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2024 年秋季高一入学分班考试模拟卷
数学 全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．已知U = {x∈Z 3 ≤ x ≤ 3}， A = { 3, 2,1}，B = {0,1,2}，则 U (A∪ B) =（ ）
A．{ 1,0,1} B．{ 1,1,3} C．{ 1,3} D．{ 1,0,1,3}
【答案】C
【解析】由U = {x∈Z 3 ≤ x ≤ 3} = { 3, 2, 1,0,1,2,3}，
A B = { 3, 2,1} {0,1,2} = { 3, 2,0,1,2} ,
所以 U (A B) = { 1,3}.故选：C.
2 x．函数 y = 的定义域为（ ）
x 1
A．{x x ≠1} B．{x | x ≥ 0且 x ≠1} C．{x x ≥ 0} D．{x x 0且 x ≠1}
【答案】B
x ≥ 0
【解析】由题意可得： ，解得 x ≥ 0 且 x ≠1，
x 1≠ 0
x
所以函数 y = 的定义域为{x | x ≥ 0且 x ≠1} .故选：B.
x 1
3．命题 x >1， x2 m >1的否定是（ ）
A． x >1， x2 m ≤1 B． x ≤1， x2 m ≤1
C． x >1， x2 m ≤1 D． x ≤1， x2 m ≤1
【答案】A
【解析】全称存在命题的否定是存在量词命题，并且否定结论，
所以命题 x >1， x2 m >1的否定是 x >1， x2 m ≤1.故选：A
4 2．给出下列 6 个关系：① ∈R，② 3∈Z ，③0 N ，④ 4∈N，⑤ π Q，⑥ 2 Z .其中正确命题
2
的个数为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】B
2 2
【解析】对于①，因为 为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以 ∈R，所以①正确；
2 2
对于②，因为 3是无理数，所以 3 Z ，所以②错误；
对于③，因为 0不是正整数，所以0 N ，所以③正确；
对于④，因为 4 = 2∈N，所以④正确；
对于⑤，因为 π是无理数，所以 π Q，所以⑤正确；
对于⑥，因为 2 = 2∈Z，所以⑥错误.故选：B.
5．已知a、b、c∈R ，则“ a = b ”是“ ac2 = bc2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若a = b，则ac2 = bc2 ，即充分性成立；
若 ac2 = bc2 ，例如a =1,b = 1,c = 0，可得 ac2 = bc2 = 0，满足题意，
但 a b ，即必要性不成立；
综上所述：“ a = b ”是“ ac2 = bc2 ”的充分不必要条件.故选：A.
1
6．已知函数 f (x)
, x > 0
= x ，则 f ( f (1)) =（ ）
3 x , x ≤ 0
A．0 B．1 C．2 D． 1
【答案】D
【解析】 f (1)
1
= = 1，∴ f ( f (1)) = f ( 1) = 1．故答案为：D.
1
7．已知 x > 3，则 x
9
+ 的最小值为（ ）
x + 3
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
x 3 x + 3 > 0 x 9 x 3 9 9【解析】由 > ，则 ，故 + = + + 3 ≥ 2 (x + 3) 3 = 3，
x + 3 x + 3 x + 3
当且仅当 x = 0时，等号成立.故选：D.
8 f (x) 1 x
2
．设函数 = 2 ，则有（ ） x +1
A． f (x) 1 1 是奇函数， f = f (x) B． f (x)是奇函数， f = f (x)
x x
C f (x) f 1 = f (x) 1 D f (x) f ． 是偶函数， ． 是偶函数，x x = f (x)
【答案】C
2
【解析】因为函数表达式为 f (x) 1 x= 2 ，定义域为R ， x +1
1 ( x)2 1 x2
所以 f ( x) = 2 = 2 = f (x)，所以 f (x)为偶函数； ( x) +1 x +1
1 1
2

f 1

x x2 1
又 = 2 = 2 = f (x)，所以 C 正确.故选：C x 1 x +1
+1
x
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．以下元素的全体能够构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流
C．方程 x2 1 0的实数解 D．周长为 10cm 的三角形
【答案】ACD
【解析】首先互异性是保证的，其次考虑确定性：
中国古代四大发明是确定的，能构成集合，
地球上的小河流的标准不确定，即一条河流没有标准判断它是不是小河流，不能构成集合，
方程 x2 1 0的实数解只有两个 1 和 1，能构成集合，
周长为 10cm 的三角形是确定，三角形的周长要么等于 10cm，
要么不等于 10cm，是确定的，能构成集合．
故答案为：ACD．
10．十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家
哈里奥特首次使用“< ”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知
1< a < 6,3 < b < 8，则下列结果正确的有（ ）
1 a
A． < < 2 B．2 < a + b <14
3 b
C． 4 < a b < 2 D． 3 < ab < 48
【答案】AB
1 a
【解析】对于 A
1 1 1
中，由3 < b < 8，可得 < < ，由不等式的性质，可得 < < 2,∴A 正确；
8 b 3 3 b
对于 B 中，由 1< a < 6,3 < b < 8，根据不等式的性质，可得2 < a + b <14,∴B正确；
对于 C 中，由3 < b < 8，可得 8 < b < 3,∴ 9 < a b < 3,∴C 错误；
对于 D 中，由 1< a < 6,3 < b < 8，可得 8 < ab < 48,∴D 错误.故选：AB.
11．已知函数 y = f (x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f (2 + x) = f (2 x)，则下列说法正确的是（ ）
A． f (2024) = 0 B． y = f (x 2)是奇函数
C． f (4 x) = f (4+ x) D． y = f (x)是周期为 4 的周期函数
【答案】AC
【解析】由函数 y = f (x)是定义在 R 上的奇函数，得 f ( x) = f (x)且 f (0) = 0 .
由 f (2+ x) = f (2 x)，得 f (4+ x) = f ( x) = f (x)，即 f (8+ x) = f (x)，
于是函数 y = f (x)的最小正周期为8 .
对于 A： f (2024) = f (8×253) = f (0) = 0，故 A 正确；
对于 B：因为 f ( x 2) = f (x + 2) = f (2 x) = f (x 2)， f (x 2)的定义域是全体实数，
所以 y = f (x 2)是偶函数，故 B 错误；
对于 C： f (4 x) = f (x 4) = f (x + 4) 8 = f (x + 4)，故 C 正确；
对于 D： y = f (x)是周期为 8 的周期函数，故 D 错误.故选：AC.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．函数 f (x)是偶函数，当 x ≥ 0 时， f (x) = x(1+ x)，则 f ( 1) = .
【答案】2
【解析】因为当 x ≥ 0 时， f (x) = x(1+ x)，
所以当 x < 0 时， x > 0，所以 f ( x) = x(1 x) ，函数 f (x)是偶函数，
所以 f (x) = f ( x) = x(1 x)，所以 f ( 1) =1(1+1) = 2，
13 2．已知命题“ x∈R ，4x + (a 2) x + 14 > 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围为 ．
【答案】 ( ∞,0] [4,+∞)
2
【解析】命题“ x∈R ，4x + (a 2) x + 14 > 0 ”是假命题，
故 = (a 2)2 4 4 1× × ≥ 0，解得a ≥ 4或 a ≤ 0 .
4
b
14 ．设 a，b∈R，若集合{1, a + b, a} = 0, ,b ，则a2023 + b2023 = ．
a
【答案】0
【解析】由{1,a
b
+ b,a}= 0, ,b 易知a ≠ 0，a ≠1，
a
由两个集合相等定义可知
b =1
若 a b 0，得
a = 1，经验证，符合题意；
+ =
b
=1
若 a ，由于a ≠ 0，则方程组无解，
a + b = 0
综上可知，a = 1，b =1，
所以a2023 + b2023 = ( 1)2023 +12023 = 0．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）解下列关于 x 的不等式：
(1) x2 + 2x + 3 > 0；
(2) 2x 3 ≥1.
x +1
【答案】(1){x 1< x < 3}；(2){x x ≥ 4或 x < 1}
【解析】（1）由 x2 + 2x + 3 > 0，得 x2 2x 3 < 0，
即 (x 3)(x +1) < 0，所以 1< x < 3，
所以不等式的解集为{x 1< x < 3}；
2x 3 x 4
（2）由 ≥1，得 ≥ 0，
x +1 x +1
(x 4)(x +1) ≥ 0
则 ，解得 x ≥ 4或 x < 1，
x +1≠ 0
所以不等式的解集为{x x ≥ 4或 x < 1} .

x + 2, x ≤ 1

16．（15 分）已知函数 f (x) = 2x, 1< x < 2 .

x
2
, x ≥ 2
2
7
(1) 求 f f 4
；

(2)若 f (a) = 3，求a的值.
3
【答案】(1) 1 a =2 ；(2) 或2 a = 6
．
f 7 7 1 7 1 = + 2 =
1 1 1
【解析】（ ）由题意知， ，所以 f f = f = 2× = . 4 4 4 4 4 4 2
（2）因为 f (a) = 3，所以当a ≤ 1时，a + 2 = 3，所以a =1，不满足a ≤ 1舍去；
3
当 1< a < 2时，2a = 3，所以a = ∈( 1,2)，符合题意；
2
1
当 a ≥ 2 2时， a = 3，解得a = 6 或a = 6 舍去，所以2 a = 6
.
综上，当 f (a) = 3 3时，a = 或 a = 6 . 2
17．（15 分）已知正数 x、 y 满足 x + y = 2 ．
(1)求 xy的最大值；
1 2
(2)求 +x y 的最小值．
3
【答案】(1)1；(2) + 2 ．
2
【解析】（1）∵ x > 0， y > 0，∴ x + y ≥ 2 xy ．
又 x + y = 2 ，∴ xy ≤1．
当且仅当 x = y =1时等号成立，∴ xy的最大值为 1．
x + y
（2） 1 2 2 x + y 1 y x
3 y x 3 1 3
+ = + = + + +1 = + + ≥ + 2 = + 2 ，
x y x y 2 2x y 2 2x y 2 2 2
y x 1 2 3
当且仅当 =2x y ，即 x = 2 2-2, y = 4 2 2 时，
+ + 2
x y 的最小值为 ． 2
18．（17 分）设集合 A = {x 1≤ x + 2 ≤ 6}，B = {x 1 m ≤ x ≤ 3m 2}
(1)若 x∈ A是 x∈ B 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；
(2)若 A B = B ，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) m ≥ 4；(2) m ≤ 2
【解析】（1）由 A = {x 1≤ x + 2 ≤ 6}得 A = {x 3 ≤ x ≤ 4}，
由 x∈ A是 x∈ B 的充分不必要条件，所以A B ，
1 m ≤ 3
即 m ≥ 4 m m ≥ 4 .
3m
且等号不同时成立，得 ，∴实数 的取值范围为
2 ≥ 4
（2）由题意知B A，
3
当 B = ，1 m > 3m 2 ，得m < ；
4
1 m ≥ 3
3m 2 ≤ 4 3当 B ≠ ， ，得 ≤ m ≤ 2 .
4
1 m ≤ 3m 2
综上所述：实数m 的取值范围为m ≤ 2 .
1
19 17 ．（ 分）已知 f (x) = (2a + 3) x 2 为幂函数．
(1)求 f (x)的解析式；
(2)用定义法证明： f (x)在 (0,+∞ )上是减函数；
(3)若 f (2 m) > f (2m 1)，求实数 m 的取值范围．
1
【答案】(1) f (x) = x 2 ;(2)证明见解析;(3) (1,2)
1

【解析】（1）由题意得2a + 3 =1，解得a = 1，则 f (x) = x 2 .
（2） f (x) 1= ，任取0 < x1 < x2 ， x
f (x ) f (x 1 1 x x x 2 1 2 x1则 1 2 ) = = =x ， 1 x2 x1x2 x1x2 ( x2 + x1 )
因为0 < x1 < x2 ，所以 x2 x1 > 0， x1x2 ( x2 + x1 ) > 0，
所以 f (x1 ) f (x2 ) > 0，即 f (x1 ) > f (x2 )，
所以 f (x)在 (0,+∞ )上是减函数.
2 m > 0
（3）因为 f (2 m) > f (2m 1) ，则 2m 1> 0 ，解得1< m < 2，

2 m < 2m 1
实数 m 的取值范围 (1,2) .2024 年秋季高一入学分班考试模拟卷
数 学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．已知U = {x∈Z 3 ≤ x ≤ 3}， A = { 3, 2,1}，B = {0,1,2}，则 U (A∪ B) =（ ）
A．{ 1,0,1} B．{ 1,1,3} C．{ 1,3} D．{ 1,0,1,3}
2 x．函数 y = 的定义域为（ ）
x 1
A．{x x ≠1} B．{x | x ≥ 0且 x ≠1} C．{x x ≥ 0} D．{x x 0且 x ≠1}
3．命题 x >1， x2 m >1的否定是（ ）
A． x >1， x2 m ≤1 B． x ≤1， x2 m ≤1
C． x >1， x2 m ≤1 D． x ≤1， x2 m ≤1
4 2．给出下列 6 个关系：① ∈R，② 3∈Z ，③0 N ，④ 4∈N，⑤ π Q，⑥ 2 Z .其中正确命题
2
的个数为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
5．已知a、b、c∈R ，则“ a = b ”是“ ac2 = bc2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
6
, x > 0
．已知函数 f (x) = x ，则 f ( f (1)) =（ ）
x
3, x ≤ 0
A．0 B．1 C．2 D． 1
7 9．已知 x > 3，则 x + 的最小值为（ ）
x + 3
A．6 B．5 C．4 D．3
2
8．设函数 f (x) 1 x= ，则有（ ）
x2 +1
A． f (x) 1 1 是奇函数， f x = f (x) B． f (x)是奇函数， f = f (x) x
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．以下元素的全体能够构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流
C．方程 x2 1 0的实数解 D．周长为 10cm 的三角形
10．十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家
哈里奥特首次使用“< ”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知
1< a < 6,3 < b < 8，则下列结果正确的有（ ）
1 a
A． < < 2 B．2 < a + b <14
3 b
C． 4 < a b < 2 D． 3 < ab < 48
11．已知函数 y = f (x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f (2 + x) = f (2 x)，则下列说法正确的是（ ）
A． f (2024) = 0 B． y = f (x 2)是奇函数
C． f (4 x) = f (4+ x) D． y = f (x)是周期为 4 的周期函数
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．函数 f (x)是偶函数，当 x ≥ 0 时， f (x) = x(1+ x)，则 f ( 1) = .
13．已知命题“ x∈R ，4x2 + (a 2) x + 14 > 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围为 ．
b
14．设 a ，b∈R，若集合{1, a + b, a} = 0, ,b ，则a2023 + b2023 = ．
a
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）解下列关于 x 的不等式：
(1) x2 + 2x + 3 > 0；
(2) 2x 3 ≥1.
x +1

x + 2, x ≤ 1

16．（15 分）已知函数 f (x) = 2x, 1< x < 2 .
x2 , x ≥ 2
2
(1)求 f
f 7

；
4
(2)若 f (a) = 3，求a的值.
17．（15 分）已知正数 x、 y 满足 x + y = 2 ．
(1)求 xy的最大值；
1 2
(2)求 +x y 的最小值．
18．（17 分）设集合 A = {x 1≤ x + 2 ≤ 6}，B = {x 1 m ≤ x ≤ 3m 2}
(1)若 x∈ A是 x∈ B 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；
(2)若 A B = B ，求实数m 的取值范围.
1
19 ．（17 分）已知 f (x) = (2a + 3) x 2 为幂函数．
(1)求 f (x)的解析式；
(2)用定义法证明： f (x)在 (0,+∞ )上是减函数；
(3)若 f (2 m) > f (2m 1)，求实数 m 的取值范围．

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