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4
第二章
单摆
重难点
2
知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式.
1
知道单摆的概念和单摆振动时回复力的来源.
重点
判天地之美，析万物之理 —庄子
单摆及其回复力
荡起的秋千、摆动的钟摆、晃动的风铃、海盗船等，它们在竖直平面内平衡位置附近的往复运动是不是简谐运动呢？
(一)单摆
(1)定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆.
(2)单摆是实际摆的理想化模型.
1.实际摆可以看成单摆需要满足哪些条件？
(1)形变要求：摆线的形变量与摆线长度相比可以忽略.
(2)质量要求：细线的质量与小球相比可以忽略.
(3)长度要求：小球的直径与线的长度相比可以忽略.
(4)受力要求：空气阻力与摆球的重力及细线的拉力相比可以忽略.
尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线
2.结合单摆模型的特点想一想，下列装置能否视为单摆，为什么？
都不能.(1)中橡皮筋的伸缩不能忽略；
(2)(3)中乒乓球和大木球摆动时，空气阻力不能忽略；
(3)中大木球的直径与线的长度相比也不能忽略.
如图，是单摆运动的频闪照片，摆球在最低点两侧做往复运动，它的运动是机械振动，那么单摆的运动是不是简谐运动？用什么方法探究单摆的振动是否为简谐运动？
①单摆的回复力与位移是否成正比并且方向相反，即：F=-kx；
②分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系：x＝Asin(ωt＋φ)
t
B
A
O
x
切向（回复力）:
径向（向心力）:
方法一：从单摆的受力特征判断
如图，单摆摆长为l、摆球质量为m.将摆球拉离平衡位置O后释放，摆球沿圆弧做往复运动.当摆球沿圆弧运动到某一位置P时，摆线与竖直方向的夹角为θ(θ很小).
平衡位置：最低点O
O
O'

mg
T
P
在摆角小于5度的条件下：sinθ≈θ（弧度值）

x
结论：当摆角很小时，单摆在竖直面内的摆动可看作是简谐运动.
当θ很小时()
sinθ≈θ
x≈弧长=l ·θ
mgsin mg x
x k x
位移方向与回复力方向相反
方法二：从单摆的振动图象（x-t图像）判断
细线下悬挂一个漏斗，漏斗内装满沙子。当漏斗摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察呈现在木板上的沙子图样。
(二)单摆的回复力
(1)来源：摆球的重力沿圆弧切线方向(填“切线方向”或“法线方向”)的分力提供回复力.
(2)规律：在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，即F＝ .从回复力特点可以判断单摆做简谐运动.
(1)单摆的运动一定是简谐运动吗？
单摆的运动不一定是简谐运动，只有在摆角较小的情况下才能看成简谐运动，理论上一般摆角不超过5° .
单摆的回复力不是摆球所受的合外力.单摆的运动可看成变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力提供使摆球沿圆弧振动的回复力.
(2)单摆做简谐运动的回复力就是单摆所受的合力吗？
(3)摆球运动到最低点O(平衡位置)时回复力是否为零？合力是否为零？

O
FT
G
1.下列有关单摆摆球在运动过程中受力的说法，正确的是
A.单摆做简谐运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B.单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
C.单摆经过平衡位置时所受合力为零
D.单摆做简谐运动的回复力是摆线拉力的一个分力
√
单摆运动时是在一段圆弧上，因此单摆运动过程中不仅有回复力，而且有向心力，即单摆所受的合力不仅要提供回复力，还要提供向心力，选项A错误；
单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的一个分力，选项B正确，D错误；
单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合力不为零，选项C错误.
2.(2022·青岛一中月考)图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，
则在摆动过程中
A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用
B.摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零
C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
√
摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；
摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误.
3.(多选)如图所示为一单摆的振动图像，则
A.t1和t3时刻摆线的拉力等大
B.t2和t3时刻摆球速度相等
C.t3时刻摆球速度正在减小
D.t4时刻摆线的拉力正在减小
√
√
由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，故摆线拉力大小相等，故A正确；
t2时刻摆球在负的最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t2和t3时刻摆球速度不相等，故B错误；
t3时刻摆球正衡位置，速度正在增大，故C错误；
t4时刻摆球正远离平衡位置，速度正在减小，摆线拉力也减小，故D正确.
单摆的周期
一条短绳系一个小球，它的振动周期较短。
悬绳较长的秋千，周期较长。
秒摆：用大约1 m长的细线栓着小钢球，它的周期大约为2 s ;
傅科摆：摆长大约67 m的傅科摆，它的周期约为16.43 s
傅科摆
不同的单摆周期不同，那么单摆的周期与哪些因素有关？
应该采用什么实验方法进行研究？
摆长l、摆球质量m、振幅A
探究方法：控制变量法，
研究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响。
现象和结论：两摆同步摆动，说明周期与振幅无关，即摆长和质量相同，振幅不同，周期相同。
单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质。
实验一：将摆长相同、质量相同的摆球拉到不同高度（即振幅不同，都在小偏角下）自由释放，观察两摆的摆动情况。
定性研究影响单摆周期的因素
超链接：科学趣话
实验二：将摆长相同、质量不同摆球拉到同一高度（振幅相同）自由释放，观察两摆的摆动情况 。
现象和结论：两摆同步摆动，说明周期与质量无关，
即：摆长和振幅相同，质量不同，周期相同。
实验三：将摆长不同、质量相同摆球拉到同一高度（振幅相同）自由释放，观察两摆的摆动情况。
现象和结论：两摆不同步摆动，说明周期与摆长有关，
即：振幅和质量相同，摆长不同，周期不同，摆长越长，周期越大。
实验结论：单摆做简谐运动的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大；单摆的周期与摆球质量和振幅无关。
荷兰物理学家惠更斯（1629-1695）通过实验进一步得到：单摆做简谐运动的周期 T 与摆长 l 的二次方根成正比，与重力加速度 g 的二次方根成反比。
单摆的周期
单摆偏角很小时成立(偏角小于5°).
1.单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，与振幅无关(填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(填“越大”“越小”或“不变”).
2.单摆的周期公式T＝ .
3.首先得出单摆周期公式的科学家是惠更斯.
单摆的摆长l等于悬线的长度吗？
对于实际的单摆，摆长l指悬点到摆球球心的距离
4.如图所示单摆的周期为T，则下列说法正确的是
A.把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆
的周期变小
B.把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变小
C.将此单摆从地球赤道移到两极上，其他条件不变，则单摆的周期将变小
D.将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T
√
5.(多选)(2022·白城市洮南十中月考)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单
摆摆长之比是9∶4
B.甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C.甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在
地点的重力加速度之比为9∶4
√
√
√
摆长相同，则g甲∶g乙＝T乙2∶T甲2，即甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4，故D正确.
6.(课本第50页第2题)周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，已知月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，它在月球上做50次全振动要用多长时间？
答案　摆长约为1 m，50次全振动约250 s.
则它在月球上做50次全振动的时间为50×5 s＝250 s.
简谐运动的描述
目标一：单摆及其回复力
1.单摆是理想化模型
2.回复力
目标二：单摆的周期：
T = 2π
来源：重力沿切线方向的分力
表达式：
伽利略18岁时，到教堂做礼拜，他发现吊灯
摆动的幅度在慢慢地在变小，但摆动一次所
用时间却没有变化，他用自己的脉搏的跳动
次数来测算，终于肯定了吊灯摆动周期与摆
动的幅度无关.
后来，他利用单摆摆动的等时性规律制成了一个 “脉搏计”，帮助判断病人患病的情况.
科学趣话：伽利略发现单摆的等时性
惠更斯于1656年发明了世界上第一个用摆的等时性来计时的时钟。（1657年获得专利权）
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