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第05讲 函数及其表示
1、函数与映射的概念
函数 映射
两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合
对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
2、函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3、构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
4、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
5、函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为.
考点一 函数的定义域
1．（邵东市第一中学高三月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：，故，解得：，
故选：B
2．（浙江高三学业考试）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
根据题意可得，所以.
故选：C.
3．（陕西高三月考（文））函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可得，解得或．
因此，函数定义域为.
故选：B.
4．（江西鹰潭市·鹰潭一中高三月考（文））函数的定义域是（　　）
A． B． C． D．R
【答案】A
【详解】
要使f(x)有意义，则满足，得到x>0.
故选A.
5．（河南高二期末（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数有意义，必有，即，于是得，而，
所以.
故选：C
6．（浙江师范大学附属东阳花园外国语学校）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由解析式有意义可得，故，
故函数的定义域为
故选：D.
7．（怀化市辰溪博雅实验学校高二月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：要使函数有意义，则，即，解得或.
所以函数的定义域为
故选：D
考点二 抽象函数定义域
1．（沙坪坝·重庆八中高三开学考试）已知函数定义域为，则函数定义域为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
函数需满足，解得．
故选：A
2．（巴楚县第一中学高二月考（文））已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，解得．
故选：A．
3．（河南开封·高一期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：由题意可知，，解得，即函数的定义域为；
故选：A
4．（安徽蚌埠·）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为函数的定义域是，所以有：.
故选：A
5．（全国）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由于函数的定义域为，对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.
故选：B.
6．（江苏高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为函数的定义域为且分式的分母不等于零，
所以，
解得，
故函数的定义域为，，
故选：．
7．（全国高一）已知函数的定义域为，则的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题意可得： ，解得：且，
故的定义域是，
故选：D
8．（全国高一课时练习）已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则，
所以，解得，
所以函数的定义域为[0，].
故选：A
9．（全国高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
∵的定义域为[－1，2)，
∴－1≤x<2，
由抽象函数的定义域求法可得：－1≤x－1<2，解得0≤x<3，
∴的定义域为[0，3)，
故选：C.
10．（全国）已知的定义域为，则函数的定义域为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B．
考点三 函数的解析式
1．（新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）已知是一次函数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，设函数，
因为，可得，解得，
所以.
故选：B.
2．（全国高一专题练习）已知是一次函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设一次函数，则，由得，即，解得，.
故选：A．
3．（全国）一次函数g(x)满足，则的解析式是（ ）
A．
B．
C．或
D．
【答案】C
【详解】
因为g(x)是一次函数，
所以设g(x)=kx+b(k≠0)，
所以g[g(x)]=k(kx+b)+b，
又因为g[g(x)]=9x+8，所以
解得或
所以g(x)=3x+2或g(x)= -3x – 4.
故选：C
4．（全国高一课时练习）已知一次函数的图象过点(1，0)和(0，1)，则此一次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设f(x)=ax+b(a≠0)，则有
所以a= -1，b=1，所以f(x)= -x+1．
故选：D
5．（全国高一课时练习）若函数y=的图象经过点(2，3)，则该函数的图象一定经过
A．(1，6) B．(–1，6)
C．(2，–3) D．(3，–2)
【答案】A
【详解】
将代入函数解析式得，故，也即，经验证知A选项正确，故选A.
6．（江西省靖安中学高一月考）二次函数满足，且，
（1）求的解析式；
【答案】（1）；
【详解】
（1）由题设
∵
∴又
∴
∴
∴，∴
∴
7．（江西高安中学高一月考）已知二次函数满足，且，
（1）求二次函数的解析式；
【答案】（1）；
【详解】
（1）设二次函数．
∵，∴．把的表达式代入，有．
∴．∴，．∴．
（2）的单调增区间为，
函数的值域为．
8．（全国高一课时练习）已知为二次函数，且，求的表达式．
【答案】
【详解】
由题意可设，
则，
，
于是，又，
所以解得
所以．
考点四 抽象函数解析式
1．（全国高三专题练习）已知函数满足，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由,
可得(2),
将(1)+(2)得:
,
故选C．
2．（全国高一课时练习）若对于任意实数恒有，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为，所以，解得
选A.
3．（重庆市巫山中学高一月考）若函数对于任意实数恒有，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为，所以，联立方程组，解得，故选A.
4．（全国高一专题练习）（1）已知，求的解析式．
【答案】（1）；
【详解】
（1）由，把代替代入可得，
联立消去可得：．
5．（上海）（1）已知，求.
（2）已知函数满足，求.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）令则.
.
（2）①②.
联立①式，②式
则.
6．（全国高一课时练习）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）由题意得：定义域为
设，则
（2）由…①得：…②
①②联立消去得：
考点五 分段函数
1．（荆门市龙泉中学高一月考）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．0
【答案】D
【详解】
故选：D.
2．（黑龙江大庆中学高一月考）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【详解】
由题意，函数，可得，
所以．
故选：D．
3．（全国高三开学考试（文））已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为，则.
故选：D．
4．（全国高一专题练习）函数则等于（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【详解】
当x=2 时，则．
故选：A.
5．（全国高一课前预习）已知函数，若，则实数的值等于（ ）
A．1 B． C．或1 D．或3
【答案】B
【详解】
解：函数，
若，可得，由，知，解得（舍）；
若，可得，由，知，解得（舍）或，符合题意.
综上，.
故选：B.
6．（全国高一专题练习）设函数则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】
由题意，，
故选B．第05讲 函数及其表示
1、函数与映射的概念
函数 映射
两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合
对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
2、函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3、构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
4、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
5、函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为.
【考点一 函数的定义域】
1．（邵东市第一中学高三月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（浙江高三学业考试）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（陕西高三月考（文））函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（江西鹰潭市·鹰潭一中高三月考（文））函数的定义域是（　　）
A． B． C． D．R
5．（河南高二期末（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（浙江师范大学附属东阳花园外国语学校）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
7．（怀化市辰溪博雅实验学校高二月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【考点二 抽象函数定义域】
1．（沙坪坝·重庆八中高三开学考试）已知函数定义域为，则函数定义域为（ ）．
A． B．
C． D．
2．（巴楚县第一中学高二月考（文））已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（河南开封·高一期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（安徽蚌埠·）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．（全国）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
6．（江苏高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．（全国高一）已知函数的定义域为，则的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
8．（全国高一课时练习）已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
9．（全国高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
10．（全国）已知的定义域为，则函数的定义域为
A． B． C． D．
【考点三 函数的解析式】
1．（新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）已知是一次函数，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（全国高一专题练习）已知是一次函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（全国）一次函数g(x)满足，则的解析式是（ ）
A．
B．
C．或
D．
4．（全国高一课时练习）已知一次函数的图象过点(1，0)和(0，1)，则此一次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（全国高一课时练习）若函数y=的图象经过点(2，3)，则该函数的图象一定经过
A．(1，6) B．(–1，6)
C．(2，–3) D．(3，–2)
6．（江西省靖安中学高一月考）二次函数满足，且，
（1）求的解析式；
7．（江西高安中学高一月考）已知二次函数满足，且，
（1）求二次函数的解析式；
8．（全国高一课时练习）已知为二次函数，且，求的表达式．
【考点四 抽象函数解析式】
1．（全国高三专题练习）已知函数满足，则
A． B．
C． D．
2．（全国高一课时练习）若对于任意实数恒有，则
A． B． C． D．
3．（重庆市巫山中学高一月考）若函数对于任意实数恒有，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．（全国高一专题练习）（1）已知，求的解析式．
5．（上海）（1）已知，求.
（2）已知函数满足，求.
6．（全国高一课时练习）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式．
【考点五 分段函数】
1．（荆门市龙泉中学高一月考）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．0
2．（黑龙江大庆中学高一月考）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（全国高三开学考试（文））已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（全国高一专题练习）函数则等于（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．（全国高一课前预习）已知函数，若，则实数的值等于（ ）
A．1 B． C．或1 D．或3
6．（全国高一专题练习）设函数则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．

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