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第二章
3
简谐运动的回复力与能量
重难点
2
会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律.
1
理解回复力的概念，理解简谐运动的动力学特征.
重点
物体的运动跟它的受力有关，那么简谐运动的受力有何特点呢？
运动 受力特点 受力情况 与速度的方向关系
匀速直线运动 匀变速直线运动
曲线运动
（类）平抛运动
匀速圆周运动
简谐运动
F合的方向与速度在一条直线上
F合的方向与速度方向有一夹角
F合的方向与速度方向始终垂直
F合的方向与速度方向始终垂直
？
？
简谐运动的回复力
如图所示为水平方向的弹簧振子模型.小球原来静止在O点，现在用力将它压至A点，松手释放后，小球便在A、B之间往复运动.
观察与思考
(1)小球为什么会做往复运动？
小球偏离平衡位置向一侧运动时，弹簧的弹力使小球的运动速度逐渐减小直到减为0，然后在弹力的作用下运动速度又逐渐增大并回到平衡位置.由于惯性，到达平衡位置后小球会继续向另一侧运动.
(2)使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
B
C
D
A
x
x
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反，总是指向平衡位置.
F回=-kx
P
小球偏离平衡位置的位移大小为x时
弹簧弹力的大小：F=kx k：弹簧的劲度系数
弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反，总是指向平衡位置.
(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力.
(2)方向：总是与位移x的方向相反，即总是指向平衡位置.
(3)表达式：F＝－kx.
①对一般的简谐运动，回复力不一定是弹簧的弹力，所以k不一定是劲度系数而是回复力与位移的比例系数.其值由振动系统决定，与振幅无关.
②“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反.
1.简谐运动的回复力
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动.
2.简谐运动的动力学定义
即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。
1.怎样判断一个物体是否在做简谐运动？
思考与讨论
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图像是正弦曲线.
2.回复力是性质力还是效果力？
回复力是指使振动的物体回到平衡位置的力，是根据力的作用效果来命名的，和向心力一样，是效果力，它是由性质力来充当的，一定等于振动物体在振动方向上所受的合力.可能由合力、某个力或某个力的分力提供.所以在进行受力分析时，不能加上回复力.
3.简谐运动的加速度有什么特点？
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝ ，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反.
4.（1）在劲度系数为k，原长为L0的固定于一点的弹簧下端挂一质量为m的小物块，释放后小物块做上下振动，此时弹簧没有超出弹性限度，小木块的振动是简谐运动吗？如果是，什么力充当回复力？
振子在c点受到的弹力为:
振子在c点受的回复力：
回复力满足F＝－kx，是简谐运动
弹簧弹力和重力的合力充当回复力
偏离平衡位置的位移
平衡位置b:
原长
静止位置
a
b
c
规定向下为正方向
5.(课本第45页第1题改编)把图中倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开.假设空气阻力可忽略不计，试证明小球的运动是简谐运动.什么力充当回复力？
①平衡位置O：小球静止时，受到重力、弹簧的拉力和斜面的支持力，沿斜面方向，弹簧拉力与重力的分力平衡：F0＝kx0＝mgsin θ
O
原长
③取沿斜面向下为正方向
弹簧弹力与重力分力的合力充当回复力！
O
原长
②弹簧拉长至距离平衡位置x处时的弹力：F＝k(x＋x0)
④小球沿斜面方向所受的合外力：
F′＝－F＋mgsin θ＝－k(x＋x0)＋kx0＝－kx，小球的运动是简谐运动.
判断物体的振动是否为简谐运动的方法
(1)确定平衡位置；
(2)让质点沿振动方向偏离平衡位置的位移为x；
(3)对物体进行受力分析；
(4)规定正方向，求出指向平衡位置的合力(回复力)，判断是否符合F＝－kx.
归纳总结
1.关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是
A.简谐运动的回复力是恒力
B.简谐运动公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
C.做简谐运动的物体沿振动方向的加速度方向与位移方向总是相反
D.做简谐运动的物体每次经过平衡位置时合力一定为零
√
根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，受到的回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，x不断变化，回复力不是恒力，故A、B错误；
回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体沿振动方向的加速度方向与位移方向总是相反，故C正确；
做简谐运动的物体经过平衡位置时回复力为0，合力不一定为0，故D错误.
2.(2022·天津四十三中高二期中)如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与水平弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间始终无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于
√
3.(多选)如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态.现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力).设向右为正方向，物体相对O点的位移为x，则下列判断正确的是
A.物体做简谐运动，OC＝OB
B.物体做简谐运动，OC≠OB
C.物体所受合力F＝－kx
D.物体所受合力F＝－3kx
√
√
当物体相对O点的位移为x时，则物体所受的合力F＝－k1x－k2x＝－(k2＋k1)x＝－3kx，D正确，C错误；
由表达式可知物体做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，A正确，B错误.
简谐运动的能量
如图所示为水平方向的弹簧振子，振子在A、B之间往复运动.
观察与思考
(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧的弹性势能如何变化？振动系统的机械能是否变化？
振子的动能先增大后减小；弹簧的弹性势能先减小后增大；机械能保持不变.
A→O：弹性势能转化为动能 O→B：动能转化为弹性势能
(2)如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？
(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损耗？
振子回到平衡位置的动能增大；振动系统的机械能增大.振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关.
实际的振动系统有能量损耗；理想化的弹簧振动系统没有能量损耗.
1.简谐运动的能量：简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和.
2.能量转化：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程.
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零.
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小.
简谐运动的能量
3.能量特点：(1)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒.
(2)忽略了运动过程中的能量损耗，因而简谐运动是一种理想化模型.
机械能
势能
动能
4.决定能量大小的因素：振动系统的机械能与振幅有关，振幅越大，机械能就越大，振动越强.
小球在A、B间做简谐运动，根据简谐运动中各物理量变化的特点，填写表格
思考与讨论
A A→O O O→B B
x
v
F、a
向左、最大 向左减小 0 向右增大 向右、最大
0 向右增大 向右最大 向右减小 0
向右、最大 向右减小 0 向左增大 向左、最大
动能 势能
总机 械能 动能为0、势能最大 动能增大、势能减小 动能最大、势能为0 动能减小、势能增大 动能为
0、势能
最大
从平衡位置开始计时，取向右为正方向，如图为简谐运动中各物理量随时间变化的图像
O
t
x
1.位移
O
t
F
2.回复力
O
t
a
3.加速度
O
t
v
4.速度
O
t
Ek
5.动能
O
t
EP
6.势能
T
T
T
T
T
T
归纳总结
4.(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻小球不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，小球的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，t2－t1< ，如图所示，则
A.t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小
相等、方向相反
B.在t1～t2时间内，小球的加速度先减小后增大
C.在t1～t2时间内，小球的动能先增大后减小
D.在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大
√
√
√
由题图可知t1、t2时刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正确；
在t1～t2时间内回复力先减小后增大，所以小球的加速度先减小后增大，B正确；
在t1～t2时间内，小球的速度先增大后减小，
所以动能先增大后减小，C正确；
简谐运动的机械能守恒，D错误.
5.(课本第45页第4题)如图为某物体做简谐运动的图像，在0～1.5 s范围内回答下列问题.
(1)哪些时刻物体的回复力与0.4 s时的回复力相同？
(2)哪些时刻物体的速度与0.4 s时的速度相同？
0.6s、1.2s、1.4s
0.2s、1.0s、1.2s
(3)哪些时刻的动能与0.4 s时的动能相同？
(4)哪段时间的加速度在减小？
(5)哪段时间的势能在增大？
0、0.2s、0.6s、0.8s、1.0s、1.2s、1.4s
0.1~0.3s、0.5~0.7s、0.9~1.1s、1.3~1.5s
0~0.1s、0.3~0.5s、0.7~0.9s、1.1~1.3s
目标一：简谐运动的回复力
简谐运动的描述
目标二：简谐运动的能量
方向：指向平衡位置
简谐运动的动力学定义：回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动
表达式：F ＝－kx
能量转化：弹簧振子的运动过程实际上是动能和弹性势能的相互转化
简谐运动是理想化模型
能量特点：机械能守恒

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