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2024年四川省巴中市中考数学试题
一、选择题
1．（3分）在0，1，﹣1，π中最小的实数是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．π
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）函数自变量的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＞﹣2 C．x≥﹣2 D．x≠﹣2
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+b＝3ab B．a3 a2＝a5
C．a8÷a2＝a4（a≠0） D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．ab＞0 B．a+b＜0 C．|a|＞|b| D．a﹣b＜0
6．（3分）如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
7．（3分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（3分）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为x km/h，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）一组数据﹣10，0，11，17，17，31，若去掉数据11，下列会发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
10．（3分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（　　）
A．8 B．10 C．12 D．13
11．（3分）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝（　　）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　）
A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E
B．∠BDC＝3∠ABD
C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形
D．当E为AB中点时，
二、填空题
13．（3分）27的立方根是 　 　．
14．（3分）从五边形的一个顶点出发可以引 　 　条对角线．
15．（3分）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 　 　．
16．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为 　 　．
17．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为 　 　．
18．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 　 　．
①；
②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3；
③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立；
④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2．
三、解答题
19．（16分）（1）计算：．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值：，其中．
20．（10分）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了m名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如图统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．
（1）求m＝　 　，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？
（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．
21．（10分）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1．
（1）求k的值及点B的坐标．
（2）点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当时，求PM的最小值．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）求证：BD＝ED．
（3）若DE＝5，CF＝4，求AB的长．
24．（12分）综合与实践
（1）操作与发现平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC边上的点．经过剪拼，四边形GHK为矩形．则△EDK≌　 　．
（2）探究与证明探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点．OJKL是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出：AE与EB的比值为 　 　．
②证明：四边形OJKL为平行四边形．
（3）实践与应用任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值．
2024年四川省巴中市中考数学试题参考答案
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．A
7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．D
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．3 14．2 15．4 16．60° 17． 18．①③④
三、解答题（共7小题）
19．（16分）解：（1）原式＝225﹣1
＝1+25﹣1
＝25；
（2）解不等式①，得x＞﹣6，
解不等式②，得x≤13，
∴不等式组的解集为﹣6＜x≤13；
（3）原式＝（）

，
当x1时，原式．
20．（10分）解：（1）m＝44÷22%＝200（名），喜欢乒乓球的人数；200﹣44﹣16﹣88＝52（名），
补全统计图：
故答案为：200；
（2）1200336（名），
答：估计喜欢乒乓球运动的学生有336名；
（3）画树状图得：
∵一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
21．（10分）解：（1）由题意得：BA⊥AE，
∵斜坡BE的坡度，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BEA，
∴∠BEA＝30°，
∵BE＝6m，
∴ABBE＝3（m），AEAB＝3（m），
∴点B离水平地面的高度AB为3m；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，
设EC＝x米，
∵AE＝3米，
∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3）米，
在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，
∴CD＝CE tan60°x（米），
在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，
∴DF＝BF tan45°＝（x+3）米，
∵DF+CF＝CD，
∴x+33x，
解得：x＝6+3，
∴CDx＝（69）米，
∴电线塔CD的高度为（69）米．
22．（10分）解：（1）把x＝1代入y＝x+2，得出y＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y，
联立解析式得，
解得或，
∴B（﹣3，﹣1）；
（2）∵，
∴P是AB的中点，
∴P（﹣1，1），
∴OB的解析式为yx，
当PM取得最小值时，PM⊥OB，
∴设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，
代入p（﹣1，1）得3+b＝1，
解得b＝﹣2，
∴直线PM为y＝﹣3x﹣2，
联立解析式得，
解得，
∴M（，），
∴PM的最小值为：．
23．（12分）（1）证明：如图，连接OD，
∵点D为的中点，O为圆心，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：∵点D为的中点，
∴，
∴∠DBC＝∠BAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DEB是△ABE的外角，
∴∠DEB＝∠BAE+∠ABE，
∵∠DBE＝∠CBE+DBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴BD＝ED；
（3）解：如图，连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠DCF+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠DCF，
∵DF∥BC，
∴∠ACB＝∠F，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠F，
∴△ABD∽△DCF，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴BD＝CD，
由（2）知BD＝ED，
∴CD＝BD＝DE＝5，
∵CF＝4，
∴，
∴AB．
24．（12分）（1）解：如图2，
∵AB∥CD，
∴∠GAE＝∠D，
由题意得E为AD中点，
∴EA＝ED°，
∵∠AEG＝∠DEK，
∴△EDK≌△EAG，
故答案为：△EAG；
（2）①解：如图5，由操作知，点E为AB中点，将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，
∴AE＝BE，，
故答案为：1；
②证明：如图5，
由题意得，E、F、G、H是AB、BC，CD，DA的中点，操作为将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，将四边形OHDG绕点H旋转180°得到四边形JHAP，将四边形OGCF放在左上方，
则AQ＝BF＝CF，AP＝DG＝CG，∠BFO＝∠AQL，
∵∠DAB+∠B+∠C+∠D＝360°，∠QAE＝∠B，∠PAH＝∠D，∠DAB+∠QAE+∠PAH+∠PAQ＝360°，
∴∠PAQ＝∠C，
∵∠BFO+∠CFO＝180°，
∴∠AQL+∠AQK＝180°，
∴K，Q、L三点共线，
同理K，P，J三点共线，
由操作得∠2＝∠L，∠3＝∠J，
∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，
∴∠1+∠L＝180°，∠1+∠J＝180°，
∴OJ∥KL，OL∥KJ，
∴四边形OJKL为平行四边形；
（3）解：
如图，取AB、BC、CD，DA为中点为E、H、G、F，连接FH，过点E，点G分别作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足为点M，N，将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH′M′，将四边形FDGN绕点F旋转180°至四边形FAG′N′，将四边形NGCH放置左上方，使得点C与点A重合，CG与AG′重合，CH与AH′重合，点N的对应点为点N″，则四边形MM′N″N′即为所求矩形．
由题意得∠EMF＝∠EMH＝∠M′＝90°，∠GNH＝∠GNF＝∠N'＝90°，
∴∠N'＝∠M′MH＝90°，H′M′∥N′M，
∴N′G′∥MM′，
由操作得，∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠4＝180°，
∴N″，H′，M′三点共线，同理N′，G′，N″三点共线，
∵∠N'＝∠EMF＝∠M'＝90°，
∴四边形MM′N″N为′矩形，
如图，连接AC，EF，FG，GH，EH，
∵E，H为BA，BC中点，
∴EH∥AC，EHAC，同理FG∥AC，FGAC，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴∠EHM＝∠GFN，
∵∠EMF＝∠GNH＝90°，
∴△EHM≌△GFN（AAS），
∴EM＝GN，MH＝NF，
∴FM＝NH，
由操作得，AH′＝BH，而BH＝CH，
∴AH′＝CH，
同理，AG′＝CG，
∵∠BAD+∠D+∠C+∠B＝360°，∠D＝∠G′AF，∠B＝∠H′AE，∠BAD+∠H′AE+∠G′AF+∠H′AG′＝360°，
∴∠H′AG′＝∠C，
∵四边形MM′N″N′为矩形，
∴N′N″＝MM′，N″M′＝N″M，
∴N′F+FM＝H′M′+H′N″，
∴MF+NF＝MF+MH＝M'H′+N″H'，
∴NH＝N″H′，同理NG＝N″G'，
∴四边形NGCH能放置左上方，
∴按照以上操作可以拼成一个矩形．
25．（14分）解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m2+2m+3），则PD＝﹣m2+2m+3，
∵PD⊥x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），D（m，0），
∴DE＝﹣m+3，
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵PE＝2ED，
∴﹣m2+3m＝2（﹣m+3），
解得m1＝2，m2＝3（此时B，D重合，不合题意舍去），
∴m＝2，
∴P（2，3）；
（3）∵PF∥AC，
∴△ACG∽△PFG，
∴，
∴，，
∴，
作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x+b′，
将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b′，得：0＝﹣（﹣1）+b′，
解得：b′＝﹣1，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝0时，yN＝﹣1，
∴N（0，﹣1），
∴ON＝1，CN＝ON+CO＝4，
∵AN∥BC，PQ∥y，
∴∠PQF＝∠NCB＝∠ANC，∠PFC＝∠ACF，
∵∠PFC＝∠FPQ+∠PQF，∠ACF＝∠NCB+∠ACN，
∴∠FPQ＝∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，
∴，
设P（n，﹣n2+2n+3），则Q（n，﹣n+3），
∴PQ＝﹣n2+3n，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴，，
∵ON＝OA＝1，OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠ANC＝45°，
∵∠ANC＝∠PQF，
∴∠OBC＝∠PQF，
∵，AB＝4，
∴，
∴，
∴△CPQ∽△ACB，
∴∠BCP＝∠CAB，
∵，
∴．
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