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第04讲 基本不等式
1.基本不等式
(1)基本不等式成立的条件:　　　　　　　.
(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.
2.利用基本不等式求最值
已知,
(1)如果是定值,那么当且仅当时,有最小值,(简记为积定和最小).
(2)如果是定值,那么当且仅当时,有最大值,是(简记为和定积最大).
3.基本不等式的两种常用变形形式
(1)(,当且仅当时取等号).
(2)(,当且仅当时取等号)
4.几个重要的结论
(1) ().
(2)().
(3)().
【考点一　利用基本不等式求最值】
1．（池州市江南中学高三月考）下列不等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（贵溪市实验中学高三）若，则函数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（江苏高三）若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
4．（山东）“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（全国（理））已知，则在上的最小值为（ ）
A． B．
C．－1 D．0
6．（海南琼中中学）已知，求函数的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点二 利用常数代换法求最值】
1．（全国高三专题练习（理））已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（文））已知为正实数，且，则的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．（山东高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（全国（文））已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．6 C．3 D．9
5．（宁夏中卫·高三（文））若正数满足，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．9
6．（全国（文））已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（全国高三专题练习（文））已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．6 D．7
8．（重庆）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．（蚌埠铁路中学（文））若，，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
10．（全国（文））若，，则的最小值为（ ）
A．2 B．6 C．9 D．3第04讲 基本不等式
1.基本不等式
(1)基本不等式成立的条件:　　　　　　　.
(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.
2.利用基本不等式求最值
已知,
(1)如果是定值,那么当且仅当时,有最小值,(简记为积定和最小).
(2)如果是定值,那么当且仅当时,有最大值,是(简记为和定积最大).
3.基本不等式的两种常用变形形式
(1)(,当且仅当时取等号).
(2)(,当且仅当时取等号)
4.几个重要的结论
(1) ().
(2)().
(3)().
考点一　利用基本不等式求最值
1．（池州市江南中学高三月考）下列不等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
A. 当时， ，故错误；
B. 因为a2＋b2≥2ab，故错误；
C. 由基本不等式得x2＋≥2，当且仅当时，取等号，故正确；
D. 当时，，故错误；
故选：C
2．（贵溪市实验中学高三）若，则函数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】
∵x＞2，∴x﹣2＞0，
∴，当且仅当，即x＝4时取等号，
∴函数的最小值为6.
故选：D.
3．（江苏高三）若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【详解】
∵，∴，当且仅当即时等号成立．
故选：D．
4．（山东）“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
，，当且仅当，即时取等号.
若时，则，，
因此“”是“，”的充分条件；
若，，则，即，推不出“”，
因此“”不是“，”的必要条件.
故“”是“，”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（全国（理））已知，则在上的最小值为（ ）
A． B．
C．－1 D．0
【答案】D
【详解】
f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.
故选：D
6．（海南琼中中学）已知，求函数的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】
由，即，
所以，
当且仅当，即时取“=”.
故选：D.
考点二 利用常数代换法求最值
一、单选题
1．（全国高三专题练习（理））已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，，且，
所以，
所以，
所以，即
当且仅当，
即，时等号成立，故的最小值．
故选：B.
2．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（文））已知为正实数，且，则的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【详解】
由题意，正实数且，可得，
则，当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
3．（山东高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为，
所以，当且仅当，即取等号，
所以，所以的最小值为，
故选：C
4．（全国（文））已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．6 C．3 D．9
【答案】D
【详解】
，
当且仅当，时取等号，
故选：D
5．（宁夏中卫·高三（文））若正数满足，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．9
【答案】C
【详解】
解：因为正数x，y满足，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8，
故选：C
6．（全国（文））已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
已知，，，
，
当且仅当，即，时，取号，
故选：B.
7．（全国高三专题练习（文））已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．6 D．7
【答案】B
【详解】
因为，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B.
8．（重庆）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】
因为，，且，所以，
所以，
当且仅当，时，等号成立．
故选：C
9．（蚌埠铁路中学（文））若，，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为a＞0，b＞0，，
所以，当且仅当，即，时等号成立．
故选：B．
10．（全国（文））若，，则的最小值为（ ）
A．2 B．6 C．9 D．3
【答案】D
【详解】
因，，
则，当且仅当时取“=”，
所以时，取最小值为3.故选：D

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