资源简介

第03讲 不等关系与一元二次不等式
1．两个实数比较大小的依据
(1).
(2).
(3).
2．不等式的性质
(1)对称性：；
(2)传递性：；　　
(3)可加性：
(4)可乘性：
(5)可乘方性：
(6)可开方性：.
3．一元二次不等式的解法步骤
(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式或．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与轴的交点确定一元二次不等式的解集．
4．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数的图象
一元二次方程的根 有两相异实根，() 有两相等实根 没有实数根
的解集
的解集
5．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式，恒成立
(2)不等式，恒成立.
6.简单分式不等式
(1)
(2)
7．能成立问题(有解问题）的转化：能成立；能成立.
【考点一 不含参数的一元二次不等式】
1．（贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（文））已知集合，则( )
A． B． C． D．
2．（沭阳县修远中学高三月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（全国（文））解下列不等式：
（1）；
（2）.
4．（全国（文））解下列不等式：
（1）；
（2）：
5．（全国高三专题练习）已知关于的不等式.
（1）若该不等式的解集为，求的值；
（2）若，求此不等式的解集.
【考点二 含参数的一元二次不等式】
1．（湖南高三月考）若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（全国）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．{或}
C． D．或
3．（全国高三开学考试（理））设，，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（全国高三专题练习（理））已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是
A． B． C． D．
5．（全国（文））已知函数.若，解关于的不等式.
6．（全国高三专题练习）解关于的不等式.
【考点三 一元二次不等式恒成立问题】
1．（河南南阳市·南阳中学（理））设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
2．（山东枣庄市·枣庄八中高三月考）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（江苏南京一中高三开学考试）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
4．（宁夏银川市·银川一中高三月考（文））若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（长岭县第二中学高三）若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（全国（文））已知时，不等式恒成立，则的取值范围为
A．(-∞，2)∪(3，+∞) B．(-∞，1)∪(2，+∞)
C．(-∞，1)∪(3，+∞) D．(1，3)
7．（全国高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
8．（全国高三（理））对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
9．（全国高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（全国高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
11．（全国（理））在区间上，不等式有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（江苏高三专题练习）若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（全国（理））若不等式对于一切成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（全国高三专题练习（文））若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A．0 B．-2 C． D．-3
15．（全国高三专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
（宁夏吴忠市·吴忠中学高三月考（文））若不等式对一切恒成立，则的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)第03讲 不等关系与一元二次不等式
1．两个实数比较大小的依据
(1).
(2).
(3).
2．不等式的性质
(1)对称性：；
(2)传递性：；　　
(3)可加性：
(4)可乘性：
(5)可乘方性：
(6)可开方性：.
3．一元二次不等式的解法步骤
(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式或．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与轴的交点确定一元二次不等式的解集．
4．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数的图象
一元二次方程的根 有两相异实根，() 有两相等实根 没有实数根
的解集
的解集
5．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式，恒成立
(2)不等式，恒成立.
6.简单分式不等式
(1)
(2)
7．能成立问题(有解问题）的转化：能成立；能成立.
考点一 不含参数的一元二次不等式
1．（贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（文））已知集合，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，解得，，故集合，
又因为，
所以.
故选:C.
2．（沭阳县修远中学高三月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
要使函数有意义，
须，
即，
即，
解得：，
即函数的定义域为.
故选：A.
3．（全国（文））解下列不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）不等式两边同乘以，原不等式可化为，
即，则.
所以不等式的解集是.
（2）由得，所以.
所以不等式的解集为.
4．（全国（文））解下列不等式：
（1）；
（2）：
【答案】(1)； (2).
【详解】
(1)因为的两根为，，
所以原不等式的解集为.
(2)由，得，即，
所以，所以 ，所以原不等式的解集为.
5．（全国高三专题练习）已知关于的不等式.
（1）若该不等式的解集为，求的值；
（2）若，求此不等式的解集.
【答案】（1），；（2）答案见解析.
【详解】
（1）根据题意得，
解得，.
（2）当时，，
即.
当，即时，原不等式的解集为；
当，即时，原不等式的解集为；
当，即时，原不等式的解集为.
考点二 含参数的一元二次不等式
1．（湖南高三月考）若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【详解】
解：方程的两个根为和，
因为，所以，
故不等式的解集为．
故选：B．
2．（全国）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．{或}
C． D．或
【答案】A
【详解】
不等式的解集为，
的两根为，2，且，即，，解得，，
则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．
故选：A
3．（全国高三开学考试（理））设，，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
，解得，
，
若的必要不充分条件是，则是的必要不充分条件，
即且等号不能同时成立 ，
解得：．
故选：A．
4．（全国高三专题练习（理））已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：由得，而是的充分不必要条件，即，所以. 选.
考点：1.充要条件；2.简单不等式的解法.
5．（全国（文））已知函数.若，解关于的不等式.
【答案】答案见解析.
【详解】
不等式可化为，
即，
①当时，，解得，
②当时，，解得.
③当时，，解得.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
6．（全国高三专题练习）解关于的不等式.
【答案】答案见解析
【详解】
①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.
②当a<0时，原不等式化为>0，解得或x>1.
③当a>0时，原不等式化为<0.
若a＝1，即＝1时，不等式无解；
若a>1，即<1时，解得若01时，解得1综上可知，当a<0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
考点三 一元二次不等式恒成立问题
1．（河南南阳市·南阳中学（理））设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【详解】
若对于任意的，恒成立,
即可知：在上恒成立,
令，对称轴为.
当时，恒成立，
当时，有开口向下且在上单调递减，
在上，得，
故有.
当时，有开口向上且在上单调递增
在上，
∴
综上，实数的取值范围为，
故选：A.
2．（山东枣庄市·枣庄八中高三月考）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：令，
则函数的图象为开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，
故在区间上，（4），
若不等式在区间内有解，
则，
解得，
即实数的取值范围是.
故选：B．
3．（江苏南京一中高三开学考试）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意；
当时，若对于恒成立，
则即可得：，
综上所述：实数的取值集合是，
故选：B.
4．（宁夏银川市·银川一中高三月考（文））若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
不等式在内有解等价于时，.
当时，，所以.
故选：A.
5．（长岭县第二中学高三）若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题得不等式对任意成立，
所以，
即，
解之得或.
故选：A
6．（全国（文））已知时，不等式恒成立，则的取值范围为
A．(-∞，2)∪(3，+∞) B．(-∞，1)∪(2，+∞)
C．(-∞，1)∪(3，+∞) D．(1，3)
【答案】C
【详解】
由题意，因为时，不等式恒成立，
可转化为关于的函数，
则对应任意恒成立，
则满足，解得：或，
即的取值范围为.
故选：C
7．（全国高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为关于的不等式恒成立，分以下两种情况讨论：
（1）当时，可得，合乎题意；
（2）当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
8．（全国高三（理））对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【详解】
对任意，函数的值恒大于零
设，即在上恒成立.
在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.
则只需线段的两个端点在轴上方，即 ，解得或
故选：B
9．（全国高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，
设，则函数在上单调递增，所以，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
10．（全国高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
当时，符合题意，当时，，解得，
所以
故选：D.
11．（全国（理））在区间上，不等式有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：令
当时，原不等式为，解得，满足条件；
当时，函数的对称轴为，要使不等式在区间有解，只需，即解得
当时，函数的对称轴为，要使不等式在区间有解，当，即时，只需，即无解；
当，即时，只需，即解得；
当，即时，只需，即解得；
综上可得
故选：C
12．（江苏高三专题练习）若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
构造函数，其图象开口向上，
由于不等式在上恒成立，
所以，即，
所以的取值范围是.
故选：D.
13．（全国（理））若不等式对于一切成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
对于一切成立，
对于一切成立，
对于一切成立，
在区间上是增函数，
，
．
故选：C．
14．（全国高三专题练习（文））若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A．0 B．-2 C． D．-3
【答案】B
【详解】
，，由对勾函数性性质可知，当为减函数，当时，为增函数，故，即恒成立，，故的最小值为-2
故选：B
15．（全国高三专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
根据题意构造函数：，由于当时，不等式恒成立，即，解得，即 ，故选A.
（宁夏吴忠市·吴忠中学高三月考（文））若不等式对一切恒成立，则的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
【答案】C
【详解】
当a＝2时，不等式－4<0恒成立，
因此a＝2满足题意．
当a≠2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，
需满足
解得－2综上所述，a的取值范围是－2

展开更多......

收起↑