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第23讲 奇数与偶数
专题概述
我们所学过的整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2整除的数叫作偶数，不能被2整除的数叫作奇数。通常偶数可以用2k(k为整数)表示，奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。
特别注意：(1)因为0能被2整除，所以0是偶数。
(2)如果一个整数不是偶数，那么它一定是奇数。
奇偶性：一个整数是偶数还是奇数，是这个整数自身的一种性质。这种性质，叫作奇偶性。
常见的性质：
性质1 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。
性质 2 相邻的两个自然数总是一奇一偶。
性质3 有趣的运算规律：
奇数±奇数=偶数
偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数
偶数±奇数=奇数
奇数×奇数=奇数
奇数×偶数=偶数
偶数×偶数=偶数
奇数不可能被偶数整除
两个实用的推论：
推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意两个整数a，b，a+b与a-b同奇或同偶。
我们一般会遇到以下类型的问题：
(1)利用奇偶性质，对计算结果的奇偶性进行判断；
(2)利用奇偶性质，对式子的运算符号进行填空。
典型例题1
1+2+3+…+1993的和是奇数还是偶数
分析 1~1993 共1993个连续自然数，其中997 个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数。
解 奇数
思维训练1
1. 1+2+3+4+5+6+7+…+99+100+99+98+97+96+…+7+6+5+4+3+2+1的和是奇数还是偶数 为什么
2. 29+30+31+…+87+88的得数是奇数还是偶数
典型例题2
(200+201+202+…+288)-(151+152+153+…+233)|的得数是奇数还是偶数
分析 200至288共89个数,其中偶数比奇数多 1,44 个奇数的和是偶数;151 至233 共83个数，奇数比偶数多1，42个奇数的和为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。
解 偶数
思维训练2
1. 1+2×3+4×5+6×7+…+98×99的计算结果是奇数还是偶数,为什么
在20到80中所有3的倍数的和是奇数还是偶数
典型例题3
能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立 若能，请填入符号；不能，请说明理由。
(1)1□2□3□4□5□6□7□8□9=10
(2)1□2□3□4□5□6□7□8□9=27
解 (1)不能，因为原式有5个奇数，经加、减运算后结果一定是奇数。本题是一道典型的根据奇偶性质先定性分析后定量计算的题目。
(2)可以。 1+2+3+4+5+6+7+8-9=27或1-2-3-4+5+6+7+8+9=27。
思维训练3
1.已知三个数甲、乙、丙的和是偶数，并且甲一乙=5，那么甲、乙、丙的奇偶性为( )。
A.三个都是奇数 B.两个奇数一个偶数
C.一个奇数两个偶数 D.三个都是偶数
2.能否在下面的( )内填入加号或减号，使得等式成立 为什么
3( )2( )5( )4( )7( )6( )9( )8( )11=12。
典型例题4
是否存在自然数a和b,使得ab(a+b)=115
分析 此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即两个自然数在奇偶性的 组合上只有3种情况，“2奇0偶，1奇1偶，0奇2偶”，可以分别讨论，发现均不成立。
解 不存在。
思维训练4
1. 是否存在自然数a,b,c,使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327
已知a,b,c中有一个是511,一个是622,一个是793。求证:( 是一个偶数。
典型例题5
一个图书馆分东、西两个阅览室。东阅览室里每张桌子上有2盏灯，西阅览室里每张桌子上有3盏灯。现在知道两个阅览室里总的桌子数和灯数都是奇数。问：哪个阅览室的桌子数是奇数
分析 根据两个阅览室里总的桌子数和灯数都是奇数，想一想可以确定哪个阅览室桌子数、灯数的奇偶性呢 由于东阅览室里每张桌子上有2盏灯，因此东阅览室的灯的总数一定是偶数。由于两个阅览室里灯的总数是奇数，因此西阅览室的灯的总数一定是奇数。又因为西阅览室里每张桌子上有3盏灯，所以西阅览室的桌子数是奇数。由于两个阅览室里的总的桌子数是奇数，因此东阅览室的桌子数是偶数。所以，只有西阅览室的桌子数是奇数。
思维训练5
1.试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于 1999。如果找得出来，请写出这两个数；如果找不出来，请说明理由。
2.师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：78只，94只，86只，87只，82只，80只。根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗
竞赛强化
1.任意相邻两个自然数的乘积是 。(填“偶数”或“奇数”)
2. 如果用n 表示一个自然数,那么n(n+1)是 。(填“偶数”或“奇数”)
3. 已知117+52+289+13+a=2009,a 是 。(填“偶数”或“奇数”)
4. 已知3×5×a×b×c=23565,则自然数b是 。(填“偶数”或“奇数”)
5.三个连续偶数的和是240，这三个偶数是 ， ， 。
6. 100个奇数之和和100个偶数之和的差是 。(填“偶数”或“奇数”)
7. 1+2+3+4+…+2012+2013的结果是 。(填“偶数”或“奇数”)
8. 如果n是奇数,那么n-5和n+10分别是 和 。(填“偶数”或“奇数”)
9.某自然数分别与两个相邻自然数相乘，所得积相差500，这个数是 。
10. 算式1×2+3×4+5×6+……+99×100的得数是 。(填“偶数”或“奇数”)
11. 东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038=13×75+64，他做得对吗
12.a，b，c 三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数
13.1~2018这2018个自然数中，所有的奇数之和与所有的偶数之和的差是多少
14. 一列数:1,2,3,6,11,20,37,68,125,…,从第4个数开始,每个数都是前三个数的和。那么在前2008个数中，有多少个奇数
用1，2，3，4，5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。问：乘积中是偶数多还是奇数多
第 23 讲 奇数与偶数
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思维训练1
1. 在算式中,1~99都出现了2 次,所以1+2+3+4+5+6+7+…+99+99+98+97+96+…+7+6+5+4+3+2+1是偶数,而 100 也是偶数,所以1+2+3+4+5+6+7+…+99+100+99+98+97+96+…+7+6+5+4+3+2+1的和是偶数。
2.偶数。提示：原式中共有 60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有 30个奇数，所以其和为偶数。
思维训练2
1.在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数×偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有 1 是奇数，又因为奇数+偶数=奇数，所以这道题的计算结果是奇数。
2. 只要列举出在20到80中所有 3的倍数，然后根据加减运算中奇偶性的规律判断和的奇偶性即可。
在20到80中，所有3的倍数按从小到大依次可以写成21,24,27,…,75,78。其中奇数是21,27,33,…,69,75。这些奇数的总个数为(75—21)÷6+1=10。10个奇数的和应该是偶数，因此在 20 到80中所有 3的倍数的和是偶数。
思维训练3
1. B。提示：根据“奇数±偶数=奇数”或“偶数±奇数=奇数”可知，甲和乙是一奇一偶，则甲+乙=奇数，而甲、乙、丙三个数的和是偶数，所以丙一定是奇数。
2.根据加减运算中奇偶性的规律可知，左边运算结果的奇偶性与所填加号、减号无关，只与运算过程中有多少个奇数有关，由此不难得出结论。
其中共有5个奇数，所以不管左边怎样填加号、减号，它都是一个共有奇数个奇数参加运算的加减算式，根据前面的运算规律可知，运算结果必是奇数，不可能等于偶数12，所以不可能填入适当的加减号使等式成立。
思维训练4
1.不存在。可以分情况来讨论：3奇0偶，2奇1偶，1 奇2偶，0奇3偶，但是比较烦琐。可以根据45327是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以a—b、b—c、a—c 都为奇数，再根据奇偶性进行判断。
2. 因为在a,b,c 中有2个是奇数,1个是偶数，那么说明a，c两个数中至少有一个是奇数，那么(a一1)和(c-3)中至少有一个是偶数,所以(a—1)(b—2)(c—3)中至少有一个因数是偶数，结果为偶数。
思维训练5
1.设大数和小数分别为a，b，因为两个数的和a+b与两个数的差a-b的奇偶性相同,所以(a+b)+(a-b)的和是偶数,再加1000还是偶数，所以它们的和不可能等于奇数1999。所以找不出来这样的两个整数。
2.注意到所给出的6个数只有一个为奇数，它肯定是徒弟制造的。原因是师傅的产量是徒弟的2倍，一定是偶数，它是 4 只箩筐中产品数的和，在题目条件下只能为四个偶数的和。徒弟的另一筐产品可以利用求解“和倍问题”的方法来得出。徒弟加工的零件总数为(78+94+86+87+82+80)÷(2+1)=169,那么另一筐放有产品169—87—82(只)。所以,标明“82只”和“87 只”这两筐中的产品是徒弟制造的。
竞赛强化
1.偶数。提示：奇数×偶数=偶数
2. 偶数 3. 偶数 4. 奇数 5. 78,80,82
6.偶数 7.奇数 8.偶数,奇数
9.250。提示：任意一个数n 与相邻两个自然数的乘积相差 2n,2n = 500,所以n=250。
10. 偶数
11. 解:等式左边是偶数。13×75 是奇数,64是偶数，根据奇数+偶数=奇数，则等式右边是奇数。偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的。
12.解：根据题目内容，可以列出所要讨论的式子为a+b+c+abc。则接下来可以分类讨论3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶这四种情况。经验证如果要满足上式结果为奇数，那么最多只能有 1个奇数。
13. 解:2018-2017+2016-2015+…+4-3+2-1
=1+1+1+…+1(可以看出有 1009个1)
=1009
14.这列数据按奇偶奇偶奇偶奇偶……排列,2008÷2=1004(个),所以在前 2008个数中,有 1004 个奇数。
15. 在1,2,3,4,5中2,4为偶数。因为奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数，因此乘积中偶数就多。2,4,6,8,10,12,20都为偶数;3,5,15为奇数。

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