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第16讲 还原问题
专题概述
一个数量经过若干次变化成了另一种结果，我们从结果出发根据每一次变化情况，一步步地倒着想，把结果还原成开始状态，这类问题叫还原问题，又叫逆运算问题。
对于简单的、每一次变化不太复杂的还原问题，可直接列式一步步倒着推算；对于变化较复杂的，可借助列表和画图来帮助解决问题。
采取的方法：
倒推法(还原法)：解决问题时，从题中所给的最后结果出发，利用已知条件一步步倒着推理，直到解决问题，这种思考方法叫作倒推法，也叫还原法。
还原原则：
简单问题的还原法则：乘法用除法还原，除法用乘法还原，原来是乘以(或除以)几，还原时就除以(或乘以)几；加法用减法还原，减法用加法还原，原来是加上(或减去)几，还原时就减去(或加上)几。
复杂问题的还原原则：对于比较复杂的还原问题，通常需要借助画图或表格倒推，便于厘清每一步的数量关系，还可以利用表格进行验算。
我们一般会遇到以下类型的问题：
(1)利用倒推法，进行计算、填空；
(2)利用倒推法解决相关的应用题。
典型例题1
一个数减24加上15，再乘以8得432，求这个数。
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分析 我们可以从最后结果432出发倒着推理。如图所示：
解 432÷8-15+24=63
思维训练1
1. 某数加上3，乘以5，再减去8，等于12。求某数。
2. 某数加2,乘5,再减3得 27。这个数是几
典型例题2
小马虎在做一道加法题目时，把个位上的1看成了7，十位上的9看成了4，结果得到的和是148。问正确的结果应是多少
分析 小马虎把个位上的1看成了7，所以多加了6，又把十位上的9看成了4，所以少加了50，所以本题可归结为“正确的答案+6-50后得148”。
解 148+50-6=192
答：正确的结果应是192。
思维训练2
1.小明在做一道加法计算题时，把个位上的4看成7，十位上的8看成2，结果和是306。正确的答案应该是多少
2.小英在做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111。问：正确答案是几
典型例题3
工人们修一段路，第一天修的公路比全长的一半还多1千米，第二天修的比余下的一半还少3千米，还剩15 千米没有修。问公路的全长是多少千米
分析 从“第二天修的比余下的一半还少3千米，还剩15千米没有修”向前倒推，剩下的15千米去掉3 千米，得到的15—3=12(千米)正好等于第一天修后余下的一半，则第一天修后余下的是12×2=24(千米)。再从“第一天修的公路比全长的一半还多1千米”向前倒推，第一天修后余下的24千米加上1千米，得到的24+1=25(千米)正好是公路全长的一半，那么，公路的全长是25×2=50(千米)。
解 第一天修后余下的一半的长度为 (千米)
第一天修后余下的部分为 12×2=24(千米)
全长的一半为 24+1=25(千米)
公路全长为 25×2=50(千米)
综合算式为 [(15-3)×2+1]×2
=(24+1)×2
=50(千米)
答：公路的全长是50千米。
思维训练3
1.一捆电线，第一次用去了全长的一半多3米，第二次用去余下的一半多5米，还剩下 7米。这捆电线原来长多少米
2.仓库里有一批大米，第一天售出的质量比总数的一半多12吨，第二天售出的质量比剩下的一半多12吨，结果还剩下12吨。问这个仓库原有大米多少吨
典型例题4
李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。李奶奶原来有多少个鸡蛋
分析 根据题意，可知最后剩下的65个鸡蛋加上10个正好是余下的一半，余下的一半为65+10=75(个),那么上午卖出后共剩下鸡蛋75×2=150(个),150个鸡蛋再加上10个就是总数的一半,所以总数的一半为150+10=160(个),所以李奶奶原有160×2=320(个)鸡蛋。
解 [(65+10)×2+10]×2=320(个)
答：李奶奶原来有320个鸡蛋。
思维训练4
1.竹篮内有若干个李子，取它的一半又一个给第一人，再取余下的一半又两个给第二人，剩下的李子平均分给余下的两个人，每人3个。竹篮内原有李子多少个
2.兄弟俩争着挑26块砖，弟弟抢着装了一些，哥哥看弟弟挑得太多，就抢去一半，弟弟不服，哥哥就还给弟弟5块，这时两人一样多。问弟弟最初准备挑多少块
典型例题5
树林里放着一堆苹果，有50个小朋友轮流从苹果堆里取苹果，取的规则是：每次都要拿出这堆苹果总数的一半，然后再放回一个，直到所有的小朋友都取过为止，地上还剩两个苹果，问地上原有多少个苹果
分析 最后的结果是最后一个小朋友取过后，再放回一个，地上还剩下两个苹果，从最后结果往前逐步推理。
由(2—1)×2=2可以推出最后一个小朋友取苹果之前地上就只有2个苹果，同理可以推出，倒数第二个小朋友取苹果之前地上也是2个苹果；倒数第三个小朋友取苹果之前地上也是2个苹果……即每个小朋友取苹果之前地上都是2个苹果，所以第一个小朋友取之前，地上原有苹果就是2个。
解 (2-1)×2=2(个)
答：地上原有2个苹果。
思维训练5
1.有一篮鸡蛋，第一次取出一半多2个，第二次取出余下的一半多2个，第三次取出8个，篮里还剩下2个鸡蛋。原来篮里有多少个鸡蛋
2.耕一块地，第一天耕的比整块地的一半少5公顷，第二天耕的比余下的一半多2公顷，第三天耕了20公顷后还剩下 5公顷。问这块地有多少公顷
竞赛强化
1. 某数加2,乘5,再减3得27。这个数是 。
2.某数加上2，乘以5，再减去8，等于12。这个数是 。
3.某数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8，这个数是 。
4.一个数经过自加、自减、自乘、自除得到的四个数之和是 100，这个数是 。
5.有一个数乘以6，除以4，减去5，加上4，等于8，这个数是 。
6. 一个数减去15后，除以3，再加上6，得27，这个数是 。
7. 一个数的4倍，减去100，再除以4，等于5，这个数是 。
8.一个数减去8，加上10，再除以7，最后乘以4，得56。这个数是 。
9.一根铁丝，第一次用去全长的一半，第二次用去剩下的一半，这时还剩下4分米。这根铁丝原来长 分米。
10.一筐苹果第一次卖出全部的一半少2 千克，第二次卖出余下的一半多3千克，还剩下4千克。这筐苹果原来有 千克。
11.小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘上3，恰好是30岁，”问王老师今年多少岁
12.两棵树上共有麻雀28只，从第一棵树上飞走一半到第二棵树上，又从第二棵树上飞走 3只到第一棵树上，这时第二棵上比第一棵上多6只。问最初第一棵树上有多少只麻雀
13.书架上分上、中、下三层，共放了192 本书，现从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后，从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这时三层书架所放的书本数相等，这个书架上、中、下各层原来各有多少本书
14.甲、乙、丙三个油桶各盛油若干千克。第一次把甲桶的一部分油倒入乙、丙两桶，使乙、丙两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次把乙桶的一部分油倒入甲、丙两桶，使甲、丙两桶内的油分别增加到原来的2倍；第三次把丙桶的一部分油倒入甲、乙两桶，使甲、乙两桶内的油分别增加到原来的2倍，这时各桶的油都为16千克。问甲、乙、丙三个油桶原来各有多少千克油
小明设计一台计算器，只有一个功能键，按第一次减19，按第二次加 17，按第三次又是减19，第四次又是加17……现在，输入一个数是2003，请你连续地按功能键，至少按到第几次后，计算器显示得数是0
思维训练1
1. (12+8)÷5-3=1
2. (27+3)÷5-2=4
思维训练2
1.把个位上的4看成了7，所以多加了3，又把十位上的 8看成了 2，所以少加了 60。正确答案应是 306+60-3=363。
2.把减数个位上的1看成7，所得结果多减了6，把减数十位上的7看成1，所得结果少减了 60。正确答案应是 111—60+6=57。
思维训练3
1.解：设全长是x 米。第一次用了 米，还剩下 (米)。第二次用了 (米),还剩下 米。得方程 解得x=54。
答：这捆电线原来长54米。
2. 解:[(12+12)×2+12]×2=120(吨)
答：这个仓库原有大米120吨。
思维训练4
1. 解:第二人分后,还剩下 3×2=6(个),第一人分后,还剩下(6+2)×2=16(个),所以,原有(16+1)×2=34(个)。
答：竹篮内原有李子34个。
2. 13-5=8(块),8×2=16(块)
答：弟弟最初准备挑 16块砖。
思维训练5
1.解：第一次取出后还剩下 =24(个),所以原来有 52(个)。
答：原来篮里有52个鸡蛋。
2.解：设这块地有x公顷。
x=98
答：这块地有98公顷。
竞赛强化
1. 4 2. 2 3. 1 4. 9 5. 6 6. 787. 30 8. 96 9. 16 10. 24
11. 解:(30÷3+2)×4-9
=(10+2)×4-9
=12×4-9
=48-9
=39(岁)
答：王老师今年39岁。
12. 解:(28—6)÷2=11(只),11—3=8(只),8×2=16(只)
答：最初第一棵树上有16 只麻雀。
13. 解:最后上、中、下层各有 192÷3=64(本)。最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这时三层本数相同了，那么说明，下层给上层64÷2=32(本);下层未给上层时有 64+32=96(本),则下层原来有96÷2=48(本);中层未给下层时有 192—32—48—112(本),那么中层原来有112÷2=56(本);上层原来有192—48—56—88(本)。
答：这个书架上、中、下层原来各有88本、56本、48本书。
14.解：用倒推法：从最后结果倒推，也可以通过列表解题。
解法一：从最后结果倒推解题：甲 16千克,乙 16 千克,丙 16千克。丙给甲、乙前:甲16÷2=8(千克),乙 16÷2=8(千克),丙16+8×2=32(千克);乙给甲、丙前:甲8÷2=4(千克),乙:8+4+16=28(千克),丙32÷2=16(千克);甲给乙、丙前:甲4+14+8=26(千克),乙:28÷2=14(千克),丙:16÷2=8(千克)解法二：通过列表解题：用“倒推法”列出下表。从表中可以看出：原来甲油桶有油26千克，乙油桶有油 14 千克，丙油桶有油8千克。
甲油桶 乙油桶 丙油桶
第三次倒油以后 16千克 16千克 16千克
第二次倒油以后 8千克 8千克 32千克
第一次倒油以后 4 千克 28千克 16千克
末倒油时 26千克 14千克 8千克
答：甲油桶原来有26千克油，乙油桶原来有14千克油，丙油桶原来有8千克油。
15. 解:(2003—19)÷(19—17)
=1984÷2
=992
992×2+1=1985(次)
答：至少按到第 1985 次后，计算器显示得数是0。

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