tan α＝.故选D.
(2)cos －sin2
＝cos－sin2
＝－cos－
＝－cos－1＋cos2
＝－1＋
＝－.
答案：(1)D　(2)－
变式探究　解析：cos－sin2
＝cos－sin2
＝－cos－sin2
＝－－
＝－.
跟踪训练2　解析：(1)因为sin(π－α)＝sin α＝，
所以sin (π＋α)＝－sin α＝－.
(2)∵
＝
＝
＝3，
∴sin α＝－，
∴当α为第三象限角时，
cos α＝－，tan α＝；
当α为第四象限角时，
cos α＝，tan α＝－.
∴tan (5π－α)＝tan (π－α)＝－tan α＝±.
答案：(1)－　(2)见解析
例3　解析：(1)原式＝cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝cos ＋cos ＋cos －cos －cos －cos ＝0.
(2)原式＝＝·＝1.
答案：(1)0　(2)见解析
跟踪训练3　解析：原式＝＝＝－1.
故选B.
答案：B
[课堂十分钟]
1．解析：cos＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－.
故选A.
答案：A
2．解析：由cos (π＋α)＝－，得cos α＝，故sin (2π＋α)＝sin α＝－＝－(α为第四象限角).故选D.
答案：D
3．解析：由tanα＝－，α∈得sin α＝.又∵sin (α＋π)＝－sin α，∴sin (α＋π)＝－.
答案：B
4．解析：cos ＝cos ＝－cos ＝－.
答案：－
5．解析：tan (－α－180°)＝tan [－(180°＋α)]
＝－tan (180°＋α)＝－tan α，
cos (－180°＋α)＝cos [－(180°－α)]
＝cos (180°－α)＝－cos α，
所以原式＝＝－cos α.
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湘教版高中数学必修第一册-5.2.3.2诱导公式五、六-学案讲义
教材要点
要点一　诱导公式五
sin ＝________，cos ＝________，sin ＝________，cos ＝________
要点二　诱导公式六
tan ＝________，tan ＝________．
状元随笔　(1)诱导公式五、六反应的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．(　　)
(2)cos ＝cos α.(　　)
(3)sin ＝－cos α.(　　)
(4)若α为第二象限角，则sin ＝－cos α.(　　)
2．若sin ＜0，且cos ＞0，则θ是(　　)
A．第一象限角　　B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．已知角θ的终边过点，cos ＝(　　)
A．－ B．
C．－1 D．1
4．sin 95°＋cos 175°的值为________．
题型1　利用诱导公式求值
例1　(1)计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________．
(2)已知sin＝，求cos 的值．
变式探究　本例(2)中的条件不变，求cos 的值．
方法归纳
利用诱导公式五、六求值的三个关注点
(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．
(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．
(3)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．
提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如±α，＋α与－α的关系．
跟踪训练1　(1)已知sin (π＋α)＝，则cos 的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)若cos (α＋π)＝－，则sin ＝________．
题型2　利用诱导公式证明三角恒等式
例2　求证：＝.
方法归纳
证明三角恒等式的常用方法
(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．
(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．
(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1.
跟踪训练2　求证：·sin (α－2π)·cos (2π－α)＝sin2α.
题型3　诱导公式的综合应用
例3　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)已知－＜α＜，f(α)＝，求tan α.
方法归纳
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
跟踪训练3　已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．
易错辨析　不能确定角之间的特殊关系导致诱导公
式应用致误
例4　sin2＋sin2＝________．
解析：sin2＋sin2＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
答案：1
易错警示
易错原因 纠错心得
不能发现“＝”导致无法应用诱导公式进行转换求值． 解决给值求值问题，首先要探寻条件角与问题角之间的关系，便于直接利用诱导公式整体求解．
课堂十分钟
1．已知sinα＝，则cos ＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
2．已知cos (π＋α)＝，则sin 的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
3．已知α为第二象限角，且3sin α＋cos α＝0，则sin ＝(　　)
A． B． C．－ D．－
4．已知α为第二象限角，cos －2sin (π＋α)＝，则cos α＝________．
5．化简：.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
　cos α　sin α　cos α　－sin α
要点二
　　－
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由于sin ＝cos θ<0，cos ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
答案：B
3．解析：因为角θ的终边过点，
所以sin θ＝＝－，
所以cos (－θ)＝sin θ＝－.
故选A.
答案：A
4．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin (90°＋5°)＋cos (180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋sin245°＝1＋1＋…＋144个＋＝.
(2)cos＝cos ＝sin ＝－sin ＝－.
答案：(1)　(2)见解析
变式探究　解析：cos ＝cos ＝－sin ＝sin ＝.
跟踪训练1　解析：(1)∵sin (π＋α)＝－sin α＝，∴sin α＝－，∴cos ＝－sin α＝－＝.故选A.
(2)∵cos (α＋π)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，
∴sin ＝－sin ＝－(－cos α)＝cos α＝.
答案：(1)A　(2)
例2　证明：右边＝
＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
所以原等式成立．
跟踪训练2　证明：左边＝·[－sin (2π－α)]cos α＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边，故原式成立．
例3　解析：(1)f(α)＝
＝＝cos α.
(2)因为f(α)＝，所以cos α＝，
当0≤α<时，sin α＝＝，
所以tanα＝＝，
当－<α<0时，sin α＝－＝－，
所以tanα＝＝－，
综上可得，tan α＝±.
跟踪训练3　解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，
所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin α＝，cos α＝－，
所以原式＝＝－·＝×＝2.
[课堂十分钟]
1．解析：cos ＝－sin α＝－.故选B.
答案：B
2．解析：因为cos (π＋α)＝－cos α＝，所以sin ＝－cos α＝.故选C.
答案：C
3．解析：∵3sin α＋cos α＝0，∴3sin α＝－cos α，
∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋9sin2α＝1，sin2α＝，cos2α＝，
已知α为第二象限角，cosα<0，∴cos α＝－，
即sin ＝cos α＝－.故选D.
答案：D
4．解析：因为cos －2sin (π＋α)＝sin α＋2sin α＝3sin α＝，
可得sin α＝，
因为α为第二象限角，
则cos α＝－＝－.
答案：－
5．解析：原式＝
＝
＝－sin θ.
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湘教版高中数学必修第一册-5.2.1.2用有向线段表示三角函数-学案讲义
教材要点
要点一　三角函数线
1．如图，设单位圆的圆心为直角坐标系的原点O，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D.
由单位圆与角α的交点P作出的这条带方向的线段DP，它的方向和长度分别代表了sin α的符号和绝对值，DP代表的实数就是角α的正弦，故DP称为角α的正弦线．同理有向线段OD称为角α的余弦线．
2．如图，过点A(1，0)作单位圆的切线x＝1，如果tan α存在，设该切线与角α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T(1，y1)，则tan α＝AT，称AT为角α的正切线．
要点二　三角函数值在各象限的符号
状元随笔　对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．因为从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．所以根据三角函数定义知：
(1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号；
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号；
(3)正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)角α的正弦线的长度等于sin α.(　　)
(2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．(　　)
(3)已知α是三角形的内角，则必有cos α＞0.(　　)
(4)若sin α＞0，则α一定在第一或第二象限．(　　)
2．角和角有相同的(　　)
A．正弦线　　B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
3．若sin α＜0，tan α＞0，则α在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．若α是第三象限角，则点P(sin α，cos α)在第________象限．
题型1　三角函数线的作法
例1　作出π的正弦线、余弦线和正切线．
方法归纳
三角函数线的作法步骤
(1)作直角坐标系和角的终边．
(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.
(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.
(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.
(5)即向量，，分别为角的正弦线，余弦线和正切线．
跟踪训练1　作出－的正弦线、余弦线和正切线．
题型2　利用三角函数线解三角不等式
例2　在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
方法归纳
1．用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤
(1)作出取等号的角的终边；
(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；
(3)将图中的范围用不等式表示出来．
2．求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．
跟踪训练2　求y＝lg (1－cos x)的定义域．
题型3　三角函数值在各个象限的符号
角度1　三角函数值符号的判断
例3　判断下列各式的符号．
(1)sin 155°cos (－200°)；(2).
方法归纳
求三角函数值或相关式子的符号的步骤
角度2　由三角函数值的符号判断角所在象限
例4　若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
方法归纳
由三角函数值的符号判断角所在象限的方法
根据三角函数值的符号逆推出角所在的象限(或坐标轴)，当已知该角的两个三角函数值时应取其所在象限的交集．
跟踪训练3　角x的终边在第三象限，则下列各式中符号为正的是(　　)
A．sin x＋cos x B．cos x－tan x
C．tan x·sin x D．tan x－sin x
易错辨析　判断三角函数值符号时忽略轴线角致误例5　已知角α的终边过点P(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
解析：方法一　∵cos α≤0，
∴α的终边在第二或第三象限内，或y轴上，或x轴的非正半轴上．
∵sin α＞0，∴α的终边在第一或第二象限内，或y轴的非负半轴上．
∴点P在第二象限或y轴的非负半轴上．
∴∴－2＜a≤3，
∴实数a的取值范围是(－2，3].
方法二　由三角函数的定义可知，cos α＝≤0，
sin α＝＞0，
∴∴－2＜a≤3，
∴实数a的取值范围是(－2，3].
答案：(－2，3]
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略了角α的终边落在y轴的非负半轴上，导致得到错误答案(－2，3)． 由三角函数值的符号确定参数的取值范围时，要注意“等号”(轴线角)问题，掌握三角函数的定义是解决该问题的关键．如角α的终边过点(x，y)，则sin α＞0 y＞0 α的终边在第一或第二象限内，或y轴的非负半轴上．
课堂十分钟
1．在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[]
C．[] D．[，π]
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若角α的终边过点(－5，－3)，则(　　)
A．sin αtan α＞0 B．cos αtan α＞0
C．sin αcos α＞0 D．sin αcos α＜0
4．当α为第二象限角时，的值是________．
5．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝；
(2)cos α＝－.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．
答案：C
3．解析：若sin α<0，则α是终边落在第三、四象限或y轴非正半轴上的角．若tan α>0，则α是终边落在第一或三象限的角，故α在第三象限内．
答案：C
4．解析：∵α为第三象限角，
∴sin α<0，cos α<0，
∴P(sin α，cos α)位于第三象限．
答案：三
题型探究·课堂解透
例1　解析：在直角坐标系中作单位圆，如图所示，以Ox轴为始边作角π，角的终边与单位圆交于点P作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sinπ＝，cosπ＝，tanπ＝， 即π的正弦线为 ，余弦线为，正切线为.
跟踪训练1　解析：如图所示，所以角－π的正弦线为，余弦线为，正切线为.
例2　解析：(1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
(2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为.
跟踪训练2　解析：如图所示，因为1－cos x＞0，所以cos x＜，所以2kπ＋＜x＜2kπ＋ (k∈Z)，所以函数定义域为(2kπ＋) (k∈Z).
例3　解析：(1)∵155°是第二象限角，∴sin 155°>0.
∵－200°＝－360°＋160°，∴－200°是第二象限角，∴cos (－200°)<0.
∴sin 155°cos (－200°)<0.
(2)∵2∈，3∈，4∈，6∈，
∴sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0，∴>0.
例4　解析：由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．
答案：C
跟踪训练3　解析：由于角x的终边在第三象限，那么有sin x<0，cos x<0，tan x>0，所以sin x＋cos x<0，cos x－tan x<0，tan x·sin x<0，tan x－sin x>0.故选D.
答案：D
[课堂十分钟]
1．解析：画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x≥的取值范围是[,].
答案：B
2．解析：因为点P在第三象限，
所以tan α<0，cos α<0，所以α为第二象限角．
故选B.
答案：B
3．解析：∵角α的终边过点(－5，－3)，
∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，
∴sin αcos α>0
故选C.
答案：C
4．解析：∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴＝－＝2.
答案：2
5．解析：(1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙．
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湘教版高中数学必修第一册-5.2.2同角三角函数的基本关系-学案讲义
教材要点
要点　同角三角函数的基本关系式
状元随笔　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)关系式的逆用及变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．(　　)
(2)对任意角α，sinα＝cos α·tan α都成立．(　　)
(3)sin2＋cos2＝1.(　　)
(4)对任意的角α，都有tanα＝成立．(　　)
2．若α为第二象限角，且sin α＝，则cos α＝(　　)
A．－　　　B． C．　　　D．－
3．已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是(　　)
A．－　　　B． C．　 　D．－
4．已知tan α＝－，则的值是________．
题型1　利用同角三角函数的基本关系求值
角度1　已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
例1　(1)已知sinα＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
方法归纳
在使用开平方关系sin α＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限．
角度2　利用弦化切求值
例2　已知tanα＝2，求下列各式的值．
(1)；(2)4sin2α－3sinαcos α＋1.
方法归纳
所求式子都是关于sin α、cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cos α的整数次幂，就是把所求式子用tan α表示，再求式子的值．
角度3　与sin θ±cos θ，sin θcos θ有关的求值．
例3　已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，求：
(1)sin θ·cos θ；(2)sin θ－cos θ.
方法归纳
此类问题求值时，若涉及开方，要注意利用角的范围确定三角函数值的符号．如该题易忽略角θ的取值范围得sin θ－cos θ＝±，实际上，结合0＜θ＜π这一条件，可以确定sin θ－cos θ的符号．
跟踪训练1　(1)已知＝，则tan θ的值为(　　)
A．－4 B．－
C． D．4
(2)已知sin θ＋cos θ＝，且0＜θ＜π，则sin θ－cos θ＝________．
题型2　利用同角三角函数关系化简
例4　化简：
(1)；
(2).
方法归纳
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．
跟踪训练2　(1)化简：；
(2)化简：sin2αtanα＋2sin αcos α＋.
题型3　利用同角三角函数关系证明
例5　求证：＝ .
方法归纳
证明简单三角恒等式的思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．
(2)证明左右两边等于同一个式子．
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练3　求证：tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.
易错辨析　忽略题目隐含范围致错
例6　已知sinθ＝，cos θ＝，若θ为第二象限角，则下列结论正确的是(　　)
A．a∈ B．a＝1
C．a＝1或a＝ D．a＝
解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴＋＝1，
解得a＝1或a＝，
当a＝1时，sinθ＝0，θ不是第二象限角，舍去；
当a＝时，sin θ＞0，cos θ＜0，符合题意．
∴a＝.故选D.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略了sin θ＞0，cos θ＜0这一条件确定a的范围，或者利用平方关系解出a值后，未检验致错，易错选C. 利用同角三角函数基本关系求参数时，要注意检验．
课堂十分钟
1．已知sin α＝，α∈，则tan α的值为(　　)
A．－　　　B．　　　C．－2　　　D．2
2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－ B．－ C． D．
3．已知sinθ＋cos θ＝(0＜θ＜)，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
4．若tan x＝2，则cos2x－2sinx cos x＝________．
5．化简：·.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
sin2α＋cos2α＝1　tanα＝
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝－＝－.
故选A.
答案：A
3．解析：∵α∈(π，)，∴sinα<0.由tan α＝＝，
sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－.
故选A.
答案：A
4．解析：＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
又∵α是第三象限角，∴cosα<0，
即cos α＝－，∴tan α＝＝－×＝.
(2)∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝＝＝，
tanα＝＝－；
当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
∴sin α＝－＝－＝－，
tanα＝＝.
例2　解析：(1)原式＝＝＝＝－1.
(2)4sin2α－3sinαcos α＋1
＝＋1
＝＋1
＝＋1＝3.
例3　解析：(1)∵sinθ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
即1＋2sin θcos θ＝，∴sin θ·cos θ＝－.
(2)∵θ∈(0，π)，由(1)知sin θcos θ＝－，
∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，
∴sin θ－cos θ＝＝＝＝＝.
跟踪训练1　解析：(1)＝＝，解得tan θ＝－4.
故选A.
(2)∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
解得sin θcos θ＝－，
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝.
∵0<θ<π且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0，
∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝.
答案：(1)A　(2)
例4　解析：(1)－＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)＝
＝＝1.
跟踪训练2　解析：
(1)原式＝
＝＝＝1.
(2)原式＝sin2α·＋2sin αcos α＋cos2α·
＝＝
＝.
例5　证明：左边＝＝＝＝＝右边，∴原式成立．
跟踪训练3　证明：左边＝tan2α－sin2α＝－sin2α
＝＝
＝sin2α·＝tan2α·sin2α＝右边
∴原式成立．
[课堂十分钟]
1．解析：因为sinα＝，α∈()，
所以cos α＝－＝－，
则tanα＝＝－.
故选A.
答案：A
2．解析：sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
故选B.
答案：B
3．解析：∵已知sinθ＋cos θ＝ (0＜θ＜)，
∴1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝.
故sin θ－cos θ＝－＝－＝－.
故选B.
答案：B
4．解析：∵tan x＝2，
∴原式＝＝＝＝－.
答案：－
5．解析：原式＝·
＝＝1.
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湘教版高中数学必修第一册-5.2.1.1用比值定义三角函数-学案讲义
教材要点
要点一　任意角的三角函数的定义
如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)的定义：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________，其中r＝.以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切，y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数都称为三角函数．
状元随笔　角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．
要点二　三角函数的定义域
正弦函数y＝sin α，定义域为________；
余弦函数y＝cos α，定义域为________；
正切函数y＝tan α，定义域为________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin α表示sin 与α的乘积．(　　)
(2)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化．(　　)
(3)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．(　　)
(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　　)
2．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．－ B．－ C． D．
3．若角θ的终边经过点P，则tan θ＝(　　)
A． B．－ C．－1 D．－
4．如果角α的终边经过点P(－1，)，则cos α＝________．
题型1　单位圆法求三角函数值
例1　(1)角α终边与单位圆相交于点M，则cos α＋sin α的值为________．
(2)利用定义求的正弦、余弦和正切值．
方法归纳
1．若已知角α的大小，只需确定出角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角α的各三角函数值．
2．若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
跟踪训练1　(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，求tan α.
题型2　坐标法求三角函数值
例2　已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
方法归纳
(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练2　已知角α的终边上一点P(1，m)，且sin α＝，则m＝(　　)
A．± B．
C．－ D．
题型3　三角函数概念的综合应用
例3　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
方法归纳
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况进行处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.
跟踪训练3　已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值．
易错辨析　忽略题目中的隐含条件致误
例4　已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)且cos α＝－，则m的值为(　　)
A． B．－
C．－ D．±
解析：∵点P到原点的距离r＝，
∴cos α＝＝－，
即＝，且m＞0，解得m＝.
故选A.
答案：A
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视m＞0这一条件，易错选D. 在解这类问题时，一定要注意题目中的隐含条件，把取值范围限定在最小的区间，这样才可以准确得出α所在象限或参数的值．
课堂十分钟
1．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则tan α的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
2．在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x轴非负半轴重合，角θ的终边经过点P(－3，4)，则cos θ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于(　　)
A． B．－
C．－ D．－
4．已知角α的终边在射线y＝－x(x≤0)上，则cos α＝________．
5．已知角θ的终边上一点P(－，m)，且sin θ＝m.求cos θ与tan θ.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
　　　
要点二
R　R　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：根据任意角的正弦定义，可得sin α＝y＝－.
故选B.
答案：B
3．解析：角θ的终边经过点P(－)，则tan θ＝＝－1，
故选C.
答案：C
4．解析：∵角α的终边经过点P(－1，)，∴|OP|＝＝2，∴cos α＝－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由三角函数的定义得sin α＝，cos α＝，
所以cos α＋sin α＝＋＝.
(2)如图所示，的终边与单位圆的交点为P，过P作PB⊥x轴于点B，
在△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝，
则|PB|＝，|OB|＝，
则P
所以sin ＝，cos ＝－
tan ＝－.
答案：(1)　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)由三角函数的定义sin α＝，cos β＝－，
所以sin αcos β＝×＝－.
故选B.
(2)由题意，设点A的坐标为，
所以x2＋＝1，解得x＝或－.
当x＝时，tan α＝＝；
当x＝－时，tan α＝＝－.
答案：(1)B　(2)见解析
例2　解析：r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
综上所述：当a>0时，2sin α＋cos α＝1；当a<0时，2sin α＋cos α＝－1.
跟踪训练2　解析：角α的终边上一点P(1，m)，
所以r＝|OP|＝，
所以sin α＝＝>0，
解得m＝.
故选B.
答案：B
例3　解析：由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，
＝＝＝，
所以10sin α＋＝10×＋3＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
所以10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.
综上所述，10sin α＋＝0.
跟踪训练3　解析：因为角α的终边在直线y＝x上，
所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r＝＝2|a|(a≠0).
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝＝，cos α＝＝，
tan α＝＝.
若a<0时，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，
cos α＝＝－，tan α＝＝.
[课堂十分钟]
1．解析：由正切函数的定义可得，tan α＝＝－.
故选A.
答案：A
2．解析：∵角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x轴非负半轴重合，
角θ的终边经过点P(－3，4)，则cos θ＝＝－，
故选A.
答案：A
3．解析：∵x＝2sin 30°＝1，y＝－2cos 30°＝－，
∴r＝＝2，∴sin α＝＝－.
故选C.
答案：C
4．解析：在角α的终边y＝－x(x≤0)上任取一点(－1，1)，
则cos α＝＝－.
答案：－
5．解析：由题意得sin θ＝＝m，
若m＝0，则cos θ＝－1，tan θ＝0.
若m≠0，则m＝±.
当m＝时，cos θ＝－，tan θ＝－；
当m＝－时，cos θ＝－，tan θ＝.
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