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专题四：用配方法求最值（压轴专练）
【人教版】
本卷共含有15道题，此题型是一元二次方程章节常考的重难点题型，难度较大，经常出现在压轴题位置，熟练的运用配方法是解题的关键。
1．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子：
[例]分解因式： ．
．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式： ．
(2)请你运用上述配方法分解因式 ．
(3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值
2．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例：求代数式的最小值．
解：，
∵，∴
∴当时，的最小值是4．
(1)【类比探究】
求代数式的最小值；
(2)【举一反三】
若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________；
(3)【灵活运用】
已知，则________；
(4)【拓展应用】
如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
3．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法．
例：已知代数式，当　 　时，它有最小值，是　 　．
解：
因为，所以．
所以当时，它有最小值，是．
参考例题，试求：
(1)填空：当　 　时，代数式有最小值，是　 　．
(2)已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？
4．【探究学习】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用．
例如：求的最小值．
解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3．
【解决问题】
(1)当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？
(2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由．
(3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？
5．先阅读下列问题，再按要求解答问题：
例题：求代数式的最小值．
解：
∵，∴，
∴的最小值是9．
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
(3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？
6．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：

(1)填空：（______）______；
(2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由．
(3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大 最大值为多少平方米
7．阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
，可知当时，有最大值．最大值是．
(1)求的最小值为_____，的最小值为_____；
(2)若多项式，试求M的最小值；
(3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积．
8．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时．
(1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ；
，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值．
(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
9．用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1．
(1)当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ；
(2)当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ；
(3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少

10．阅读理解：求代数式的最小值．
解：因为，
所以当时，代数式有最小值，最小值是．
仿照应用解决下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
(3)某居民小区要在一块一边靠墙墙长的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
11．阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)代数式有最大还是最小值呢？尝试求出这个最值；
(2)应用：若与，试比较与的大小．
12．观察下列式子：
①
②
③
(1)，则______，______；，则______，______；
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为80米的木栅栏围城一个长方形花圃，如图，设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一面长度为米，完成下列任务：

①用含的式子表示花圃的面积： ______；
②请说明当取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米？
13．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求多项式的最小值．
解：．因为所以
当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：

(1)【理解探究】
已知代数式，则A的最小值为__________；
(2)【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；
(3)【拓展升华】
如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，值为多少？
14．阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】：
（1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______；
（2）配方：______；
【知识运用】：
（3）已知，则______，______；
（4）求多项式：的最小值．
15．阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值．
例如：求代数式的最小值．
解：我们可以先将代数式配方：
再利用完全平方式的非负性：∵，∴，∴的最小值是4．
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
(3)某居民小区要在一块两面靠墙（墙长无限）的空地上建一个长方形花园，另两边用总长为20m的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题四：用配方法求最值（压轴专练）
【人教版】
本卷共含有15道题，此题型是一元二次方程章节常考的重难点题型，难度较大，经常出现在压轴题位置，熟练的运用配方法是解题的关键。
1．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子：
[例]分解因式： ．
．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式： ．
(2)请你运用上述配方法分解因式 ．
(3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式的形式是解本题的关键．
（1）根据阅读材料中的方法分解即可；
（2）根据阅读材料中的方法将多项式变形即可；
（3）原式配方后，利用非负数的性质求出、的值，再利用三角形的三边关系，得到的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
．
（3），
，
，
，
，
．
又 为正整数，
时，的周长最大，最大值为 ．
答： 长的最大值为13．
2．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例：求代数式的最小值．
解：，
∵，∴
∴当时，的最小值是4．
(1)【类比探究】
求代数式的最小值；
(2)【举一反三】
若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________；
(3)【灵活运用】
已知，则________；
(4)【拓展应用】
如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)3
(2)；大；1
(3)1
(4)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：
（1）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可；
（2）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可；
（3）把原式利用配方法变形为，再利用非负数的性质求解即可；
（4）设，则，则，进而求出，则，据此可得答案．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴当时，的最小值为3；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为1，
故答案为：；大；1；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）解：设，则，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最大，最大值为48，
∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
3．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法．
例：已知代数式，当　 　时，它有最小值，是　 　．
解：
因为，所以．
所以当时，它有最小值，是．
参考例题，试求：
(1)填空：当　 　时，代数式有最小值，是　 　．
(2)已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？
【答案】(1)
(2)当为时，有最小值，是
【分析】（1）根据平方的非负性，可知当时，取最小值0，所以当时，有最小值，易求此值；
（2）先运用配方法变形，得出最小时，即，然后得出答案．
【详解】（1）解：，
，
∴当时，它有最小值，是．
故答案为：；
（2）解：，
∴当，即时，最小，
∴当为时，有最小值，是．
4．【探究学习】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用．
例如：求的最小值．
解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3．
【解决问题】
(1)当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？
(2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由．
(3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？
【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为；
(2)当时，；当时，，理由见解析
(3)当时，长方形场地的面积最大，最大值为
【分析】本题考查了配方法的应用；
（1）先配方，再根据求解即可；
（2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，；
（3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴当，即时，代数式有最小值，最小值为；
（2）由题意得：，，
∴，
∵，
∴当时，，即，
∴；
当时，，即，
∴；
综上所述，当时，；当时，；
（3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴当，即时，有最大值，最大值为．
5．先阅读下列问题，再按要求解答问题：
例题：求代数式的最小值．
解：
∵，∴，
∴的最小值是9．
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
(3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)4
(2)4
(3)当时，花园的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查了配方法的应用：
（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可；
熟练掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴的最小值是4．
（2），
∵，
∴，
∴，
∴的最大值是4．
（3）设，则，
由题意，得花园的面积是，
，
，
的最大值是50，此时，，符合题意，
则当时，花园的面积最大，最大面积是．
6．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：

(1)填空：（______）______；
(2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由．
(3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大 最大值为多少平方米
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
(3)当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米
【分析】本题主要考查配方法的运用，几何图形的面积的计算，乘法公式与几何图形面积的综合运用，理解题意，掌握乘法公式与几何图形的综合知识的运用是解题的关键．
（1）根据材料提示，运用配方法即可求解；
（2）结合矩形和正方形面积公式，利用整式的乘法分别算出、，再运用的结果的正负来判断大小，即可解题；
（3）根据题意得到，利用矩形面积公式表示出，再结合题干求解方法即可解题．
【详解】（1）解：由题知，，
故答案为：，．
（2）解：由题知，，
，
，
，
．
（3）解：，
由题知，，
矩形的面积；
，
，
，
当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米．
7．阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
，可知当时，有最大值．最大值是．
(1)求的最小值为_____，的最小值为_____；
(2)若多项式，试求M的最小值；
(3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积．
【答案】(1)6；
(2)
(3)围成的菜地的最大面积是
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）由，可知时，有最小值6；由，可知当时，代数式有最小值，最小值为；
（2）根据，求解作答即可；
（3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，依题意得：，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，有最小值6；
∵，
∴当时，代数式有最小值，最小值为，
故答案为：6，；
（2）解：∵，
∴当时，M有最小值，最小值为；
（3）解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，
依题意得：，
∴当时，S有最大值，最大值是，
∴围成的菜地的最大面积是．
8．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时．
(1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ；
，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值．
(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)；，大；
(2)当为米，为米时，面积最大为平方米．
【分析】（）根据配方后的结果即可求解；根据配方后的结果即可求解；
（）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，列式表示出矩形的面积，再利用配方法解答即可求解；
本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，代数式有最小值，最小值为，
故答案为：，；
∵，
∴当时，代数式有最大值，
故答案为：，大；
（2）解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，
根据题意得，，
当时，有最大值，最大值为，
∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长时，能使花圃面积最大，最大面积是．
9．用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1．
(1)当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ；
(2)当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ；
(3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少

【答案】(1)1；大；3
(2)1；大；5
(3)当花园与墙相邻的边长为时，花园的面积最大为
【分析】（1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．
（2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．
（3）设花园与墙相邻的边长为，则另一边为，由题意得：，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
当时，即时，代数式有最大值为3，
故答案为：1；大；3．
（2）
，
，
，
，
当时，即时，代数式有最大值为5，
故答案为：1；大；5．
（3）设花园与墙相邻的边长为，则另一边为，由题意得：
，
当时，有最大值为：32，
当花园与墙相邻的边长为时，花园的面积最大为．
10．阅读理解：求代数式的最小值．
解：因为，
所以当时，代数式有最小值，最小值是．
仿照应用解决下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
(3)某居民小区要在一块一边靠墙墙长的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)当时，花园的面积最大，最大面积是
【分析】（1）依据题意，由，从而可以判断得解；
（2）由，从而可以得其最大值；
（3）先根据矩形的面积公式列出关系式，再根据配方法求最值．
【详解】（1）解：由题意，，
当时，代数式的最小值为．
（2）由题意，，
当时，代数式的最大值为．
（3）由题意可得，花园的面积为：，
当时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是，的长是，
即当时，花园的面积最大，最大面积是．
11．阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)代数式有最大还是最小值呢？尝试求出这个最值；
(2)应用：若与，试比较与的大小．
【答案】(1)有最小值，这个最值为
(2)
【分析】（1）根据配方法，对式子进行配方，求解即可；
（2）用作差法求得的范围，然后判断即可．
【详解】（1）解：
又∵，
∴，
∴的最小值为
（2）解：∵，
∵，
∴，
∴
∴
12．观察下列式子：
①
②
③
(1)，则______，______；，则______，______；
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为80米的木栅栏围城一个长方形花圃，如图，设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一面长度为米，完成下列任务：

①用含的式子表示花圃的面积： ______；
②请说明当取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米？
【答案】(1)
(2)①；②当时，面积最大，最大值为
【分析】（1）利用配方法进行计算即可；
（2）①先利用表示出长方形的另外一条边长，再根据长方形的面积公式列出代数式即可；②配方法，确定花圃的最大面积即可．
【详解】（1）解：，
∴；
，
∴；
故答案为：；
（2）①由题意，得：长方形的另外一条边长为：，
∴长方形的面积为：；
故答案为：；
②∵，
∴当时，花圃的面积最大，最大面积是．
13．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求多项式的最小值．
解：．因为所以
当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：

(1)【理解探究】
已知代数式，则A的最小值为__________；
(2)【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；
(3)【拓展升华】
如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，值为多少？
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)当时，的面积最大，且最大面积为
【分析】（1）根据阅读材料提供的方法解答即可；
（2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可；
（3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可．
【详解】（1）解：
∵
∴
当时，，因此 有最小值，最小值为，
∴ A的最小值为．
（2）解：，理由如下：
∵，，
．
（3）解：由题意得：，
当时，的面积最大，且最大面积为．
14．阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】：
（1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______；
（2）配方：______；
【知识运用】：
（3）已知，则______，______；
（4）求多项式：的最小值．
【答案】（1）；（2）9；（3），2；（4）的最小值为5
【分析】（1）根据完全平方式的形式求解即可；
（2）利用配方法的步骤求解即可；
（3）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解m、n值即可；
（4）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可．
【详解】解：（1）∵多项式是一个完全平方式，
，
，
故答案为：；
（2），
故答案为：9；
（3）∵，
，
，
∴，
∴，
故答案为：，2；
（4），
，
，
，，
的最小值为5．
15．阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值．
例如：求代数式的最小值．
解：我们可以先将代数式配方：
再利用完全平方式的非负性：∵，∴，∴的最小值是4．
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
(3)某居民小区要在一块两面靠墙（墙长无限）的空地上建一个长方形花园，另两边用总长为20m的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)16
(3)当时，花园的面积最大，最大面积是100
【分析】（1）仿照例题配方解答即可；
（2）仿照例题配方解答即可；
（3）用x表示出，根据长方形面积公式列式，配方后即可解答．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴的最小值是；
（2），
∵，
∴，
∴的最大值是16；
（3）设，则，
花园的面积
∵，
∴，
∴当时，花园的面积最大，最大面积是100．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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