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湘教版高中数学必修第一册-6.4.2用样本估计总体的离散程度-学案讲义
最新课程标准 结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差)，理解离散程度参数的统计含义． 学科核心素养 1.通过实例，了解极差、标准差、方差的概念．(数学抽象) 2．会利用标准差、方差、极差估计总体的离散程度．(数据分析)
教材要点
要点一　极差
将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将________与________之差称为极差，也称全距，用R表示．
要点二　方差
1．总体方差：若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝为总体方差或方差．
总体方差σ2刻画了总体中的个体向总体均值μ的集中或离散的程度：方差越小，表明个体与均值μ的距离越近，个体向μ集中得越好．
总体方差σ2也刻画了总体中个体的稳定或波动的程度：方差越小，表明个体越整齐，波动越小．
2．样本方差：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称s2＝______________为这n个数据的样本方差，也简称为方差．
样本方差s2刻画了样本数据相对于样本均值____________的程度．
要点三　标准差
标准差是方差的算术平方根．
s＝ .
如果σ2是总体方差，则称σ＝是总体标准差；如果s2是样本方差，则称s＝是样本标准差．
基础自测
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方差越大，数据的稳定性越强．(　　)
(2)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.(　　)
(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．(　　)
(4)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大．(　　)
2．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　)
A．平均数 B．中位数
C．方差 D．众数
3．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　)
A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3
C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1
4．已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________．
题型1　方差、标准差的计算
例1　从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高：
甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；
乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40.
试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．
方法归纳
标准差、方差的意义
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
跟踪训练1　(1)样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的方差为(　　)
A． B．
C． D．2
(2)为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
题型2　方差、标准差的应用
例2　一次数学知识竞赛中，两组学生的成绩如下：
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
经计算，两组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由．
方法归纳
(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．
(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“ 好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．
跟踪训练2　甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
①分别计算两组数据的平均数及方差；
②根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
易错辨析　忽略方差的统计意义出错
例3　甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/km2)如下：
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
若某村要从中引进一种冬小麦大量种植，给出你的建议．
解析：由题意得＝×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，
＝×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝
＝×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝
＝×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，
甲、乙两种冬小麦的平均产量都为10 t/km2，且，所以产量比较稳定的为甲种冬小麦，故推荐引进甲种冬小麦大量种植．
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题容易在求出平均产量后，得到“甲、乙两种冬小麦的平均产量都为10 t/km2，所以引进两种冬小麦的任意一种都可以”的错误结论．原因是只比较了两种冬小麦的平均产量，而忽略了对冬小麦产量稳定性的讨论． 平均数反映的是样本的平均水平，方差和标准差则反映了样本的波动、离散程度．对于形如“谁发挥更好”“谁更优秀”的题目，除比较数据的平均值外，还应该比较方差或标准差的大小，以作出更为公正、合理的判断．
课堂十分钟
1．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 2
乙 30 3
其中＝，则两个班数学成绩的方差为(　　)
A.3 B．2
C.2.6 D．2.5
2．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均环数 8.3 8.8 8.8 8.7
方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)
3．甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和(1)中的计算结果，对两人的训练成绩作出评价．
参考答案与解析
要点一
最大值　最小值
要点二
2. [(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]　集中或离散
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．故选C.
答案：C
3．解析：所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.故选D.
答案：D
4．解析：因为＝×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，
所以s＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，
＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，
s甲＝≈10.208.
＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，
同理＝128.8，s乙＝≈11.349.
跟踪训练1　解析：(1)由平均数为1可得＝1，解得a＝－1.所以样本的方差s2＝＝2.故选D.
(2)设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，
则平均数＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7，
方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]÷5＝4.
从而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35　①，
(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20　②.
由题意可知，样本数据均为整数，若样本数据中的最大值为11，不妨设x5＝11，则②式变为(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＝4，由于样本数据互不相同，因此这是不可能成立的．
若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10.
答案：(1)D　(2)10
例2　解析：从不同的角度分析如下：
①甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩好些．②＝×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172.同理得＝256.因为＜，所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定．③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．④从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多．同时，乙组满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组成绩较好．
跟踪训练2　解析：①＝ (99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
＝ (99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
＝ [(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
＝ [(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
②两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又>，
所以乙机床加工零件的质量更稳定．
[课堂十分钟]
1．解析：由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝＝
，则两个班数学成绩的方差为s2＝{20[2＋(－)2]＋30[3＋(－)2]}＝2.6，故选C.
答案：C
2．解析：分析表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又因为丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．
答案：丙
3．解析：(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10，13，12，14，16；乙：13，14，12，12，14.
＝＝13，
＝＝13，
＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由＞可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
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湘教版高中数学必修第一册-6.3统计图表-学案讲义
最新课程标准 能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性． 学科核心素养 1.掌握四种统计图表的功能和特点．(直观想象) 2．选择科学的统计图表，对实际问题和收集到的数据特点进行分析．(数据分析)
教材要点
要点一　扇形统计图
扇形统计图中，用圆面积代表总体，圆面中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形面积的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小．
要点二　 条形统计图
条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来．
要点三　折线统计图
建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应点，然后用直线段顺次连接相邻点，得到一条折线，用这条折线表示样本数据情况，这种表述和分析数据的统计图称为折线统计图．
要点四　频率分布直方图
1．定义：如果在直角坐标系中，用横轴表示样本量，纵轴表示________，将各分组的端点画在横坐标上，用gi＝作为小矩形的高，得到由相连小矩形构成的图形．这样的图形称为频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
(1)各个小矩形的面积和为________．
(2)纵轴的含义为，矩形的面积＝组矩×＝频率．
3．绘制频率分布直方图的步骤
(1)计算极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
(2)确定组距和组数
(3)将数据分组
(4)列频率分布表
(5)画频率分布直方图
4．频率分布折线图
将频率分布直方图中的左边和右边各延长一个分组，取各相邻小矩形上底边的中点，用线段顺次连接各点．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)扇形统计图比其他统计图更优越．(　　)
(2)决定组距和组数时，组数越多越好．(　　)
(3)频率分布直方图的纵坐标是频率．(　　)
(4)频率分布直方图中各小矩形的面积之和可以不为1.(　　)
2．如图所示的两组数据中，波动比较大的是(　　)
A．a组　　　B．b组
C．一样大 D．无法确定
3．(多选)关于频率分布直方图中的有关数据，下列说法不正确的是(　　)
A．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值
B．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率
C．直方图的高表示取某数的频率
D．直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值
4．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为________．
题型1　条形统计图的应用
例1　(多选)由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值，如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合下图，下列说法正确的是(　　)
A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
方法归纳
在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．实际问题中，我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画(描述)就越精确．
跟踪训练1　如图1为某省2021年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2021年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是(　　)
A.2021年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2 000万件
B．2021年1～4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高
C．从两图来看2021年1～4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D．从1～4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长
题型2　扇形图的应用
例2　某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下扇形统计图：
则下面结论中不正确的是(　　)
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
方法归纳
扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据．
跟踪训练2　如图所示的是某保险公司提供的资料，在1万元以上的保险单中，有少于2.5万元，那么不少于2.5万元的保险单有________万元．
题型3　折线图的应用
例3　某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，说法错误的是(　　)
A．月收入的极差为60
B．7月份的利润最大
C．这12个月利润的平均数在30万元以上
D．这一年的总利润超过400万元
方法归纳
在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．
跟踪训练3　如图所示的是某市2020年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是(　　)
A．4月1日 B．4月2日
C．4月3日 D．4月5日
题型4　频率分布直方图的绘制
例4　为了了解某片经济林的生长情况，随机测量其中的100棵树的底部周长(单位：cm)，得到如下数据：
135　98 　102　110　99 　121　110　96 　100　103
125 97 117 113 110 92 102 109 104 112
109 124 87 131 97 102 123 104 104 128
105 123 111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117 104 109
111 89 110 121 80 120 121 104 108 118
129 99 90 99 121 123 107 111 91 100
99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108
123 119 98 121 101 113 102 103 104 108
(1)画出频率分布直方图；
(2)估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树占多少，底部周长不小于120 cm的树占多少．
方法归纳
绘制频率分布直方图应注意的问题
(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“”所占的比例来定高．如我们预先设定以“”为1单位长度，代表“0.1”，则若一个组的为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，依此类推．
(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.
跟踪训练4　从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下：
[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率直方图；
(3)估计成绩在[60，90)分的学生比例．
易错辨析　误将频率分布直方图的纵轴当作频率出错
例5　中小学生的视力状况受到社会的关注．某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示，从左至右五个小组的频率之比为5∶7∶12∶10∶6，则这抽取的400名高一学生中视力在[3.95，4.25)范围内的学生有________人．
解析：由图可知，第五小组的频率为0.5×0.3＝0.15，
所以第一小组的频率为
0．15×＝0.125.
所以这抽取的400名高一学生中视力在[3.95，4.25)范围内的学生有400×0.125＝50(人)．
答案：50
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题易将频率分布直方图中的纵轴(频率与组距的比)看成频率，出现如下错误：由图可知，第五小组的频率为0.5. 在频率分布直方图中，纵轴表示的是频率与组距的比，将频率与组距的比错认成频率是初学者经常犯的错误之一，解题过程中要对此足够重视．
课堂十分钟
1．如果想用统计图来反映各数据的变化趋势，比较合适的统计图是(　　)
A．条形图　　B．折线图
C．扇形图 D．其他图形
2．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为(　　)
A．10组 B．9组
C．8组 D．7组
3．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是(　　)
4．已知某地区人口总数为125万，具体分布如图，近期，卫计委拟针对18到60岁的人群开展新冠疫苗接种工作，抽样发现，他们中有80%的人符合接种的健康要求．截止3月底，已有30%符合健康要求的人接种了第一剂，据要求，这部分人需要在4月份接种第二剂，剩余70%符合健康要求的人需在4月份接种第一剂，5月份接种第二剂．则该地区4月份需要________万剂疫苗．
5．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图所示．
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的学生占总人数的百分比是多少．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点四
　　1
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由折线图可知，a波动较大．
故选A.
答案：A
3．解析：直方图的高表示频率与组距的比值，直方图的面积为频率．A正确，BCD不正确．
故选BCD.
答案：BCD
4．解析：依题意得＝0.125，∴n＝＝320.
答案：320
题型探究·课堂解透
例1　解析：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．故选ABD.
答案：ABD
跟踪训练1　解析：对于选项A：2021年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为4 397－2 411＝1 986，接近2 000万件，所以A是正确的；对于选项B：2021年1～4月的业务量同比增长率分别为55%，53%，62%，58%，均超过50%，在3月最高，所以B是正确的；对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D：1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误．
故选D.
答案：D
例2　解析：设新农村建设前的经济收入为m(m＞0)元，则新农村建设后的经济收入为2m元．
A选项，0.37×2m－0.60m＝0.14m＞0，种植收入增多；
B选项，(0.05×2m-0.04m)/(0.04m)＝1.5＞1，其他收入增加了一倍以上；
C选项，(0.30×2m-0.30m)/(0.30m)＝1，养殖收入增加了一倍；
D选项，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和在经济收入当中占的比例为30%＋28%＝58%＞50%.
故选A.
答案：A
跟踪训练2　解析：不少于1万元的占700万元的21%，金额为700×21%＝147(万元).1万元以上的保险单中，超过或等于2.5万元的保险单占，金额为×147＝91(万元)，故不少于2.5万元的保险单有91万元．
答案：91
例3　解析：由图可知月收入的极差为90－30＝60，故A正确；1至12月份的利润(单位：万元)分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30.其中7月份的利润最大，故B正确；
易求得总利润为380万元，月平均利润为≈31.7(万元)，故C正确，D错误．
答案：D
跟踪训练3　解析：由折线统计图可以看出，该市日温差最大的一天是4月5日．
故选D.
答案：D
例4　解析：(1)第一步：求极差．
135－80＝55.
第二步：决定组距与组数．
若取组距为5，由于＝11，组距合适．于是取组距为5，组数为11.
第三步：将数据分组．
所分的11个小组可以是[80，85)，[85，90)，[90，95)，…，[130，135].
第四步：列频率分布表．
对各小组进行频数累计，然后数频数，算频率，列出的频率分布表如下所示：
分组 频数累计 频数 频率
[80，85) 1 0.01
[85，90) 2 0.02
[90，95) 4 0.04
[95，100) 正正 14 0.14
[100，105) 正正正正 24 0.24
[105，110) 正正正 15 0.15
[110，115) 正正 12 0.12
[115，120) 正 9 0.09
[120，125) 正正 11 0.11
[125，130) 正 6 0.06
[130，135] 2 0.02
合计 100 1.00
第五步：画频率分布直方图．
如图所示．
(2)从频率分布表得，样本中底部周长小于100 cm的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，样本中底部周长不小于120 cm的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19，所以估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树占21%，底部周长不小于120 cm的树占19%.
跟踪训练4　解析：(1)频率分布表如下．
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40，50) 2 0.04 0.004
[50，60) 3 0.06 0.006
[60，70) 10 0.2 0.02
[70，80) 15 0.3 0.03
[80，90) 12 0.24 0.024
[90，100] 8 0.16 0.016
合计 50 1.00 0.1
(2)频率分布直方图如图所示．
(3)学生成绩在[60，90)分的频率为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%，所以估计成绩在[60，90)分的学生比例为74%.
[课堂十分钟]
1．解析：对于A，条形图能清晰反映出各组数据的数量多少，易于比较各组数据的差别．所以A错误；对于B，折线图能反映各数据的变化趋势，所以B正确；对于C，扇形图能清晰表示出各部分在总体中所占的百分比，所以C错误．故选B.
答案：B
2．解析：极差为140－51＝89，而组距为10，故应将样本数据分为9组．
故选B.
答案：B
3．解析：用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此最为合适的统计图是条形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图．
故选D.
答案：D
4．解析：18到60岁的人数为125×(1-0.15-0.15)＝125×0.7＝87.5万人，
其中符合健康要求的接种人数为87.5×0.8＝70万人，
所以需要70万剂疫苗．
答案：70
5．解析：(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%，估计全校男生人数为＝400.
(2)由统计图知，样本身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以在样本中学生身高在170～185 cm之间所占比例为×100%＝50%，
故可估计该校学生身高在170～185 cm之间的学生占总人数的50%.
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湘教版高中数学必修第一册-6.1获取数据的途径及统计概念-学案讲义
最新课程标准 1.知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等． 2．了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性，了解样本与总体的关系． 学科核心素养 1.了解获取数据的途径及统计中的概念．(数学抽象) 2．通过获取数据的途径获取有关数据．(数据分析、数学建模)
教材要点
要点一　收集数据
从使用者的角度看，统计数据主要来自两条途径：间接来源和直接来源．
1．数据的间接来源
如果与研究内容有关的原信息已经存在，我们只是对这些原信息重新加工、整理，使之成为我们进行统计分析可以使用的数据，就称该原信息为间接来源的数据．间接来源数据又称为二手数据．
2．数据的直接来源
通过调查和实验的方法获取数据称为直接数据或第一手数据．
要点二　统计中的几个基本概念
1．总体与个体：把________的全体叫作总体，把总体中的成员叫作个体．
2．样本：从总体中抽取的一部分个体就称为总体的一个样本，样本也叫作观测数据，构成样本的________称为样本容量，简称样本量．从总体中抽取样本的工作称为抽样．
3．普查与抽样调查
统计调查一般分为两种：普查与抽样调查．
(1)普查：又称________，即对需要调查的对象进行逐个调查．
(2)抽样调查：从调查对象的总体中，抽取若干个个体进行调查．
状元随笔　总结普查与抽样调查的对照表
特点调查方法 普查 抽样调查
优点 ①所取得的资料更加全面、系统； ②调查特定时段的社会经济现象总体的数量 ①迅速、及时； ②节约人力、物力、财力，对个体信息的了解更详细
缺点 耗费大量的人力、物力、财力 获取的信息不够全面、系统
适用范围 总体容量不大，要获取详实、系统、全面的信息 ①大批量检验；②破坏性检验；③不必要普查等
基础自测
1.思考辨析．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)通过互联网获取的数据是间接数据．(　　)
(2)普查所取得的资料更全面．(　　)
(3)抽查的结果具有确定性．(　　)
(4)样本量是一个有单位的量．(　　)
2．下列调查中，必须采用普查的是(　　)
A．调查某品牌电视机的市场占有率
B．调查某电视连续剧在全国的收视率
C．调查高一(1)班的男女同学的比例
D．调查某型号炮弹的射程
3．下列要研究的数据一般通过试验获取的是(　　)
A．某品牌电视机的市场占有率
B．某电视连续剧在全国的收视率
C．某校七年级一班的男女同学的比例
D．某型号炮弹的射程
4．下列调查属于抽样调查的是________．(只填序号)
①为了了解高一(4)班每个学生的视力情况，对全班同学进行调查；
②为了了解人们对2020年春节联欢晚会(央视)的收视情况，对部分电视观众进行调查；
③某乳业公司对其当天生产的液态奶制品进行质量检验；
④医生检验某病人血液中血糖的含量．
题型1　统计中几个基本概念的理解
例1　(多选)为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生测量其身高，下列说法不正确的是(　　)
A．总体是240
B．个体是每一名学生
C．样本是40名学生
D．总体是全校240名学生的身高
方法归纳
解决此类问题要明确概念的实质，应注意两个问题
(1)调查对象是什么，如本例调查对象是“每名学生的身高”，不是“每名学生”．
(2)样本容量是样本中个体的数目，无单位．
跟踪训练1　为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽测了100名学生的视力情况(数据)．在这个过程中，100名学生的视力情况(数据)是(　　)
A．总体 B．个体
C．总体的一个样本 D．样本容量
题型2　普查与抽查
例2　下列问题中，
①调查我市中小学生每天的课外阅读时间；
②某列车中有位乘客感染了2019－nCoV病毒，对乘坐此列车的乘客进行检查；
③调查2020年2月20日济南长清区地震后，济南市民的心理健康状况；
④调查某快餐店中8位店员的收入情况．
适合普查的是________，适合用抽样调查的是________．(填序号)
方法归纳
选择普查与抽样调查的大体标准是：当总体容量很大时，通常是通过科学的抽样方法抽取具有代表性的样本进行抽查；当总体容量较小时，如果所进行的调查没有破坏性，那么可以选择普查，但是，如果所进行的调查具有破坏性，无论总体容量是多少，都只能选择抽样调查．
跟踪训练2　(多选)下面的四个问题中，可以用抽样调查方法的是(　　)
A．武汉火神山医院库房工作人员对新入库的10万只一次性医用口罩进行质检
B．中国银行某分行对某公司100万元存款的现钞的真假检验
C．空降兵战士检查20个伞包及伞的质量
D．一汽大众质检部门检验最新一批斯柯达汽车的防碰撞性能
题型3　设计调查方案
例3　你的班主任想全面了解你班学生的学习情况和思想状况，请你帮助班主任设计一个调查方案．
方法归纳
在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断．
跟踪训练3　如果要调查你们学校同学的近视情况，那么你会怎样做？将你的想法写成调查方案，并与同学们交流你的调查方案与想法．
易错辨析　不理解抽样中总体与样本的概念致误
例4　为了调查参加运动会的1 000名运动员的平均年龄，从中抽取了100名运动员进行调查，下面说法正确的是(　　)
A．1 000名运动员是总体
B．每名运动员是个体
C．抽取的100名运动员是样本
D．样本容量是100
解析：根据调查目的可知，总体是这1 000名运动员的年龄，个体是每名运动员的年龄，样本是抽取的100名运动员的年龄，样本容量是100.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
没有理解总体与样本的概念，导致错选A. 总体是指调查对象的全体，这里的调查对象不是指对象本身，而是指对象的某项指标．本题中，总体不是1 000名运动员，而是1 000名运动员的年龄．
课堂十分钟
1．下列调查适宜用普查的是(　　)
A．检测某城市的空气质量
B．对你所在班级的学生最喜欢的体育活动进行调查
C．某轮胎厂要对某批次轮胎的使用寿命进行检测
D．对上海市常住人口家庭收入情况进行调查
2．(多选)下列调查方式不合适的是(　　)
A．为了了解某型号炮弹的杀伤力，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式
C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽查的方式
D．对载人航天器“神舟十二号”零部件的检查，采用抽查的方式
3．某市为了分析全市9 800名初中毕业生的数学考试成绩，抽取50本试卷，每本都是30份，则样本容量是(　　)
A．30 B．50
C．1 500 D．9 800
4．为了准确调查我国某一时期的人口总量、人口分布、民族人口、城乡人口、受教育的程度、迁徙流动、就业状况等多方面的情况，需要用________的方法进行调查．
5．国家统计局、国家残联决定对国家残疾人生活、就业等情况进行调查，某同学设计的调查方案是在国家残联的网站上设立一个调查表，根据网站上的数据进行分析．你认为他的方案________(填“合理”或“不合理”)．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点二
　调查对象　个体数目　全面调查
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．答案：C
3．解析：选项D中某型号炮弹的射程一般通过试验获取．
故选D.
答案：D
4．答案：②③④
题型探究·课堂解透
例1　解析：总体是240名学生的身高，所以A项不正确，D项正确；个体是每一名学生的身高，所以B项不正确；样本是40名学生的身高，所以C项不正确．
答案：ABC
跟踪训练1　解析：因为100名学生的视力情况(数据)是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，所以是总体的一个样本．
答案：C
例2　解析：依据普查与抽样调查各自的特点进行判断选取．
②中必须对所有乘客进行隔离、检查，必须做到普查．
④中共8名店员，数量较少，可采用普查方式．
而①③因数量大，普查难以做到，故采用抽样调查的方式．
答案：②④　①③
跟踪训练2　解析：根据抽样调查与普查的概念可知，B，C一般采用普查的方法，A，D采用抽样调查的方法．
故选AD.
答案：AD
例3　解析：因为一个班的学生人数不是很多，为了帮助班主任全面了解班里学生的学习情况和思想状况，可以采取普查的方法进行调查．先设计一个问卷，包括同学们对学习的各种看法，同学们的爱好、心理和思想状况等，然后发放给每一名学生填写，并全部收回，最后进行统计．这样就可以全面了解每名学生的学习情况和思想状况了．
跟踪训练3　解析：方案一：普查．因为各个学校每学期均有体检，所以可利用全校的体检，组织一次普查，将每位学生的体检表收集起来进行统计，最后将数据进行汇总．
方案二：抽样调查．普查不一定能实现，因为有个别学校由于各种原因不能完成体检，而全校班级很多，情况也不相同，要得到较准确的数据，可以到学校找出学生的学籍号，每隔一定的人数抽出一名进行调查，这样抽出的样本才会有代表性．(答案不唯一)
[课堂十分钟]
1．答案：B
2．答案：ABD
3．答案：C
4．答案：普查
5．解析：很多残疾人不具有上网条件，因此获取的数据不具有代表性．
答案：不合理
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湘教版高中数学必修第一册-6.4.1用样本估计总体的集中趋势-学案讲义
最新课程标准 结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义． 学科核心素养 1.了解实数平均数、中位数、众数的概念．(数学抽象) 2．会利用平均数、中位数、众数估计总体的集中趋势．(直观想象)
教材要点
要点一　平均数
1．样本平均数
(1)若样本容量n，第i个个体是xi，则样本平均数＝________________．
在随机抽样的前提下，当样本容量增加时，样本均值会向总体均值μ接近．于是，称为μ的估计．
(2)一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f1，f2，…，fn，则其平均数为x1f1＋x2f2＋…＋xnfn.
2．简单估计：在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用Ni表示第i层(i＝1，2，…，L)的个体总数，则有N＝N1＋N2＋…＋NL.称Wi＝(i＝1，2，…，L)为第i层的层权．
对i＝1，2，…，L，用表示从第i层抽出样本的均值．称＝____________________是总体均值μ的简单估计．
要点二　众数、中位数
1．众数：观测数据中出现次数________的数．用M0表示．
2．中位数：将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，处于______位置的数．
3．众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一组数据的众数可以是一个或几个，中位数也具有相同的结论．(　　)
(2)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变．(　　)
(3)中位数一定是样本数据中的某个数．(　　)
(4)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据．(　　)
2．高一(18)班十位同学的数学测试成绩分别为：82，91，73，84，98，99，101，118，98，110，则该组数据的中位数是(　　)
A．98 B．99
C．98.5 D．97.5
3．一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数为(　　)
A．12 B．14
C．15.5 D．17
4．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．
题型1　平均数
角度1　平均数的计算
例1　已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．
甲每天生产的次品件数 0 1 2 3 4
对应的天数 40 20 20 10 10
乙每天生产的次品件数 0 1 2 3
对应的天数 30 25 25 20
(1)将甲每天生产的次品件数记为x，日利润记为y(单位：元)，写出y与x的函数关系式；
(2)按这100天统计的数据，分别求甲、乙两名工人的平均日利润．
方法归纳
利用公式＝计算．
角度2　利用样本均值估计总体均值
例2　某中学有高中生500人，其中男生有320人，女生有180人，现在从男生中随机抽取32人，测得他们的平均身高为173.5 cm；从女生中随机抽取18人，测得她们的平均身高为163.88 cm.试估计总体身高的均值．
方法归纳
利用公式＝W1＋W2＋…＋WL计算．
跟踪训练1　某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均数分别为980 h，1 020 h，1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均数为________ h．
题型2　平均数、中位数和众数的实际应用
例3　下面是某快餐店所有工作人员一月的收入表(单位：元)：
老板 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计
30 000 4 500 3 500 4 000 3 200 3 200 4 100
(1)计算所有人员的月平均收入；
(2)这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？
(3)去掉老板收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？
方法归纳
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值．
跟踪训练2　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
题型3　根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数例4　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数；
(3)求这次测试数学成绩的平均数．
方法归纳
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系
(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．
(3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和．
跟踪训练3　为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则：
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是________；
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________；
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
易错辨析　中位数对评价的影响
例5　小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是96，98，95，93分，但最近的一次考试成绩只有45分，原因是他带病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价？
解析：小明5次考试成绩，从小到大排列为45，93，95，96，98，中位数是95，应评定为“优秀”．
【易错警示】
易错原因 纠错心得
尽管平均分是反映一组数据平均水平的重要特征，但任何一个数据的改变都会引起它的变化，而中位数则不受某些极端值的影响． 中位数的特征是不受少数几个极端数据，即排序靠前或靠后数据的影响，而平均数则易受个别数据影响．弄清中位数和平均数各自的特征，便于作出正确合理的判断．
课堂十分钟
1．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是(　　)
A．众数 B．中位数
C．平均数 D．都不会
2．一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为(　　)
A．4.55 B．4.5
C．12.5 D．1.64
3．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)
A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数
4．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数为________．
5．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．
(1)求图中x的值；
(2)求这组数据的平均数和中位数．
参考答案与解析
要点一
1.
2． + +… +
要点二
1．最多
2．中间
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：将这组数据按从小到大排列为73，82，84，91，98，98，99，101，110，118，则最中间的两个数为98，98，故中位数是×(98＋98)＝98.故选A.
答案：A
3．解析：把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14, 14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14.
答案：B
4．解析：＝6.
答案：6
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)∵甲每天生产的次品件数为x，∴损失30x元，则其生产的正品件数为100－x，获得的利润为20(100－x)元，
∴y与x的函数关系式为y＝20(100－x)－30x＝2 000－50x，其中0≤x≤4，x∈N.
(2)这100天中，甲工人总利润为2 000×40＋1 950×20＋1 900×20＋1 850×10＋1 800×10＝193 500(元)，
∴平均日利润为＝1 935(元).
这100天中，乙工人的总利润为2 000×30＋1 950×25＋1 900×25＋1 850×20＝193 250(元)，
∴平均日利润为＝1 932.5(元) .
例2　解析：W1＝＝0.64，W2＝＝0.36，
＝W1＋W2＝0.64×173.5＋0.36×163.88≈170.03.
所以总体身高均值约为170.03 cm.
跟踪训练1　解析：依题意可知平均数
＝＝1 013.
答案：1 013
例3　解析：(1)月平均收入＝ (30 000＋4 500＋3 500＋4 000＋3 200＋3 200＋4 100)＝7 500(元).
(2)这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．
(3)去掉老板的收入后的月平均收入＝ (4 500＋3 500＋4 000＋3 200＋3 200＋4 100)＝3 750(元).
这能代表打工人员的月收入水平．
跟踪训练2　解析：(1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
例4　解析：(1)由题干图知众数为＝75.
(2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
(3)由题干图知这次数学成绩的平均数为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.
跟踪训练3　解析：(1)在[55，75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13　(2)62.5　(3)64
[课堂十分钟]
1．解析：众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现．
答案：A
2．解析：由条件得＝ (4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55.
答案：A
3．解析：平均数、中位数、众数皆为50，故选D.
答案：D
4．解析：∵－1，0，4，x，7，14的中位数为5，∴＝5，∴x＝6.
∴这组数据的平均数是＝5.
答案：5
5．解析：(1)由(0.005＋0.010＋0.035＋0.030＋x)×10＝1，解得x＝0.02.
(2)这组数据的平均数为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝77.
中位数设为m，则0.05＋0.2＋(m－70)×0.035＝0.5，解得m＝.
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湘教版高中数学必修第一册-6.2抽样-学案讲义
最新课程标准 1.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．通过实例，了解分层抽样的特点和适用范围，了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法． 3．在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题． 学科核心素养 1.通过实例，抽象出简单随机抽样与分层抽样的概念．(数学抽象) 2．会恰当选用抽样方法解决实际问题．(数据分析)
教材要点
要点一　简单随机抽样
1．随机抽样
如果在抽样过程中，能使总体中的每个个体都有相同的可能性被选入样本，那么这样的抽样叫作随机抽样．常用“任取”“随机抽取”“等可能抽取”等来表示．
2．简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N个个体，从中无放回地抽取n(n≤N)个个体为样本，如果总体内的每个个体都有________的可能性被抽到，则把这样的抽样方法称为简单随机抽样．
3．简单随机抽样的分类
(1)抽签法：先把总体中的N个个体编号，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上(签可以是纸条、卡片或小球等)，再将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀，每次随机地从中抽取一个，然后将箱中余下的号签搅拌均匀，再进行下一次抽取，如此下去，直至抽到预先设定的样本容量．
(2)随机数法：先把总体中的N个个体依次编码为0，1，2，…，N－1，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0，1，2，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选第几号个体，直至选到预先设定的样本容量．
要点二　分层抽样
当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层，然后对各层按其在总体中________独立进行简单随机抽样，这种抽样方法称为分层抽样．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大．(　　)
(2)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(　　)
(3)在使用随机数法时，各个个体的编号位数要相同．(　　)
(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(　　)
(5)分层抽样中，若每层个体数较多，则也可以再用分层抽样．(　　)
(6)分层抽样就是简单随机抽样的一种抽取样本的方法．(　　)
2．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：
①1，2，3，…，100；②001，002，…，100；③00，01，02，…，99；
④01，02，03，…，100.
其中正确的序号是(　　)
A．②③④　　B．③④　　　C．②③　　　D．①②
3．某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适(　　)
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层抽样 D．随机数法
4．一个班共有54人，其中男同学、女同学比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为________，每个女同学被抽取的可能性为________．
题型1　抽样方法的判断
例1　(1)下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．从50个零件中一次性抽取5个进行质量检验
B．从50个零件中有放回地抽取5个进行质量检验
C．从实数集中随意抽取10个数分析奇偶性
D．运动员从8个跑道中随机地抽取1个跑道
(2)下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
方法归纳
(1)涉及简单随机抽样的判断，首先应分析所给抽样的特点，并与简单随机抽样的四个特点进行对比，看是否符合这些特点．若符合，则是简单随机抽样；若不符合，则不是简单随机抽样．
(2)各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是灵活的，分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会均等，体现了抽样的公平性．
跟踪训练1　(1)下面的抽样方法为简单随机抽样的是(　　)
A．某工厂的质检员从一袋30个螺母中随机取出5个进行质量检测
B．某商品的市场调查员为了了解该商品某日在某超市的销售情况，在超市出口处随机向10个顾客询问是否购买了该商品
C．某班级有4个小组，每组共有12个同学，班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部
D．教练员从10名乒乓球运动员中选出2名成绩优秀的去参加国际比赛
(2)为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)
A．抽签法抽样
B．按性别分层抽样
C．按年龄段分层抽样
D．随机数法抽样
题型2　简单随机抽样的应用
角度1　抽签法的应用
例2　要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，写出抽样过程．
方法归纳
一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．一般地，当总体容量和样本量都较小时可用抽签法．若总体容量非常大，采用抽签法就比较费时、费力，也不方便，搅拌不均匀有失公平性，从而产生代表性差的样本的可能性增加．
角度2　随机数法的应用
例3　某车间工人加工了一批零件共40件．为了了解这批零件的质量情况，要从中抽取10件进行检验，如何采用随机数法抽取样本，写出抽样步骤．
方法归纳
(1)编号要求位数相同，读数时应结合编号特点进行读取，如：编号为两位，则两位、两位地读取；编号为三位，则三位、三位地读取．
(2)第一个数字的抽取是随机的．
(3)读数的方向是任意的，且事先定好．
跟踪训练2　(1)下列抽样试验中，适合用抽签法的是(　　)
A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
(2)总体由编号为1，2，…，99，100的100个个体组成．现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1～100范围内的整数随机数的开始部分数据(如下)，则选出来的第5个个体的编号为________．
　8　 44　 2　 17　8　31　57　4　 55　 6
88　77　74　47　7　21　76　33　50　63
题型3　分层抽样的应用
例4　(1)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个样本量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　)
A．30人、30人、30人 B．30人、45人、15人
C．20人、30人、40人 D．30人、50人、10人
(2)某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12 000人，分别来自4个城区，其中东城区2 400人，西城区4 600人，南城区3 800人，北城区1 200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．
方法归纳
(1)如果总体中的个体有差异时，就用分层抽样抽取样本，用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体，组成一层．
(2)每层中所抽取的个体数应按各层个体数在总体中所占的比例抽取，也就是各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即抽样比＝.这样抽取能使所得到的样本结构与总体结构相同，可以提高样本对总体的代表性．
跟踪训练3　(1)某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．
(2)某电视台在网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000，其中持各种态度的人数如下表所示：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱
2 435 4 567 3 926 1 072
电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
易错辨析　对等可能性理解不透出错
例5　一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球入样的可能性是________；第三次抽取时，每个小球入样的可能性是________．
解析：因为简单随机抽样中，每个个体入样的可能性均为，所以某一特定小球入样的可能性是.此抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球入样的可能性均为；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球入样的可能性均为；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球入样的可能性均为.
答案：
【易错警示】
易错原因 纠错心得
造成第二个空填错的原因有两种：一是未完全理解简单随机抽样的等可能性；二是认为某一特定小球前两次未被抽到，则第三次被抽到的可能性是＝. 在简单随机抽样过程中，若样本量为n，总体容量为N，则每一个个体被抽到的可能性都是.需注意，将每一个个体入样的可能性与第n次抽取时每一个个体入样的可能性区分开，避免在解题中出现错误．
课堂十分钟
1．抽签法中确保样本代表性的关键是(　　)
A.抽签 B．搅拌均匀
C.逐一抽取 D．抽取不放回
2．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法的是(　　)
A.从10台高清电视机中抽取3台进行质量检査
B.某学术报告厅有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
C.某单位有在编人员200人，其中行政人员25人、普通职工175人，为了解该单位的工资情况，要从中抽取一个容量为20的样本
D.某乡镇农田有山地8 000亩、丘陵12 000亩、平地24 000亩、洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全镇农田平均产量
3．在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性(　　)
A.与第几次抽样有关，抽取的次序越往后，抽中的可能性越小
B.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C.与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些
D.无法确定
4．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用比例分配的分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
5．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．按照比例分配的分层抽样方法抽取样本，各种血型的人分别抽多少？
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
　相同
要点二
　所占比例
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×
2．解析：根据随机数表法的步骤可知，①④编号位数不统一．
答案：C
3．解析：总体由差异明显的三部分组成，应选用分层抽样．
答案：C
4．解析：男、女每人被抽取的可能是相同的，因为男同学共有54×＝30(人)，女同学共有54×＝24(人)，
所以每个男同学被抽取的可能性为＝，每个女同学被抽取的可能性为＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)A不是简单随机抽样，因为不符合简单随机抽样中逐个抽取的特点；B不是简单随机抽样，因为不符合简单随机抽样中不放回抽样的特点；C不是简单随机抽样，因为实数集的容量无限，不符合简单随机抽样中总体的个体数有限的特点；D是简单随机抽样，符合简单随机抽样的特点．故选D.
(2)A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适合用分层抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．
答案：(1)D　(2)B
跟踪训练1　解析：(1)由简单随机抽样的定义知A符合，B不是，被抽取的样本的总体个数不确定；C不是，班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样；D不是，因为参加比赛要选优秀的，所以10名运动员被抽取的可能性不同．
故选A.
解析：(2)该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女差异不大，所以按年龄段分层抽样具有代表性，比较合理．
故选C.
答案：(1)A　(2)C
例2　解析：利用抽签法，步骤如下：
(1)将30辆汽车编号，号码是01，02，…，30；
(2)将号码分别写在同样大小形状相同的纸条上，揉成团，制成号签；
(3)将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀；
(4)从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号；
(5)所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．
例3　解析：抽样步骤是：
第一步，先将40件零件编号，可以编号为00，01，02，…，38，39.
第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，例如从以下随机数表中的第3行第9列的数0开始．
66 06 57 47 17　34 07 27 68 50　36 69 73 61 70　65 81 33 98 85　11 19 92 91 70(第1行)
81 05 01 08 05　45 57 18 24 05　35 30 34 28 14　88 79 90 74 39　23 40 30 97 32(第2行)
83 26 97 76 02　02 05 16 56 92　68 55 57 48 18　73 05 38 52 47　18 62 38 85 79(第3行)
63 57 33 21 35　05 32 54 70 48　90 55 85 75 18　28 46 82 87 09　83 40 12 56 24(第4行)
73 79 64 57 53　03 52 96 47 78　35 80 83 42 82　60 93 52 03 44　35 27 38 84 35(第5行)
第三步，从选定的数0开始向右读下去，得一个两位数字号码02，将它取出；继续向右读，得到02，由于前面已经取出，将它去掉；继续下去，去掉重复的号码，又得到05，16，18，38，33，21，35，32，28.至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是02，05，16，18，38，33，21，35，32，28.与这10个号码对应的零件即是抽取的样本个体．
跟踪训练2　解析：(1)A中总体容量较大，样本量也较大，不适宜用抽签法；B中总体容量较小，样本量也较小，可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D中虽然样本量较小，但总体容量较大，不适宜用抽签法．故选B.
(2)生成的随机数中落在编号1～100范围内的有8，44，2，17，8(重复，舍弃)，31……故选中的第5个个体的编号为31.
答案：(1)B　(2)31
例4　解析：(1)根据各校人数比例为3 600∶5 400∶1 800＝2∶3∶1，样本量为90，可求出从甲校应抽取30人，从乙校应抽取45人，从丙校应抽取15人．故选B.
解析：(2)采用分层抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下：
第一步，分层．按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区．
第二步，确定抽样比．样本容量n＝60，总体容量N＝12 000，故抽样比k＝＝＝.
第三步，按比例确定每层抽取个体数．在东城区抽取2 400×＝12(人)，在西城区抽取4 600×＝23(人)，在南城区抽取3 800×＝19(人)，在北城区抽取1 200×＝6(人)．
第四步，在各层分别用简单随机抽样法抽取样本．将各城区抽取的观众合在一起组成样本．
答案：(1)B　(2)见解析
跟踪训练3　解析：(1)设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×＝18.
(2)采用分层抽样的方法，抽样比为.
“很喜爱”的有2 435人，应抽取2 435×≈12(人)；
“喜爱”的有4 567人，应抽取4 567×≈23(人)；
“一般”的有3 926人，应抽取3 926×≈20(人)；
“不喜爱”的有1 072人，应抽取1 072×≈5(人)．
因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”和“不喜爱”的人中分别抽取12人、23人、20人和5人．
答案：(1)18　(2)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：搅拌均匀是确保样本代表性的关键．
故选B.
答案：B
2．解析：B项中，由于各排人员对报告的看法差异较大，不宜采用简单随机抽样，C，D项中，各部分之间差异明显，不宜采用简单随机抽样．
故选A.
答案：A
3．解析：在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．
故选B.
答案：B
4．解析：因为300×＝60，所以抽取60人．
答案：60
5．解析：用分层抽样方法抽样．因为＝，所以200×＝8，125×＝5，50×＝2.故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．
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湘教版高中数学必修第一册
6.4.3用频率分布直方图估计总体分布
6.4.4百分位数-学案讲义
最新课程标准 能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计． 结合实例，能利用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义． 学科核心素养 1.会计算频率分布直方图有关的问题．(数学运算) 2．理解百分位数的概念，会用样本常用百分位数估计总体百分位数．(数学运算、数学分析)
教材要点
要点　百分位数
1．定义：百分位数是位于按一定顺序排列的一组数据中某一个________位置的数值，以Pr表示，其中r是区间[1，99]上的整数．一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有r%的观测值小于或等于它，且至少有(100－r)%的观测值大于或等于它，当r%＝50%时，即Pr对应________数．
2．求一组观测数据的百分位数的一般步骤：
第一步：将所有数值按从小到大的顺序排列；
第二步：计算c＝n×r%；
第三步： 如果c不是整数，用m表示比c大的最小整数，则所求的Pr是xm，如果c是整数，则所求的Pr是.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数．(　　)
(2)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.(　　)
(3)若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.(　　)
(4)一组数据的第25百分位数与第75百分位数相同．(　　)
2．下列关于一组数据的第50分位数的说法正确的是(　　)
A．第50分位数就是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．它一定是这组数据中的一个数据
D．它适用于总体是离散型的数据
3．数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是(　　)
A．14　　B．17
C．19 D．23
4．100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，70) km的汽车大约有________辆．
题型1　用频率分布直方图估计总体分布
例1　为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，随机抽取20台，其无故障连续使用时限(单位：h)统计如下：
分组 频数 频率 频率/组距
[180，200) 1 0.05 0.002 5
[200，220) 1 0.05 0.002 5
[220，240) 2 0.10 0.005 0
[240，260) 3 0.15 0.007 5
[260，280) 4 0.20 0.010 0
[280，300) 6 0.30 0.015 0
[300，320) 2 0.10 0.005 0
[320，340] 1 0.05 0.002 5
合计 20 1 0.050 0
(1)作出频率分布直方图；
(2)估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有多少台；
(3)假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替，估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限．
方法归纳
频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，因为抽样的代表性利用了样本在某一范围内的频率，所以可近似地估计在这一范围内的可能性．
跟踪训练1　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
题型2　百分位数的计算
例2　现有甲、乙两组数据如下表所示．
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13
乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．
方法归纳
百分位数的关注点
(1)求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．
(2)第p百分位数的特点是：在总体中任一个数小于或等于它的可能性是p%.
跟踪训练2　求下列数据的四分位数．
13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.
题型3　百分位数的综合应用
例3　教育厅为了了解和掌握2021年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表：
分组 频数 频率
[80，85) 1 0.01
[85，90) 2 0.02
[90，95) 4 0.04
[95，100) 14 0.14
[100，105) 24 0.24
[105，110) 15 0.15
[110，115) 12 0.12
[115，120) 9 0.09
[120，125) 11 0.11
[125，130) 6 0.06
[130，135] 2 0.02
合计 100 1
(1)求样本数据的60，80百分位数；
(2)估计2021年高考考生的数学成绩的90百分位数．
方法归纳
由频率分布直方图求百分位数的方法
(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率．
(2)一般采用方程的思想，设出k百分位数，根据其意义列出方程并求解即可．
跟踪训练3　某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为__________秒．
课堂十分钟
1．观察新生儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)的频率为(　　)
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
2．下列一组数据2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6的第25百分位数是(　　)
A．3.2 B．3.0
C．4.4 D．2.5
3．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)
A．6 B．8
C．12 D．18
4．如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
5．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．
参考答案与解析
要点
1．百分　中位
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：由百分位数的意义可知选项B、C、D错误．
答案：A
3．解析：因为8×70%＝5.6，所以70%分位数是第六项数据23.故选D.
答案：D
4．解析：0.04×10×100＝40.
答案：40
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)频率分布直方图如图所示．
(2)由题意得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，
所以估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有3.6万台．
(3)由频率分布直方图得＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(h)．
故估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限为269 h．
跟踪训练1　解析：(1)第二小组的频率为＝0.08.
又因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
例2　解析：因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15，
因此，甲组数的25%分位数为＝＝2.5，
甲组数的75%分位数为＝＝9.5.
乙组数的25%分位数为＝＝1，
乙组的75%分位数为＝＝12.
跟踪训练2　解析：把12个数据按从小到大的顺序排列可得：
12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31，
计算12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9，
所以数据的第25百分位数为＝16.5，
第50百分位数为＝21，
第75百分位数为＝27.5.
例3　解析：(1)从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，
前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72，
前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81，
前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92.
由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的60百分位数为110，
样本数据的80百分位数一定在第八组[115，120)内，
由115＋5×≈119.4，
估计样本数据的80百分位数约为119.4.
(2)由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，
知90百分位数一定在第九组[120，125)内，
由120＋5×≈124.1，
估计2021年高考考生的数学成绩的90百分位数为124.1.
跟踪训练3　解析：设成绩的70%分位数为x，
因为＝0.55，＝0.85，
所以x∈[16，17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，
解得x＝16.5(秒)．
答案：16.5
[课堂十分钟]
1．解析：由题图可得，新生儿体重在[2 700，3 000)的频率为0.001×300＝0.3.故选C.
答案：C
2．解析：把这组数据按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8, 4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数．故选A.
答案：A
3．解析：志愿者的总人数为＝50，所以第三组人数为50×0.36×1＝18，所以有疗效的人数为18－6＝12，故选C.
答案：C
4．解析：由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1, 2, 2，2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是＝2.故选D.
答案：D
5．解析：样本数据低于10的比例为0.08＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10，14)内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋×4＝.
答案：
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