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第1章 《二次函数》单元知识归纳与题型训练
一、二次函数的定义
形如的函数叫做二次函数
其中：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
要点诠释：
二次函数有三种表达式，分别为
（1）一般式：
（2）顶点式： 优点：已知顶点（h，k）
（3）交点式： 优点：已知抛物线与x轴交点（x1,0）、（x2,0）
☆1：求二次函数解析式时，当不知道顶点或与x轴交点时，通常用一般式求解；已知顶点坐标时，选用顶点式求解更简单；已知抛物线与x轴两交点坐标时，用交点式求解更简单；
☆2：二次函数一般式往顶点式的转化方法：
①提取二次项系数；
②将括号内的部分配成一个完全平方式＋一个常数的形式；
③将常数部分写开，得顶点式；
二、二次函数的图象
1、二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.
要点诠释1：
|a|的几何意义：|a|决定抛物线的开口大小，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大.
2、抛物线的平移口诀：“左加右减（x），上加下减（整体）”
要点诠释2：
图象的旋转、对称规律：已知顶点式
关于x轴对称时：→；
关于y轴对称时：→；
关于原点成中心对称时：→；
关于平面内一点（p,q）成中心对称时：
→；
3、二次函数图象与a、b、c的关系
a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用
要点诠释：
二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
三、二次函数的性质
当a＞0时，若，则y随x的增大而减小；若，则y随x的增大而增大；此时函数的有最小值为；
当a＜0时，若则y随x的增大而增大；若，则y随x的增大而减小；此时函数的有最大值为；
要点诠释：
二次函数的图象与一元二次方程间的关系
当时，抛物线与x轴有2个交点；
当时，抛物线与x轴有1个交点；
当时，抛物线与x轴无交点；
二次函数的图象与不等式（组）的关系
此类题考察的是不解不等式，直接从函数图象中找出对应不等式的解集，对应方法是：
①大在上：谁大，谁的图象在上方；
②交点横：找出交点的横坐标；
③左小右大：交点左边的图象符合，则x＜交点横坐标；交点右边的图象符合，则x＞交点横坐标；
四、二次函数的简单应用
利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下：
①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
②用含自变量的代数式表示销售商品成本
③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式
④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值
题型一　二次函数的定义
例题：
1．（2023春 杭州市期末）若y＝（3﹣m）是二次函数，则m的值是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．9
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解答】解：由题意，得
m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，
解得m＝﹣3，
故选：C．
2．（2023秋 西湖区校级月考）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝50+x2 B．
C．y＝3x+4 D．y＝（x+2）（x﹣3）﹣x2
【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a≠0），这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．
【解答】解：A、y＝50+x2是二次函数，符合题意；
B、，含有分式，不是二次函数，不符合题意；
C、y＝3x+4，是一次函数，不符合题意；
D、y＝（x+2）（x﹣3）﹣x2＝﹣x﹣6，是一次函数，不符合题意；
故选：A．
巩固训练
3．（2022秋 曲周县期末）函数y＝（m+2）+2x﹣1是二次函数，则m＝　2　．
【分析】根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程，求出m的值即可．
【解答】解：由题意得：m+2≠0，
解得m≠﹣2，
∵m2﹣2＝2，
整理得，m2＝4，
解得，m1＝2，m2＝﹣2，
综上所述，m＝2．
故答案为2．
4．（2023秋 西城区校级月考）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）．
（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）依题意m2﹣m＝0且m﹣1≠0，
所以m＝0；
（2）依题意m2﹣m≠0，
所以m≠1且m≠0．
题型二　二次函数的表达式
例题：
1．（2023秋 鹿城区校级月考）把二次函数y＝2x2﹣8x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式应为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+5 B．y＝2（x﹣2）2﹣1
C．y＝2（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+7
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式．
【解答】解：y＝2x2﹣8x+3
＝2x2﹣8x+8﹣8+3
＝2（x2﹣4x+4）﹣5
＝2（x﹣2）2﹣5，
故选：C．
2．（2024 海安市一模）设函数y＝a（x+m）2+n（a≠0，m，n是实数），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则（　　）
A．若m＝﹣3，则a＜0 B．若m＝﹣4，则a＞0
C．若m＝﹣5，则a＜0 D．若m＝﹣6，则a＞0
【分析】根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线x＝﹣m，再根据选项中所给出的m的值都a的正负依次进行判断即可．
【解答】解：由所给函数解析式可知，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣m．
当m＝﹣3时，抛物线的对称轴为直线x＝3，
因为（1，1）和（6，6）在抛物线上，
则点（1，1）关于直线x＝3的对称点为（5，1），
因为6＞5，6＞1，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
则抛物线的开口向上，
即a＞0．
故A选择不符合题意．
当m＝﹣4时，抛物线的对称轴为直线x＝4，
所以点（1，1）关于直线x＝4的对称点为（7，1），
因为6＜7，6＞1，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，
即a＜0．
故B选项不符合题意．
当m＝﹣5时，抛物线的对称轴为直线x＝5，
所以点（1，1）关于直线x＝5的对称点为（9，1），
因为6＜9，6＞1，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，
即a＜0．
故C选项符合题意．
当m＝﹣6时，抛物线的对称轴为直线x＝6，
因为6＞1，
所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的，
则抛物线的开口向下，
即a＜0．
故D选项不符合题意．
故选：C．
3．（2024 西湖区校级开学）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当y≤4时，求自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是y＝a（x+）2+k，把点的坐标代入求出即可；
（2）求出y＝4时对应的x的值，再根据二次函数的性质得出即可．
【解答】解：（1）根据表中可知：点（﹣1，﹣2）和点（0，﹣2）关于对称轴对称，
即对称轴是直线x＝﹣，
设二次函数的表达式是y＝a（x+）2+k，
把点（﹣2，0）和点（0，﹣2）代入得：，
解得：a＝1，k＝﹣，
y＝（x+）2﹣＝x2+x﹣2，
所以该二次函数的表达式是y＝x2+x﹣2；
（2）当y＝4时，y＝x2+x﹣2＝4，
解得：x＝﹣3或2，
∵a＝1＞0，
∴抛物算开口向上，
∵对称轴是直线x＝﹣，
∴当y≤4时，自变量x的取值范围是﹣3≤x≤2．
巩固训练
4．（2022秋 陵城区期末）将二次函数y＝x2﹣4x+7化为y＝（x﹣a）2+b的形式，那么a+b的值为 　5　．
【分析】利用配方法将y＝x2﹣4x+7化成y＝（x﹣2）2+3，即可求出a、b值，代入a+b计算即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3＝（x﹣a）2+b，
∴a＝2，b＝3，
∴a+b＝2+3＝5，
故答案为：5．
5．（2022秋 路南区期中）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
【分析】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式；
（2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8；
（2）由（1）知，该抛物线解析式是：y＝2（x+1）2﹣8；
a＝2＞0，则二次函数图象的开口方向向上．
对称轴是直线x＝﹣1、顶点坐标是（﹣1，﹣8）．
6．（2024 鹿城区校级三模）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差．
【分析】（1）将（﹣1，0）、（3，0）代入y＝x2+bx+c求解．
（2）根据抛物线开口方向，将函数解析式化为顶点式可得x＝1时，y取最小值，x＝﹣2时y取最大值，进而求解．
【解答】解：（1）将（﹣1，0）、（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），
∴x＝1时，y最小值为﹣4，
∵1﹣（﹣2）＞2﹣1，
∴x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5为最大值，
∴当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为5﹣（﹣4）＝9．
题型三　二次函数的几何变换
例题：
1．（2023秋 曲靖期末）将二次函数y＝x2﹣1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣6 B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝（x+2）2+4 D．y＝（x+2）2﹣6
【分析】根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：将二次函数y＝x2﹣1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是：y＝（x+2）2﹣1﹣5，
即y＝（x+2）2﹣6．
故选：D．
2．（2024 凉州区二模）已知抛物线C1与C2关于原点成中心对称，若抛物线C1的解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣1，则抛物线C2的解析式为 　y＝3（x﹣2）2+1　．
【分析】根据抛物线C1的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线C2的开口方向及顶点坐标，即可求解．
【解答】解：抛物线C1的解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣1，
∴抛物线C1的开口向下，顶点坐标为（﹣2，﹣1），
∵抛物线C1，抛物线C2关于原点中心对称，
∴抛物线C2的开口向上，顶点坐标为（2，1），
抛物线的解析式为y＝3（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝3（x﹣2）2+1．
3．（2023秋 衢州月考）已知抛物线y＝x2﹣2x，
（1）若把该抛物线向右平移1个单位，再向上移动2个单位，则平移后抛物线解析式为 　y＝（x﹣2）2+1　；
（2）若把该抛物线绕它的顶点旋转180°，则旋转后的抛物线解析式为 　y＝﹣（x﹣1）2﹣1　．
【分析】（1）根据左加右减，上加下减的规律，可得新函数；
（2）根据图象绕定点旋转180°，可得函数图象开口方向相反，顶点坐标相同，可得答案．
【解答】解：（1）将抛物线y＝x2﹣2x先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2+1；
故答案为：y＝（x﹣2）2+1；
（2）把该抛物线绕它的顶点旋转180°，则旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2﹣1，
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2﹣1．
巩固训练
4．（2024 滨江区校级三模）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【分析】先将抛物线y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣2）2﹣1的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣2）2﹣1，
∴把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣1．
故选：D．
5．（2024春 上城区校级月考）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（　　）
A．c＝﹣2
B．
C．当x＝t时，y1+y2＝﹣t
D．不论x取何值，y1+y2＝0
【分析】把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）进行变形，可得出如果二次函数y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y2＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）是互为“旋转函数”，则满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，即可得出，求得b＝﹣，c＝2，从而得出y1+y2＝（b﹣c）x＝﹣x，即当x＝t时，y1+y2＝﹣t．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m）2+n＝ax2+2am+am2+n，它的“旋转函数”为y＝﹣a（x﹣m）2﹣n＝﹣ax2+2am﹣am2﹣n，
∴如果二次函数y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y2＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）是互为“旋转函数”，则满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴y1+y2＝（b1+b2）x，
∴如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，则，
解得b＝﹣，c＝2，
∴y1+y2＝（b﹣c）x＝﹣x，
∴当x＝t时，y1+y2＝﹣t，
故A、B、D错误，不合题意，C正确符合题意．
故选：C．
6．（2023秋 越城区期末）将二次函数y＝x2+4x+3的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位得到的新抛物线的顶点坐标是 　（﹣3，﹣3）　．
【分析】由题意知，y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，则平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2+1）2﹣1﹣2＝（x+3）2﹣3，然后作答即可．
【解答】解：由题意知，y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2+1）2﹣1﹣2＝（x+3）2﹣3，
∴顶点坐标为（﹣3，﹣3），
故答案为：（﹣3，﹣3）．
7．（2023秋 西湖区校级月考）将二次函数y＝x2﹣4x+5绕顶点旋转180°后的函数表达式是 　y＝﹣（x﹣2）2+1　．
【分析】将函数图象其绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，据此可得出所求的结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标为（2，1），
将二次函数y＝x2﹣4x+5绕顶点旋转180°后，得y＝﹣（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+1．
8．（2023 鄞州区开学）已知抛物线C：y＝x2+2x﹣4，则该抛物线关于y轴对称后的抛物线C′的函数解析式为的 　y＝x2﹣2x﹣4　．
【分析】利用原抛物线上的关于y轴对称的点的特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答．
【解答】解：y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，
∴抛物线C的顶点（﹣1，﹣5）
∵C′与C关于y轴对称，
∴C′顶点坐标是（1，﹣5），
∴抛物线C′的函数解析式为的y＝（x﹣1）2﹣5，即y＝x2﹣2x﹣4．
故答案为：y＝x2﹣2x﹣4．
题型四　二次函数的图象
例题：
1．（2022秋 临高县期末）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．当x＝﹣1时，y有最大值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上，故A错误；
当x＝1时，函数有最小值2，故B错误；
对称轴为直线x＝1，故C错误；
顶点坐标为（1，2），故D正确．
故选：D．
2．（2023秋 江干区校级月考）已知二次函数y＝﹣（x+1）2+5，那么这个二次函数的图象有（　　）
A．最高点（1，5） B．最低点（1，﹣5）
C．最高点（﹣1，5） D．最低点（﹣1，5）
【分析】根据当a＜0时，二次函数图象有最高点解答．
【解答】解：在二次函数y＝﹣（x+1）2+5，中，a＝﹣1＜0，
∴这个二次函数的图象有最高点（﹣1，5），
故选：C．
3．（2023秋 萧山区月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝2ax+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b的正负情况，然后根据一次函数的解析式和一次函数的性质即可得到该一次函数的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：由二次函数的图象可知a＜0，b＞0，
∴一次函数y＝2ax+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
4．（2024 深圳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 　a1＞a2＞a3＞a4　．（请用“＞”连接排序）
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【解答】解：如图所示：y＝a1x2的开口小于y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
y＝a3x2的开口大于y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案为：a1＞a2＞a3＞a4
6．（2023秋 义乌市校级期中）如图，利用函数y＝x2﹣4x+3的图象，直接回答：
（1）方程x2﹣4x+3＝0的解是 　x1＝1，x2＝3　；
（2）当y＜0时，x的取值范围为 　1＜x＜3　．
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论；
（2）观察图象，在x轴下方的部分y总小于0．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于A（1，0）、B（3，0），
∴方程x2﹣4x+3＝0的解是：x1＝1，x2＝3．
故答案为：x1＝1，x2＝3．
（2）观察图象可知：当y＜0时，x的取值范围为1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
巩固训练
7．（2023 婺城区校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【分析】由对称轴公式x＝﹣可得对称轴方程．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴为x＝﹣＝1，
故选：A．
8．（2023 余江区二模）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，然后即可得到函数y＝a（x﹣b）2+c的图象的开口方向，顶点坐标解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意．
【解答】解：由y＝ax2+bx+c的图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∵函数y＝a（x﹣b）2+c，
∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象限，
故选：B．
9．（2022 株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．
【解答】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x＝＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x＝＞0，
故C选项符合题意，
故选：C．
10．（2023 连平县三模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
11．（2022 杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（　　）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
【分析】命题④②③可以同时成立，由此即可判断．
【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x＝1，
则﹣＝1，
解得a＝﹣2，
∵函数的图象经过点（3，0），
∴3a+b+9＝0，
解得b＝﹣3，
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②③④都是正确，①错误，
故选：A．
12．（2023秋 鄞州区期中）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2﹣5x+4﹣a2的图象，那么a的值是　﹣2　
【分析】根据图示知，抛物线y＝ax2﹣5x+4﹣a2的图象经过（0，0），所以将点（0，0）代入方程，利用待定系数法求二次函数解析式．
【解答】解：根据图示知，二次函数y＝ax2﹣5x+4﹣a2的图象经过原点（0，0），
∴0＝4﹣a2，
解得，a＝±2；
又∵该函数图象的开口方向向下，
∴a＜0，
∴a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
题型五　二次函数的性质
例题：
1．（2024 衢州一模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是﹣4，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．﹣1≤m≤1 D．0≤m≤2
【分析】依据题意，由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，从而当x＝1时，y取最小值为﹣4．，再分三种情形①m+2＜1②m≤1，m+2≥1③m＞1，分别进行分析可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴当x＝1时，y取最小值为﹣4．
①当m+2＜1时，即m＜﹣1时，
有（m+2）2﹣2（m+2）﹣3＝﹣4．
∴m＝﹣1，不合题意．
②当m≤1，m+2≥1时，即﹣1≤m≤1．
此时当x＝1时，y取最小值为﹣4，符合题意．
③当m＞1时，
有m2﹣2m﹣3＝﹣4．
∴m＝1，不合题意．
总上，﹣1≤m≤1．
故选C．
2．（2024 永寿县二模）二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（　　）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
【分析】由二次函数的性质可确定出a的范围．
【解答】解：∵y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝t，
∴a＜0，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴t≤1，
∴a＜0，t≤1．
故选：B．
3．（2024 杭州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（　　）
x … ﹣1 0 2 3 4 …
y … 5 0 ﹣4 ﹣3 0 …
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝2
C．当0＜x＜4时，y＜0
D．若A（x1，2），B（x2，3）是图象上两点，则x1＜x2
【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）可对C进行判断；根据二次函数的增减性可对D进行判断．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），
把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，开口向上，所以A选项不符合题意；
抛物线的对称轴为直线x＝2，所以B选项不符合题意；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴当0＜x＜4时，y＜0，所以C选项不符合题意；
若A（x1，2），B（x2，3）是图象上两点，则不能判断x1与x2的大小，所以选项D符合题意．
故选：D．
4．（2024 嘉兴二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3（a为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（2，﹣3）．
①求a的值．
②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）若点A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q）均在该二次函数的图象上，求证：p+q＝2．
【分析】（1）①依据题意，由二次函数y＝x2﹣2ax﹣3的图象经过点（2，﹣3），从而4﹣4a﹣3＝﹣3，计算即可得解；
②依据题意，由①得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，又a＝1＞0，从而可以判断得解；
（2）依据题意，由点A（m，0），B（n，0），可得抛物线的对称轴是直线x＝＝a，故抛物线为y＝x2﹣（m+n）x﹣3，又C（m+1，p），D（n+1，q），可得p＝（m+1）2﹣（m+n）（m+1）﹣3＝m﹣n﹣mn﹣2，q＝（n+1）2﹣（m+n）（n+1）﹣3＝n﹣m﹣mn﹣2，进而可得p+q＝﹣2mn﹣4，再结合A（m，0）在抛物线上，求出mn＝﹣3，最后计算可以得解．
【解答】（1）解：①由题意，∵二次函数y＝x2﹣2ax﹣3的图象经过点（2，﹣3），
∴4﹣4a﹣3＝﹣3．
∴a＝1．
②由①得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
又a＝1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
（2）证明：由题意，∵点A（m，0），B（n，0），
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝a．
∴抛物线为y＝x2﹣（m+n）x﹣3．
又C（m+1，p），D（n+1，q），
∴p＝（m+1）2﹣（m+n）（m+1）﹣3＝m﹣n﹣mn﹣2，q＝（n+1）2﹣（m+n）（n+1）﹣3＝n﹣m﹣mn﹣2．
∴p+q＝﹣2mn﹣4．
又点A（m，0）在抛物线上，
∴m2﹣（m+n）m﹣3＝0．
∴mn＝﹣3．
∴p+q＝﹣2×（﹣3）﹣4＝2．
巩固训练
5．（2024 镇海区校级二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，则m的取值范围可以是（　　）
A．m＜1 B． C．0＜m＜ D．1＜m＜
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，分类讨论y1＞y3与y3＞y2，由两点中点与对称轴的位置关系求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+4（a＞0），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，
∵y1＞y3，
∴＜1，即＜1，
解得m＜，
∵y3＞y2，
∴＞1，
解得m＞0，
∴0＜m＜，
故选：C．
6．（2024春 拱墅区期末）在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，则y的取值范围是 　0＜y≤4　．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当0＜x＜3时y的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该函数图象开口向下，当x＝1有最大值4，
∴当x＝0时，y＝3，当x＝3时，y＝0，
∵0＜x＜3，
∴y的取值范围为0＜y≤4，
故答案为：0＜y≤4．
7．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）
①若x＞2时，则y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2023，y1），（2023，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点，对一切正数n．总有y1＞y2，则．
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【分析】依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），
∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2．
又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下．
∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小，故①正确；
又∵对称轴为直线x＝﹣＝，1＜m＜2，
∴0＜＜．
若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，
又抛物线开口向下，
则y1＜y2，故③正确；
若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
又该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤．
解得1＜m≤，故④错误；
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0．
若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am．
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，故②错误；
∴①③正确；②④错误，
故选：B．
8．（2024 金华一模）已知二次函数．
（1）若点（b﹣2，c）在该函数图象上，则b的值为 　2或﹣2　．
（2）若点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，则b的取值范围为 　b＞2或﹣3＜b＜﹣2　．
【分析】（1）把点（b﹣2，c）代入即可求出b的值；
（2）根据题意即可得到|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，解不等式求得即可．
【解答】解：（1）把点（b﹣2，c）代入，得c＝（b﹣2）2﹣b（b﹣2）+c，
∴b＝±2，
故答案为：2或﹣2；
（2）二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝b，
∵点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，
∴|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，
当b＞0时，b＞2，
当﹣6＜b＜0时，﹣3＜b＜﹣2，
当b＜﹣6时，不合题意，
∴b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
故答案为：b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
9．（2024 瓯海区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，c）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若点（n，y1）和点（n﹣2，y2）均在该抛物线上，当n＜2时，请你比较y1，y2的大小关系；
（3）若c＝1，且当﹣1≤x≤2时，y有最小值为，求a的值．
【分析】（1）根据抛物线的对称性求解；
（2）根据二次函数的图象和性质求解；
（3）格局二次函数的最值列方程组求解．
【解答】解：（1）由题意，∵当x＝0时，y＝c，
又过A（2，c），
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝1．
（2）由题意，对称轴是直线x＝1，
∵当a＞0时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
∴y1＜y2；
∵当a＜0时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
∴y1＞y2；
（3）当a＞0时，由题意得：当x＝1时，y值最小，
∴a+b+1＝且﹣＝1，
解得：a＝，b＝﹣；
当a＜0时，由题意得：当x＝﹣1时，y值最小，
∴a﹣b+1＝且﹣＝1，
解得：a＝﹣，b＝，
综上所述：a的值为或﹣．
题型六　二次函数的图象与系数a、b、c的关系
例题：
1．（2023秋 南昌期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②a+b+c＝2；③；④b＜1．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵图象开口向上，与y轴交于负半轴，能得到：a＞0，c＜0，
∵对称轴在y轴左边，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②当x＝1时，由图象知y＝2，
把x＝1，y＝2代入解析式得：a+b+c＝2，故②正确；
③由图象得，﹣＞﹣1，
∴b＜2a，
由①②得，a+b+c＝2，c＜0，
∴2＝a+b+c＜a+2a+c＝3a+c，
∴3a+c＞2，
∴a＞（2﹣c），
∵c＜0，
∴2﹣c＞2，
∴a＞，
∴a＞，故③正确；
④由图象得，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
由①②得，a+b+c＝2，c＜0，
∴（a+b+c）﹣（a﹣b+c）＞2，
∴2b＞2，
∴b＞1，故④错误；
综上，②③正确．
故选：B．
2．（2024 长兴县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
【分析】依据题意，由抛物线经过（﹣2，0），再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断③，由x＝1时y取最大值可判断④．
【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝1，a＜0，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大．
∵﹣2＜﹣1，抛物线过点（﹣2，0），
∴当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，故①正确．
∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
又点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，且点（6，y3）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小，
∴y3＜y1＜y2，②错误．
∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2．
由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0），（4，0），
∵抛物线开口向下，x1＜x2，
∴x1＜﹣2，x2＞4，故③正确．
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
∵4a﹣2b+c＝0，
∴c＝2b﹣4a＝﹣8a，
∵抛物线的最大值为a+b+c，
∴若m为任意实数，则am2+bm+c a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，
∴am2+bm+c ﹣9a，故④正确．
故选：B．
巩固训练
3．（2024 民勤县三模）已知，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，则它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由抛物线满足：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，判断抛物线与x轴的交点，根据图象判断a、c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，
∴由①可知当a＞0时b2﹣4ac＞0，则抛物线与x轴有两个交点，当a＜0时b2﹣4ac＜0，则抛物线与x轴无交点；
由②可知：当x＝﹣1时，y＜0，
由③可知：﹣b+c＞0，
∵a﹣b+c＜0，∴必须a＜0，
∴符合条件的有C、D，
由C的图象可知，对称轴直线x＝﹣＞0，a＜0，∴b＞0，抛物线交y的负半轴，c＜0，则b＞c，
由D的图象可知，对称轴直线x＝﹣＜0，a＜0，∴b＜0，抛物线交y的负半轴，c＜0，则有可能b＜c，
故满足条件的图象可能是D，
故选：D．
4．（2024春 西湖区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，M是抛物线的顶点，三角形AMB的面积等于1，则下列结论：
①
②ac﹣b+1＝0
③（2﹣b）3＝8a2
④
其中正确的结论是（　　）
A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据抛物线的顶点坐标即可判断①；由OA＝OC可得到C点坐标为（0，c），A点坐标为（﹣c，0），把它们代入解析式解得ac﹣b+1＝0，即可判断②；由ac﹣b+1＝0得出b＝ac+1＜1，，根据三角形面积公式求得（2﹣b）3＝8a2，即可判断③；根据交点坐标和系数的关系即可判断④．
【解答】解：∵抛物线的顶点在第一象限，
∴，
∴，所以①正确；
∵OA＝OC，
∴C点坐标为（0，c），A点坐标为（﹣c，0），
代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以②正确；
∵ac﹣b+1＝0，
∴ac＝b﹣1，b＝ac+1＜1，
∴，
设A（x1，0），B（x2，0），
∵
∴，
∴，
∴（2﹣b）3＝8a2，所以③正确；
∴OA＝﹣x1，OB＝x2，
∴，所以④正确；
故选：D．
题型七　二次函数的最值
例题：
1．（2023秋 杭州期末）二次函数y＝（x﹣1）2+5的最小值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【分析】根据关系式可知抛物线开口向上，函数有最小值，根据顶点坐标可得答案．
【解答】解：由二次函数关系式y＝（x﹣1）2+5，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标是（1，5），
∴当x＝1时，函数值y有最小值5．
故选：C．
2．（2024 龙湖区校级一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b，c的值分别是（　　）
A．2，4 B．2，﹣4 C．﹣2，4 D．﹣2，﹣4
【分析】根据二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c的值．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1＜0，
∴该函数的图象的开口方向向下，
∴二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标，
∴﹣1＝，即b＝﹣2；①
﹣3＝，即b2+4c+12＝0；②
由①②解得，b＝﹣2，c＝﹣4；
故选：D．
3．（2023秋 永康市期末）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（2，1），D（3，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】待定系数法分别求出表达式比较a的大小即可．
【解答】解：设过A、B、C三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则有，
，
解得：，
设过A、B、D三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则有，
，
解得：，
设过A、C、D三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则有，
，
解得：，
设过B、C、D三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则有，
，
解得：，
∵，
∴a的值最大为：．
故选：B．
4．（2023秋 杭州期末）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 　﹣≤S≤0　．
【分析】根据题意，可以写出S关于x的函数解析式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，即可得到函数S的取值范围．
【解答】解：∵y＝2x﹣1，S＝xy，
∴S＝x（2x﹣1）＝2（x﹣）2﹣，
∴该函数开口向上，当x＝取得最小值﹣，
∵，
∴当x＝取得最小值﹣，当x＝取得最大值0，
∴S的取值范围为﹣≤S≤0，
故答案为：﹣≤S≤0．
5．（2024 浙江模拟）已知二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函数图象上的点，且x1+2x2＝2，求y1+y2的最小值．
（3）若点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的最小值为1，则b﹣a的最大值为多少？
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据图象上点的坐标特征得出y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，由x1+2x2＝2可知x1＝2﹣2x2，即可求得y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2＝5（x2﹣）2﹣，利用二次函数的性质即可求得最小值；
（3）由题意可知当点P（a，n）和Q（b，n+2）在对称轴的同侧时b﹣a的值最小，当点P（a，n）和Q（b，n+2）在异侧是b﹣a的值最大，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5），
∴5＝25﹣10k+k﹣2，
∴k＝2，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x；
（2）∵A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函数图象上的点，
∴y1＝﹣4x1，y2＝﹣4x2，
∴y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，
∵x1+2x2＝2，
∴x1＝2﹣2x2，
∴y1+y2
＝﹣4x1+﹣4x2
＝（2﹣2x2）2﹣4（2﹣2x2）+﹣4x2
＝5﹣4x2﹣4
＝5（x2﹣）2﹣，
∵5＞0，
∴y1+y2的最小值是﹣；
（3）∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴t图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的最小值为1，
∴点P（a，n）和Q（b，n+2）在对称轴的右侧，此时b﹣a＝1，则b＝a+1，
∴a2﹣4a＝n①，（a+1）2﹣4（a+1）＝n+2②，
②﹣①得a＝，
∴b＝a+1＝，
∴此时点P（，n）和Q（，n+2），
当点P是点（，n）的对称点时，则b﹣a的值最大，
∵对称轴为直线x＝2，
∴点（，n）的对称点为（，n），
∴此时a＝，
∴b﹣a的最大值为：﹣＝2．
巩固训练
6．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（　　）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
【分析】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．
【解答】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+k，
∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），
∴二次函数的对称轴是：直线，
∵a＞0，
∴y有最小值，
当时，y最小，
即，
当k＝2时，函数y的最小值为；
当k＝4时，函数y的最小值为，
故选：A．
7．已知实数x，y满足x2+5x+y﹣2＝0，则x+y的最大值为 　6　．
【分析】用x表示y，将y转化为x的二次代数式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
y＝﹣x2﹣5x+2，
则x+y＝﹣x2﹣4x+2
＝﹣x2﹣4x﹣4+6
＝﹣（x+2）2+6．
则当x＝﹣2时，
x+y有最大值为：6．
故答案为：6．
8．（2023 舟山开学）已知二次函数y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0）的图象过不同的三点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3）．
（1）若二次函数的最大值为4，求a的值．
（2）若y1＞y2＞y3，求n的取值范围．
【分析】（1）将解析式y＝a（x2+2x﹣3）＝a[（x+1）2﹣4]，根据条件函数有最大值4，则a＜0，当x＝﹣1时，ymax＝﹣4a＝4，则a＝﹣1；
（2）将解析式转化为y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0），先判断a＜0不满足y1＞y2＞y3再分析a＞0时的情况，当a＞0时，顶点（﹣1，y3），即C（﹣1，﹣4a）为顶点，
则y3为最小值，再分析A、B两个点所在不同位置时的情况，最后得到n的取值范围即可．
【解答】解：（1）据题得y＝a（x2+2x﹣3）＝a[（x+1）2﹣4]，
∵函数有最大值4，则a＜0，
当x＝﹣1时，ymax＝﹣4a＝4，
∴a＝﹣1，
（2）y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0），
①当a＜0时，顶点（﹣1，﹣4a），则C（﹣1，y3）为顶点，
∴y3为最大值，不满足y1＞y2＞y3，
②当a＞0时，顶点（﹣1，y3），即C（﹣1，﹣4a）为顶点，
∴y3为最小值，
又∵y1＞y2，
当A、B都在对称轴右侧，则，
当A、B都在对称轴左侧，则﹣1＞1﹣n＞n 无解，
当A、B在异侧时，A左B右，则，
解得n；
当A在B左侧时，则n＞﹣1，1﹣n＜﹣1 无解，
综上所述n．
9．（2023秋 上城区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝6cm，AC＝8cm，AB＝10cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？
（2）经过多少时间后，△PCQ的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）由勾股定理和二次函数的性质可求解；
（2）由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：BP＝t（cm），CP＝（6﹣t）cm，CQ＝2t（cm），
PQ＝＝＝，
当t＝时，PQ最小，最小值为 ；
答：经过s时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是cm；
（2）S＝（6﹣t）×2t÷2＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
当t＝3时，面积最大值为9．
题型八　二次函数与一元二次方程的关系
例题：
1．（2024春 海曙区校级期末）若二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝5，x2＝1
C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝1，x2＝﹣5
【分析】先确定抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题确定方程ax2﹣4ax+c＝0的解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴点（﹣1，0）关于直线x＝2的对称点的坐标为（5，0），
即二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（5，0），
∴方程ax2﹣4ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5．
故选：C．
2．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从表可知，下列说法中，错误的是（　　）
A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）
C．抛物线的对称轴是直线
D．抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大而减小
【分析】依据题意，抛物线过（﹣2，0），（0，6），从而可得抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点（0，6），故可判断A、B；根又据表格数据可得抛物线对称轴是直线x＝＝，故可判断C；又a＝﹣1＜0，从而当x＜时，y随x的增大而增大，故可判断D．
【解答】解：由题意，抛物线过（﹣2，0），（0，6），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点（0，6），故A、B正确．
根据表格数据可得抛物线对称轴是直线x＝＝，故C正确．
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜时，y随x的增大而增大，故D错误．
综上，错误的是D．
故选：D．
3．（2024 拱墅区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（　　）
A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β
【分析】依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．
【解答】解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β），
方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点．
由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．
由图象可知，M＜α＜β＜N，
故选：B．
4．（2024春 平湖市期末）已知关于x的一元二次方程ax2+（a+2）x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，则实数a的取值范围为 　．　．
【分析】根据关于x的方程ax2+（a+2）x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可以得到a的取值范围，再根据x1＜1＜x2得出（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵关于x的方程ax2+（a+2）x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴，
解得a≠0，
∵x1，x2是方程ax2+（a+2）x+1＝0的两个实数根，
∴，，
∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
∴，
整理得：，
当a＜0时，解不等式得：，
∴；
当a＞0时，解不等式得：，
∴此时无解；
综上分析可知：．
故答案为：．
5．（2024 济宁二模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2的根是 　﹣3或﹣2　．
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象过（2，0），得方程ax2+bx+c＝2的根是x＝0，即可得方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2的根满足x+3＝0，故方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2的根是x＝﹣3．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（0，2），（1，2），
得方程ax2+bx+c＝2的根是x＝0或1，
故方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2的根满足x+3＝0或1，
故方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2的根是x＝﹣3或﹣2．
故答案为：﹣3或﹣2．
巩固训练
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 2 3 2 ？ …
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞0时，函数图象从左到右上升
B．抛物线开口向上
C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间
D．当x＝2时，y＝1
【分析】根据表格数据求出顶点坐标，对称轴，开口方向，根据二次函数的性质即可判断A，B，；x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2即可判断C，D．
【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0，
∴抛物线的顶点为（0，3），
∴y＝3是函数的最大值，
∴抛物线的开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，即当x＞0时，函数图象从左到右下降，
所以A错误，B错误；
∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2，
∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间，
所以C正确，D错误．
综上所述：其中正确的结论有C．
故选：C．
7．（2023秋 兴城市期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx﹣m＝1有实数根，则m的最大值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最大值，再根据一元二次方程ax2+bx﹣m＝1有实数根，从而可以求得m的取值范围，从而可以得到m的最大值．
【解答】解：由图象可得，
二次函数y＝ax2+bx的最大值是y＝4，
∵一元二次方程ax2+bx﹣m＝1有实数根，
即一元二次方程ax2+bx＝m+1有实数根，
也就是y＝ax2+bx与y＝m+1有交点，
∴m+1≤4，
解得：m≤3，
∴m的最大值是3，
故选：C．
8．（2024 鄞州区校级一模）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣4x+k|x﹣1|+3的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣2 B．﹣2≤k＜2 C．k≥2 D．2≤k＜4
【分析】函数与x轴有2个交点，那么交点的纵坐标为0．让函数值y＝0，得到关于x的一元二次方程，一元二次方程有2个解．根据绝对值的意义分x≥1和x＜1两种情况解一元二次方程，得到x的两个值，根据恰好有2个解可判断出k的取值范围．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+k|x﹣1|+3的图象与x轴相交，
∴交点的纵坐标为0．
∴x2﹣4x+k|x﹣1|+3＝0．
①x≥1．
x2﹣4x+k（x﹣1）+3＝0，
x2﹣4x+kx﹣k+3＝0，
x2+（k﹣4）x+（3﹣k）＝0，
（x﹣1）（x+k﹣3）＝0，
∴x1＝1，x2＝3﹣k．
②x＜1．
x2﹣4x+k（1﹣x）+3＝0，
x2﹣4x+k﹣kx+3＝0，
x2+（﹣k﹣4）x+（3+k）＝0，
（x﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝1（舍去），x2＝3+k．
∵恰好有2个解，其中有一个解是x＝1，
∴另一个解3﹣k和3+k只能有一个存在．
①另一个解是x＝3﹣k．
．
解得：﹣2≤k＜2．
②另一个解是x＝3+k．
．
解得：原不等式组无解．
综上：﹣2≤k＜2．
故选：B．
9．（2024 西湖区校级二模）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1中，
（1）若该二次函数图象经过（0，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标．
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）若m＜0时，点A（n﹣2，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上且m﹣1＞q＞p，求n的取值范围．
【分析】（1）二次函数y＝x2+2mx+m﹣1的图象经过（0，0），即可求得m＝1，得到抛物线为y＝x2+2x，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标（﹣1，﹣1）．
（2）依据题意，由Δ＝4m2﹣4（m﹣1）＝4m2﹣4m+4＝（2m﹣1）2+3，又对于任意的m都有（2m﹣1）2≥0，从而可以判断Δ的大小，进而可以得解；
（3）依据题意，由B（2，q），C（n，p）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1图象上，从而对称轴直线，故n＝﹣m+1，即n＞1，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合q＞p，可得n﹣（﹣m）＜|﹣m﹣2|，再分类讨论即可得解．
【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+2mx+m﹣1的图象经过（0，0），
∴m﹣1＝0，
∴m＝1，
∴抛物线为y＝x2+2x，
∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴对称轴直线x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣1）．
（2）证明：∵Δ＝4m2﹣4（m﹣1）＝4m2﹣4m+4＝（2m﹣1）2+3＞0，
∴二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）解：∵B（2，q），C（n，p）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1图象上，
∴对称轴直线，
∴n＝﹣m+1．
∵m＜0，
∴n＞1，
∵抛物线过B（2，q），
∴4+4m+m﹣1＝q，即q＝5m+3，
∵m﹣1＞q，
∴m﹣1＞5m+3，解得m＜﹣1，即n＞2，
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
∵q＞p，
∴n﹣（﹣m）＜|﹣m﹣2|，
当n+m＜m+2，解得n＜2，不合题意舍去，
当n+m＜﹣m﹣2，即n+1﹣n＜n﹣1﹣2，解得n＞4，
故n的取值范围是n＞4．
题型九　二次函数与不等式（组）的关系
例题：
1．（2023秋 路桥区期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，其对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（5，0），则不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A．x＜﹣1或x＞5 B．x＞5 C．x＜﹣1 D．﹣1＜x＜5
【分析】先求得抛物线与x轴的交点，由y＝ax2+bx+c＜0得函数值为负数，即抛物线在x轴的下方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＜0的解集．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（5，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
观察图象，不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5．
故选：A．
2．（2024 宁海县校级自主招生）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为 　x＜3或x＞5　．
【分析】直接利用函数图象即可得出结论．
【解答】解：∵由函数图象可知，当x＝1，3时，y＝0，
令t＝x﹣2，
∴a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝at2+bt+c＝0的解为：
t＝1或3，
解得x＝3或5，
∴不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为x＜3或x＞5．
故答案为：x＜3或x＞5．
3．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）若直线与y轴的交点为E，连接AD、AE，求△ADE的面积．
【分析】（1）直接将已知点代入函数解析式求出即可；
（2）利用函数图象结合交点坐标得出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）分别得出EO，AB的长，进而得出面积．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是：x＜﹣2或x＞1．
（3）∵对称轴：x＝﹣1．∴D（﹣2，3）；
设直线BD：y＝mx+n 代入B（1，0），D（﹣2，3）：
，
解得：，
故直线BD的解析式为：y＝﹣x+1，
把x＝0代入求得E（0，1）
∴OE＝1，
又∵AB＝4
∴S△ADE＝×4×3﹣×4×1＝4．
巩固训练
4．（2023秋 新昌县期末）如图，已知直线y＝﹣x+h（h为常数）与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）相交于点A，D，与坐标轴相交于点B，C，且A，B，C，D四点的横坐标分别为﹣，0，2，3，则不等式﹣x+h的解为（　　）
A．﹣＜x＜2 B．﹣＜x＜3 C．0＜x＜2 D．0＜x＜3
【分析】几何函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+h（h为常数）与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）交点A、D的横坐标分别为﹣，3，
∴当﹣＜x＜3时，﹣x2+bx+c＞﹣x+h，
即﹣x2+bx+c＞﹣x+h的解集为﹣＜x＜3．
故选：B．
5．（2023秋 海曙区校级期中）已知抛物线的顶点为C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），其中B点的横坐标为4，一次函数y2＝kx+b经过A、C两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1或x＞4 B．x＜﹣1或x＞1.5
C．﹣1＜x＜1.5 D．﹣1＜x＜3
【分析】根据抛物线的顶点式即可求得C点的坐标，利用抛物线的对称性求得A点的坐标，然后根据图象即可求解．
【解答】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.5，顶点为C（1.5，3），
∵抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），其中B点的横坐标为4，
∴A（﹣1，0），
由图可得：y1＜y2，则x的取值范围是x＜﹣1或x＞1.5．
故选：B．
6．（2023春 东阳市月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，则不等式的解为（　　）
A．﹣2＜x＜4 B．2＞x＞﹣4 C．x＜﹣4或x＞2 D．x＜﹣2或x＞4
【分析】根据抛物线与方程、不等式的关系求解．
【解答】解：由题意得：ax2+bx+c＝0的解为：x＝﹣2或x＝4，
∴x2+x+＝0的解为：x＝﹣2或x＝4，
∴函数y＝x2+x+与x轴的交点为：A（﹣2，0），B（4，0），
∴不等式的解为：x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
7．（2023 临沭县二模）如图，是函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（0≤x≤4）的图象，通过观察图象得出了
如下结论：
①当x＞3时，y随x的增大而增大；
②该函数图象与坐标轴有三个交点；
③该函数的最大值是6，最小值是﹣6；
④当0≤x≤4时，不等式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0的解为1＜x＜2．
以上结论中正确的有（　　）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
【分析】利用数形结合的思想，对照所给的函数图象，可逐一验证是否正确．
【解答】解：①观察函数图象可知，当x＞3时，图象是向右上方延伸的，即y随x的增大而增大．故①正确．
②观察图象可知，该函数图象与x轴有3个交点，与y轴有一个交点，所以与坐标轴有四个交点．故②错误．
③观察图象可知，当x＝0时，函数有最小值﹣6；当x＝4时，函数有最大值6．故③正确．
④观察图象可知，函数图象在x轴上方部分x的取值范围是1＜x＜2或3＜x≤4．故④错误．
故选：A．
8．（2022秋 柯城区期末）如图，二次函数y1＝x2+bx+c与一次函数为y2＝mx+n的图象相交于A，B两点，则不等式x2+bx+c＜mx+n的解为 　﹣1＜x＜3　．
【分析】由图象可知，y1与y2图象的交点的横坐标为﹣1和3，当﹣1＜x＜3时，y1的图象在y2的图象的下方，即可得答案．
【解答】解：由图象可知，y1与y2图象的交点的横坐标为﹣1和3，
∵当﹣1＜x＜3时，y1的图象在y2的图象的下方，
∴不等式x2+bx+c＜mx+n的解为﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
9．（2024 桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … y1 3 y2 y3 y4 3 y5 …
（1）若y1＝8，
①求二次函数的表达式．
②求不等式ax2+bx+3＜0的解．
（2）若在y3，y4，y5中只有一个为负数，求a的取值范围．
【分析】（1）①依据题意，根据表格数据可得对称轴是直线x＝2，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+k，又过（﹣1，8），（0，3），求出a，k的值，进而可以得解；
②依据题意，由①令y＝0，从而（x﹣2）2﹣1＝0，进而可得抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），又抛物线开口向上，从而不等式ax2+bx+3＜0的解就是函数y＝ax2+bx+3的图象在y轴下方对应的自变量取值范围，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由对称轴是直线x＝2，故可分①当a＞0时②当a＜0时分别进行分析即可得解．
【解答】解：（1）根据表格数据可得对称轴是直线x＝＝2．
①由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+k，
又过（﹣1，8），（0，3），
∴．
∴a＝1，k＝﹣1．
∴二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2﹣1．
②由①令y＝0，
∴（x﹣2）2﹣1＝0．
∴x＝3或x＝1．
∴抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）．
又抛物线开口向上，
∴不等式ax2+bx+3＜0的解就是函数y＝ax2+bx+3的图象在y轴下方对应的自变量取值范围．
∴不等式ax2+bx+3＜0的解是1＜x＜3．
（2）由题意，∵对称轴是直线x＝2，
∴①当a＞0时，当x≥2时，y随x的增大而增大．
又2＜3＜5，
∴y3＜y4＜y5．
∵y3，y4，y5中只有一个为负数，
∴y3＜0，且y4≥0．
∴4a+2b+3＜0，且9a+3b+3≥0．
又对称轴是直线x＝﹣＝2，即b＝﹣4a，
∴4a﹣8a+3＜0，且9a﹣12a+3≥0．
∴＜a≤1．
②当a＜0时，当x≥2时，y随x的增大而减小．
又2＜3＜5，
∴y3＞y4＞y5．
∵y3，y4，y5中只有一个为负数，
∴y5＜0，且y4≥0．
∴25a+5b+3＜0，且9a﹣12a+3≥0．
又对称轴是直线x＝﹣＝2，即b＝﹣4a，
∴25a﹣20a+3＜0，且9a﹣12a+3≥0．
∴a＜﹣．
综上，a＜﹣或＜a≤1．
题型十　二次函数的简单应用
例题：
1．（2024 曹妃甸区模拟）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元．
A．50 B．90 C．80 D．70
【分析】根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到当售价为多少时，可以获得最大利润．
【解答】解：设利润为w元，每顶头盔的售价为x元，
由题意可得：w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，
故选：D．
2．（2024 张家口一模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（　　）
A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6
【分析】以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝1.5时x的值的即可得出答案．
【解答】解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一：∵AB＝DE＝1.5m，
∴点B与点D关于对称轴对称，
∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，
将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，
当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，
解得x＝0（舍）或x＝3.2，
所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，
故选：A．
3．（2023秋 仙居县期末）如图，某校计划在边长为10m的正方形花坛ABCD内种花，过BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，分别交正方形ABCD的四边于点E，F，G，H，连接EG，在△EGP区域种百合花，在四边形HPFD区域种玫瑰花．若种植百合花的成本为20元/m2，玫瑰花的成本为15元m2，则种植两种花卉的计划成本最少为 　600　元．
【分析】设AH＝x m，种植两种花卉的计划成本为y元，则DH＝（10﹣x）m，根据题意可得y＝20×x2+15（10﹣x）2＝25x2﹣300x+1500＝25（x﹣6）2+600，运用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：设AH＝x m，种植两种花卉的计划成本为y元，则DH＝（10﹣x）m，
由题意得：
y＝20×x2+15（10﹣x）2＝25x2﹣300x+1500＝25（x﹣6）2+600，
∵25＞0，
∴当x＝6时，y取得最小值600，
∴种植两种花卉的计划成本最少为600元．
故答案为：600．
4．（2024春 拱墅区期末）把一个足球垂直地面向上踢，t秒后该足球的高度h米适用公式h＝﹣5t2+at，已知当足球踢出后4秒回到地面．
（1）求a的值．
（2）若该足球踢出t秒后和（t+2）秒后，足球的高度相同，求t的值．
（3）是否有可能该足球踢出（t+1）秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米？通过计算说明．
【分析】（1）取t＝4，h＝0代入公式可得a的值；
（2）易得抛物线的解析式，进而可得抛物线的对称轴；根据足球踢出t秒后和（t+2）秒后，足球的高度相同可得对称轴的另一种表示形式，整理可得t的值；
（3）求得自变量为t+1和t时的函数值，相减为18，看求得的t是否符合题意即可．
【解答】解：（1）由题意得：当t＝4时，h＝0．
∴0＝﹣5×42+4a．
解得：a＝20；
（2）由（1）得：h＝﹣5t2+20t．
∴抛物线的对称轴为：t＝﹣＝2．
∵t秒后和（t+2）秒后，足球的高度相同，
∴＝2．
解得：t＝1；
（3）由题意得：﹣5（t+1）2+20（t+1）﹣（﹣5t2+20t）＝18．
﹣5（t2+2t+1））+20t+20+5t2﹣20t﹣18＝0．
解得：t＝﹣（不合题意，舍去）．
∴没有可能该足球踢出（t+1）秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米．
巩固训练
4．（2024 玉环市二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为48m2；小亮认为：隔离区的面积可能为36m2，你认为他们俩的说法是（　　）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【分析】设垂直于墙的一边为x m，则隔离区的另一边为（24﹣3x）m，根据矩形的面积公式列出面积S关于x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，然后分别令S＝48和S＝36，解方程求出x，取在x取值范围内的值即可．
【解答】解：设垂直于墙的一边为x m，则隔离区的另一边为（24﹣3x）m，
∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x；
根据题意，得不等式组，
解得：4≤x＜8，
当S＝48时，﹣3x2+24x＝48，
解得x1＝x2＝4（不合题意，舍去）；
当S＝36时，﹣3x2+24x＝36，
解得x1＝6，x2＝2（不合题意，舍去），
故小亮说法正确．
故选：B．
5．（2024 阳泉模拟）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列说法正确的是（　　）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球的飞行高度可以达到25m
D．小球从飞出到落地要用4s
【分析】根据函数表达式，可以求出h＝0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程20t﹣5t2＝15的意义为h＝15时所用的时间，据此解答．
【解答】解：20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3，即h＝15时所用的时间，
∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误；
h＝20t﹣5t2＝20﹣5（2﹣t）2，
∴对称轴直线为：t＝2，最大值为20，故C错误；
∴t＝3时，h＝15，此时小球继续下降，故B错误；
∵当h＝0时，t1＝0，t2＝4，
∴t2﹣t1＝4，
∴小球从飞出到落地要用4s，故D正确．
故选：D．
6．（2023秋 高邑县期末）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 　2　m．（结果保留根号）
【分析】根据题意，建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将y＝﹣3代入函数解析式，求出x的值，然后即可求得水面下降1m后，水面宽度．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，
设该抛物线的解析式为y＝ax2，
由题意可知：点（2，﹣2）在该函数图象上，
∴﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2，
当y＝﹣3时，﹣3＝﹣x2，
解得x1＝﹣，x2＝，
∴当水面下降1m后，水面宽度是：﹣（﹣）＝+＝2（m），
故答案为：2．
7．（2024 杭州模拟）为了准备体育中考，教练对小明扔实心球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系后发现实心球与地面的高度y（m）和离运动员出手点的水平距离x（m）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 　10m　．
【分析】铅球的落地点与运动员出手点的水平距离，即该二次函数y＝0（x＞0）时，x的值．
【解答】解：令y＝0（x＞0），则x＝10，
故答案为：10m．
8．（2024春 浦江县期末）问题背景：某商场代理销售某种家用净水器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）设售价降低x元，请用含x的代数式表示月销售量y（台）与每月所获得的利润w（元）．
（2）当售价定为多少元时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据售价每降低1元，就可多售出5台，由题意表示出y与x的关系式，再由每台的利润＝（售价﹣降价﹣进价）表示出每台的利润，由每台的利润×数量即可表示出总利润w；
（2）根据这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务列出不等式组，求出不等式组的解集确定出x的范围，由w与x的二次函数，且开口向下，在对称轴的左侧w随x的增大而增大，可得出当x最大时，w最大，求出w的最大值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝5x+200，
∴w＝（400﹣x﹣200）（5x+200），
整理得：w＝﹣5x2+800x+40000；
（2）由题意得：，
解得：50≤x≤70，
∵w＝﹣5x2+800x+40000＝﹣5（x﹣80）2+72000，a＝﹣5＜0，
∴w为开口向下的抛物线，且对称轴为直线x＝80，在对称轴x＝80的左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝70时，Wmax＝71500，
则售价为330元时，利润最大为71500元．第1章 《二次函数》单元知识归纳与题型训练
一、二次函数的定义
形如的函数叫做二次函数
其中：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
要点诠释：
二次函数有三种表达式，分别为
（1）一般式：
（2）顶点式： 优点：已知顶点（h，k）
（3）交点式： 优点：已知抛物线与x轴交点（x1,0）、（x2,0）
☆1：求二次函数解析式时，当不知道顶点或与x轴交点时，通常用一般式求解；已知顶点坐标时，选用顶点式求解更简单；已知抛物线与x轴两交点坐标时，用交点式求解更简单；
☆2：二次函数一般式往顶点式的转化方法：
①提取二次项系数；
②将括号内的部分配成一个完全平方式＋一个常数的形式；
③将常数部分写开，得顶点式；
二、二次函数的图象
1、二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.
要点诠释1：
|a|的几何意义：|a|决定抛物线的开口大小，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大.
2、抛物线的平移口诀：“左加右减（x），上加下减（整体）”
要点诠释2：
图象的旋转、对称规律：已知顶点式
关于x轴对称时：→；
关于y轴对称时：→；
关于原点成中心对称时：→；
关于平面内一点（p,q）成中心对称时：
→；
3、二次函数图象与a、b、c的关系
a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用
要点诠释：
二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
当x=1时，y=a+b+c，
当x=-1时，y=a-b+c，
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2 时，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
三、二次函数的性质
当a＞0时，若，则y随x的增大而减小；若，则y随x的增大而增大；此时函数的有最小值为；
当a＜0时，若则y随x的增大而增大；若，则y随x的增大而减小；此时函数的有最大值为；
要点诠释：
二次函数的图象与一元二次方程间的关系
当时，抛物线与x轴有2个交点；
当时，抛物线与x轴有1个交点；
当时，抛物线与x轴无交点；
二次函数的图象与不等式（组）的关系
此类题考察的是不解不等式，直接从函数图象中找出对应不等式的解集，对应方法是：
①大在上：谁大，谁的图象在上方；
②交点横：找出交点的横坐标；
③左小右大：交点左边的图象符合，则x＜交点横坐标；交点右边的图象符合，则x＞交点横坐标；
四、二次函数的简单应用
利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下：
①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
②用含自变量的代数式表示销售商品成本
③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式
④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值
题型一　二次函数的定义
例题：
1．（2023春 杭州市期末）若y＝（3﹣m）是二次函数，则m的值是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．9
2．（2023秋 西湖区校级月考）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝50+x2 B．
C．y＝3x+4 D．y＝（x+2）（x﹣3）﹣x2
巩固训练
3．（2022秋 曲周县期末）函数y＝（m+2）+2x﹣1是二次函数，则m＝　 　．
4．（2023秋 西城区校级月考）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）．
（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
题型二　二次函数的表达式
例题：
1．（2023秋 鹿城区校级月考）把二次函数y＝2x2﹣8x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式应为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+5 B．y＝2（x﹣2）2﹣1
C．y＝2（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+7
2．（2024 海安市一模）设函数y＝a（x+m）2+n（a≠0，m，n是实数），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则（　　）
A．若m＝﹣3，则a＜0 B．若m＝﹣4，则a＞0
C．若m＝﹣5，则a＜0 D．若m＝﹣6，则a＞0
3．（2024 西湖区校级开学）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当y≤4时，求自变量x的取值范围．
巩固训练
4．（2022秋 陵城区期末）将二次函数y＝x2﹣4x+7化为y＝（x﹣a）2+b的形式，那么a+b的值为 　 　．
5．（2022秋 路南区期中）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
6．（2024 鹿城区校级三模）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差．
题型三　二次函数的几何变换
例题：
1．（2023秋 曲靖期末）将二次函数y＝x2﹣1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣6 B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝（x+2）2+4 D．y＝（x+2）2﹣6
2．（2024 凉州区二模）已知抛物线C1与C2关于原点成中心对称，若抛物线C1的解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣1，则抛物线C2的解析式为 　 　．
3．（2023秋 衢州月考）已知抛物线y＝x2﹣2x，
（1）若把该抛物线向右平移1个单位，再向上移动2个单位，则平移后抛物线解析式为 　 　；
（2）若把该抛物线绕它的顶点旋转180°，则旋转后的抛物线解析式为 　 　．
巩固训练
4．（2024 滨江区校级三模）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
5．（2024春 上城区校级月考）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（　　）
A．c＝﹣2
B．
C．当x＝t时，y1+y2＝﹣t
D．不论x取何值，y1+y2＝0
6．（2023秋 越城区期末）将二次函数y＝x2+4x+3的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位得到的新抛物线的顶点坐标是 　 　．
7．（2023秋 西湖区校级月考）将二次函数y＝x2﹣4x+5绕顶点旋转180°后的函数表达式是 　 　．
8．（2023 鄞州区开学）已知抛物线C：y＝x2+2x﹣4，则该抛物线关于y轴对称后的抛物线C′的函数解析式为的 　 　．
题型四　二次函数的图象
例题：
1．（2022秋 临高县期末）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．当x＝﹣1时，y有最大值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
2．（2023秋 江干区校级月考）已知二次函数y＝﹣（x+1）2+5，那么这个二次函数的图象有（　　）
A．最高点（1，5） B．最低点（1，﹣5）
C．最高点（﹣1，5） D．最低点（﹣1，5）
3．（2023秋 萧山区月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝2ax+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024 深圳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 　 　．（请用“＞”连接排序）
6．（2023秋 义乌市校级期中）如图，利用函数y＝x2﹣4x+3的图象，直接回答：
（1）方程x2﹣4x+3＝0的解是 　 　；
（2）当y＜0时，x的取值范围为 　 　．
巩固训练
7．（2023 婺城区校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
8．（2023 余江区二模）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2022 株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023 连平县三模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2022 杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（　　）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
12．（2023秋 鄞州区期中）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2﹣5x+4﹣a2的图象，那么a的值是　 　
题型五　二次函数的性质
例题：
1．（2024 衢州一模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是﹣4，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．﹣1≤m≤1 D．0≤m≤2
2．（2024 永寿县二模）二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（　　）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
3．（2024 杭州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（　　）
x … ﹣1 0 2 3 4 …
y … 5 0 ﹣4 ﹣3 0 …
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝2
C．当0＜x＜4时，y＜0
D．若A（x1，2），B（x2，3）是图象上两点，则x1＜x2
4．（2024 嘉兴二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3（a为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（2，﹣3）．
①求a的值．
②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）若点A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q）均在该二次函数的图象上，求证：p+q＝2．
巩固训练
5．（2024 镇海区校级二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，则m的取值范围可以是（　　）
A．m＜1 B． C．0＜m＜ D．1＜m＜
6．（2024春 拱墅区期末）在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，则y的取值范围是 　 　．
7．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）
①若x＞2时，则y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2023，y1），（2023，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点，对一切正数n．总有y1＞y2，则．
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
8．（2024 金华一模）已知二次函数．
（1）若点（b﹣2，c）在该函数图象上，则b的值为 　 　．
（2）若点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，则b的取值范围为 　 　．
9．（2024 瓯海区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，c）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若点（n，y1）和点（n﹣2，y2）均在该抛物线上，当n＜2时，请你比较y1，y2的大小关系；
（3）若c＝1，且当﹣1≤x≤2时，y有最小值为，求a的值．
题型六　二次函数的图象与系数a、b、c的关系
例题：
1．（2023秋 南昌期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②a+b+c＝2；③；④b＜1．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
2．（2024 长兴县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
巩固训练
3．（2024 民勤县三模）已知，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，则它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024春 西湖区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，M是抛物线的顶点，三角形AMB的面积等于1，则下列结论：
①
②ac﹣b+1＝0
③（2﹣b）3＝8a2
④
其中正确的结论是（　　）
A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
题型七　二次函数的最值
例题：
1．（2023秋 杭州期末）二次函数y＝（x﹣1）2+5的最小值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
2．（2024 龙湖区校级一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b，c的值分别是（　　）
A．2，4 B．2，﹣4 C．﹣2，4 D．﹣2，﹣4
3．（2023秋 永康市期末）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（2，1），D（3，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　）
A．2 B． C． D．
4．（2023秋 杭州期末）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 　 　．
5．（2024 浙江模拟）已知二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函数图象上的点，且x1+2x2＝2，求y1+y2的最小值．
（3）若点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的最小值为1，则b﹣a的最大值为多少？
巩固训练
6．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（　　）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
7．已知实数x，y满足x2+5x+y﹣2＝0，则x+y的最大值为 　 　．
8．（2023 舟山开学）已知二次函数y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0）的图象过不同的三点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3）．
（1）若二次函数的最大值为4，求a的值．
（2）若y1＞y2＞y3，求n的取值范围．
9．（2023秋 上城区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝6cm，AC＝8cm，AB＝10cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？
（2）经过多少时间后，△PCQ的面积最大，最大面积是多少？
题型八　二次函数与一元二次方程的关系
例题：
1．（2024春 海曙区校级期末）若二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝5，x2＝1
C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝1，x2＝﹣5
2．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从表可知，下列说法中，错误的是（　　）
A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）
C．抛物线的对称轴是直线
D．抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大而减小
3．（2024 拱墅区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（　　）
A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β
4．（2024春 平湖市期末）已知关于x的一元二次方程ax2+（a+2）x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，则实数a的取值范围为 　 　．
5．（2024 济宁二模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2的根是 　 　．
巩固训练
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 2 3 2 ？ …
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞0时，函数图象从左到右上升
B．抛物线开口向上
C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间
D．当x＝2时，y＝1
7．（2023秋 兴城市期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx﹣m＝1有实数根，则m的最大值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
8．（2024 鄞州区校级一模）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣4x+k|x﹣1|+3的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣2 B．﹣2≤k＜2 C．k≥2 D．2≤k＜4
9．（2024 西湖区校级二模）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1中，
（1）若该二次函数图象经过（0，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标．
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）若m＜0时，点A（n﹣2，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上且m﹣1＞q＞p，求n的取值范围．
题型九　二次函数与不等式（组）的关系
例题：
1．（2023秋 路桥区期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，其对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（5，0），则不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A．x＜﹣1或x＞5 B．x＞5 C．x＜﹣1 D．﹣1＜x＜5
2．（2024 宁海县校级自主招生）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为 　 　．
3．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）若直线与y轴的交点为E，连接AD、AE，求△ADE的面积．
巩固训练
4．（2023秋 新昌县期末）如图，已知直线y＝﹣x+h（h为常数）与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）相交于点A，D，与坐标轴相交于点B，C，且A，B，C，D四点的横坐标分别为﹣，0，2，3，则不等式﹣x+h的解为（　　）
A．﹣＜x＜2 B．﹣＜x＜3 C．0＜x＜2 D．0＜x＜3
5．（2023秋 海曙区校级期中）已知抛物线的顶点为C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），其中B点的横坐标为4，一次函数y2＝kx+b经过A、C两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1或x＞4 B．x＜﹣1或x＞1.5
C．﹣1＜x＜1.5 D．﹣1＜x＜3
6．（2023春 东阳市月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，则不等式的解为（　　）
A．﹣2＜x＜4 B．2＞x＞﹣4 C．x＜﹣4或x＞2 D．x＜﹣2或x＞4
7．（2023 临沭县二模）如图，是函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（0≤x≤4）的图象，通过观察图象得出了
如下结论：
①当x＞3时，y随x的增大而增大；
②该函数图象与坐标轴有三个交点；
③该函数的最大值是6，最小值是﹣6；
④当0≤x≤4时，不等式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0的解为1＜x＜2．
以上结论中正确的有（　　）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
8．（2022秋 柯城区期末）如图，二次函数y1＝x2+bx+c与一次函数为y2＝mx+n的图象相交于A，B两点，则不等式x2+bx+c＜mx+n的解为 　 　．
9．（2024 桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … y1 3 y2 y3 y4 3 y5 …
（1）若y1＝8，
①求二次函数的表达式．
②求不等式ax2+bx+3＜0的解．
（2）若在y3，y4，y5中只有一个为负数，求a的取值范围．
题型十　二次函数的简单应用
例题：
1．（2024 曹妃甸区模拟）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元．
A．50 B．90 C．80 D．70
2．（2024 张家口一模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（　　）
A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6
3．（2023秋 仙居县期末）如图，某校计划在边长为10m的正方形花坛ABCD内种花，过BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，分别交正方形ABCD的四边于点E，F，G，H，连接EG，在△EGP区域种百合花，在四边形HPFD区域种玫瑰花．若种植百合花的成本为20元/m2，玫瑰花的成本为15元m2，则种植两种花卉的计划成本最少为 　 　元．
4．（2024春 拱墅区期末）把一个足球垂直地面向上踢，t秒后该足球的高度h米适用公式h＝﹣5t2+at，已知当足球踢出后4秒回到地面．
（1）求a的值．
（2）若该足球踢出t秒后和（t+2）秒后，足球的高度相同，求t的值．
（3）是否有可能该足球踢出（t+1）秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米？通过计算说明．
巩固训练
5．（2024 玉环市二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为48m2；小亮认为：隔离区的面积可能为36m2，你认为他们俩的说法是（　　）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
6．（2024 阳泉模拟）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列说法正确的是（　　）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球的飞行高度可以达到25m
D．小球从飞出到落地要用4s
7．（2023秋 高邑县期末）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 　 　m．（结果保留根号）
8．（2024 杭州模拟）为了准备体育中考，教练对小明扔实心球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系后发现实心球与地面的高度y（m）和离运动员出手点的水平距离x（m）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 　 　．
9．（2024春 浦江县期末）问题背景：某商场代理销售某种家用净水器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）设售价降低x元，请用含x的代数式表示月销售量y（台）与每月所获得的利润w（元）．
（2）当售价定为多少元时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？

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