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第二十四章 圆质量评估
[时间：90分钟　分值：150分]
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1.下列说法中，正确的是（　　）
A.长度相等的弧是等弧 B.在同圆或等圆中，等弦对等弧
C.优弧一定比劣弧长 D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
2.如图，MN为☉O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（　　）
第2题图
A.100° B.40° C.50° D.80°
3.如图，线段CD是☉O的直径，CD⊥AB于点E.若AB的长为16，OE的长为6，则☉O的半径是（　　）
第3题图
A.5 B.6 C.8 D.10
4.如图，PA，PB为☉O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交☉O于点D.下列结论不一定成立的是（　　）
第4题图
A.△BPA为等腰三角形 B. AB与PD相互垂直平分
C.点A，B都在以PO为直径的圆上 D. PC为△BPA的边AB上的中线
5.如图，AB是☉O的切线，B为切点，AC经过点O，与☉O分别相交于点D，C.若∠ACB＝30°，AB＝，则阴影部分的面积是（　　）
第5题图
A. B. C.－ D.－
6.如图，已知☉O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别为∠AOB，∠COD.若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（　　）
第6题图
A.6 B.8 C.5 D.5
7.如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD.若∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（　　）
第7题图
A.50° B.60° C.80° D.85°
8.如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，一只小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（　　）
第8题图
A.3 B.3 C.3 D.4
9.如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积为（　　）
第9题图
A. B. C. D.π
10.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F.有下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是（　　）
第10题图
A.②④⑤⑥ B.①③⑤⑥ C.②③④⑥ D.①③④⑤
11.如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（　　）
第11题图
A. B.π－2 C.1 D.
12.如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A，B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（　　）
第12题图
A. B. C.3 D.
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13.在半径为10的☉O中，弦AB＝12，弦CD＝16，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是　　　　.
14.如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为　　　　.
第14题图
15.[2021·梧州]如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是　　　　cm.
第15题图
16.如图，在扇形ABC中，CD⊥AB，垂足为D，☉E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　　　　.
第16题图
17.如图，AB，AC为☉O的两条弦，AB＝3，AC＝4，将AB折叠后刚好过弦AC的中点D，则☉O的半径为　　　　.
第17题图
18.如图，直线AB，CD交于点F，∠AFC＝45°，点E是AF上一点，EF＝10cm，点O从点E出发，以1cm/s的速度沿射线EB运动.以点O为圆心，OE长为半径作☉O，若点O运动的时间为t，当☉O与直线CD相切时，则t的值为　　　　s.
第18题图
三、解答题（共90分）
19.（12分）某地新建的一座圆弧形的拱桥，正常水位时，水面宽40米，拱高10米，今年夏季汛期受上游涨水影响，水位持续上涨5米达到警戒水位，求此时水面的宽度.
20.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC和BC分别与☉O相切于E，F两点，AB经过☉O上的点M，且AE＝AM.
（1）求证：AB是☉O的切线；
（2）若AC＝8，BC＝6，求☉O的半径.
21.（12分）如图，在等腰三角形ABD中，AB＝AD，点C为BD上一点，以BC为直径作☉O，且点A恰好在☉O上，连接AC.
（1）若AC＝CD，求证：AD是☉O的切线；
（2）在（1）的条件下，若CD＝1，求☉O的直径.
22.（12分）[2021·张家界]如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交☉O于点D，连接AD.
（1）求证：AD为☉O的切线；
（2）若OB＝2，求弧CD的长.
23.（14分）[2024·青山湖区模拟]如图，AB为☉O的直径，E为☉O上一点，∠EAB的平分线AC交☉O于C点，过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D，延长DC与AB的延长线交于点P.
（1）求证：DP为☉O的切线；
（2）若DC＝，∠DAC＝30°，求阴影部分的面积.
24.（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E；
（2）如图2，四边形ABCD内接于☉O，AD＝BD，四边形ABCD的外角平分线DF交☉O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
　
图1　　　　图2
25.（14分）已知：☉O是△ABC的外接圆，且＝，∠ABC＝60°，D为☉O上一动点.
（1）如图1，若点D是的中点，连接BD，求∠DBA的度数.
（2）过点B作直线AD的垂线，垂足为E.
①如图2，若点D在上，求证：CD＝DE＋AE；
②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足CD＝DE＋AE时，求∠ABD度数的最大值.
　　
图1　　　　图2　　　　备用图
参考答案
1. D　2. D　3. D　4. B　5. C　6. B　7. C　8. B
9. B　10. D　11. D　12. D
13.2或14　14.15cm　15.12　16.135°　17.　18.6或30
19.水位到达警戒水位时水面的宽度为30米.
20.（1）略　（2）☉O的半径为2.
21.（1）略　（2）☉O的直径为2.
22.（1）略　（2）＝
23.（1）略　（2）2－
24.（1）∠E＝α　（2）略
25.（1）∠DBA＝30°　（2）①略
②∠ABD的最大值为30°.

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