资源简介

第06讲 函数的单调性与最值
1．增函数与减函数
一般地，设函数的定义域为：
(1)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．
(2)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．
2．函数的最大值与最小值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1)对于任意的，都有；存在，使得，那么，我们称是函数的最大值．
(2)对于任意的，都有；存在，使得，那么我们称是函数的最小值．
3．函数单调性的两个等价结论
设则
(1)(或在上单调递增。
(2)(或 f(x)在上单调递减．
【考点一 函数的单调性】
1．（江西省靖安中学高一月考）已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（海淀·北京市八一中学高三开学考试）下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（太原市第五十六中学校高二月考（文））函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（黑龙江哈尔滨三中高三月考（理））已知奇函数在上是增函数，又，则的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．（巴楚县第一中学（理））函数的单调区间为（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增
6．（全国高一专题练习）若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（全国高一专题练习）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（全国高一课时练习）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数，总有成立，则必有（ ）
A．在上是增函数 B．在上是减函数
C．函数先增后减 D．函数先减后增
9．（全国高三专题练习）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围（ ）
A． B． C． D．
10．（陕西省黄陵县中学高一期末）设函数是上的增函数，则有（ ）
A． B． C． D．
11．（怀仁市第一中学校高三月考（文））函数在单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（福建宁德·高一期末）已知定义域为的奇函数在单调递减，且，则满足的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
13．（全国高一课时练习）函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（　　）
A．(﹣∞，﹣3) B．(0，+∞)
C．(3，+∞) D．(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)
14．（全国高一）定义在上的函数对任意两个不等的实数，，总有成立，则必有（ ）
A．函数在上是奇函数 B．函数在上是偶函数
C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数
【考点二 函数的最值】
1．（全国）如果奇函数在上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（ ）
A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为
C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为
2．（上海高一专题练习）已知函数，则的最大值为（ ）．
A． B． C．1 D．2
3．（宁夏银川·贺兰县景博中学高二期末（文））已知函数，则（ ）
A．是单调递增函数 B．是奇函数
C．函数的最大值为 D．
4．（合肥一六八中学高一期末）若奇函数在区间上单调递减，则函数在区间上（ ）
A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值
C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值
5．（玉林市育才中学（文））已知函数，则在区间上的最大值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
6．（浙江高一单元测试）若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
7．（全国高一）如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（ ）
A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6
C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6
8．（福建三明一中高三学业考试）函数在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
9．（全国高一专题练习）若，都有不等式，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
10．（全国高一专题练习）已知函数，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．第06讲 函数的单调性与最值
1．增函数与减函数
一般地，设函数的定义域为：
(1)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．
(2)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．
2．函数的最大值与最小值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1)对于任意的，都有；存在，使得，那么，我们称是函数的最大值．
(2)对于任意的，都有；存在，使得，那么我们称是函数的最小值．
3．函数单调性的两个等价结论
设则
(1)(或在上单调递增。
(2)(或 f(x)在上单调递减．
考点一 函数的单调性
1．（江西省靖安中学高一月考）已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由于函数是在上的减函数，且，所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：A
2．（海淀·北京市八一中学高三开学考试）下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确，
对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误，
对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误，
故选：A
3．（太原市第五十六中学校高二月考（文））函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
二次函数，开口向下，对称轴为，
所以单调增区间为.
故选：A
4．（黑龙江哈尔滨三中高三月考（理））已知奇函数在上是增函数，又，则的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【详解】
∵在上是增函数，且为奇函数，
∴在上是增函数，又，即，
∴要使，则或，
∴的解集为或.
故选：B
5．（巴楚县第一中学（理））函数的单调区间为（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增
【答案】D
【详解】
的对称轴为，开口向上，
所以在在单调递减，在单调递增，
故选：D
6．（全国高一专题练习）若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
函数的对称轴为，由于在上是减函数，
所以.
故选:A
7．（全国高一专题练习）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
8．（全国高一课时练习）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数，总有成立，则必有（ ）
A．在上是增函数 B．在上是减函数
C．函数先增后减 D．函数先减后增
【答案】A
【详解】
由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
9．（全国高三专题练习）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
偶函数在区间上单调递增，则在区间上单调递减，
若满足，则，可得，
∴，即.
故选：A.
10．（陕西省黄陵县中学高一期末）设函数是上的增函数，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
函数是R上的增函数,则，即
故选：A
11．（怀仁市第一中学校高三月考（文））函数在单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
函数为开口向上的抛物线，对称轴为
函数在单调递增，则，解得.
故选：A.
12．（福建宁德·高一期末）已知定义域为的奇函数在单调递减，且，则满足的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
为奇函数，且在单调递减，
，，且在上单调递减，
可得或或，
即或或，
即，
故选：B.
13．（全国高一课时练习）函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（　　）
A．(﹣∞，﹣3) B．(0，+∞)
C．(3，+∞) D．(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)
【答案】C
【详解】
解：∵函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）f（﹣m+9），
∴2m﹣m+9，解得 m3，
故选：C．
14．（全国高一）定义在上的函数对任意两个不等的实数，，总有成立，则必有（ ）
A．函数在上是奇函数 B．函数在上是偶函数
C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数
【答案】D
【详解】
，
当时，，
当时，，
所以函数在上是减函数．
故选：D．
考点二 函数的最值
1．（全国）如果奇函数在上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（ ）
A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为
C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为
【答案】C
【详解】
因为奇函数在上是增函数且最小值为5，而奇函数的图像关于原点对称，
所以在区间上增函数且最大值为，
故选：C.
2．（上海高一专题练习）已知函数，则的最大值为（ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】
因为在上单减，所以在上单减，
即在上单减，
所以f(x)的最大值为.
故选：D
3．（宁夏银川·贺兰县景博中学高二期末（文））已知函数，则（ ）
A．是单调递增函数 B．是奇函数
C．函数的最大值为 D．
【答案】C
【详解】
A：由解析式知：是单调递减函数，错误；
B：由，显然不关于原点对称，不是奇函数，错误；
C：由A知：在上，正确；
D：由A知：，错误.
故选：C.
4．（合肥一六八中学高一期末）若奇函数在区间上单调递减，则函数在区间上（ ）
A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值
C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值
【答案】C
【详解】
根据奇函数的图象关于原点对称，所以其在y轴两侧单调性相同，
因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，
所以在区间上有最大值，最小值,
故选：C
5．（玉林市育才中学（文））已知函数，则在区间上的最大值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】
在单调递减，
.
故选：C.
6．（浙江高一单元测试）若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
【答案】B
【详解】
解：当时，在区间上为增函数，则当时，取得最大值，即，解得；
当时，在区间上为减函数，则当时，取得最大值，即，解得舍去，
所以，
故选：B
7．（全国高一）如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（ ）
A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6
C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6
【答案】A
【详解】
因为为奇函数，则在对称区间上单调性相同，
所以在上为单调递增函数，
根据的图像关于原点对称，且
所以在上的最小值为，
故选：A
8．（福建三明一中高三学业考试）函数在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
【答案】B
【详解】
y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，
故选：B.
9．（全国高一专题练习）若，都有不等式，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】
设，由不等式对一切成立可得，.因为在上是减函数，所以当时，，所以，即，所以.
故选：D
10．（全国高一专题练习）已知函数，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数的图象开口向下，对称轴方程为，函数在区间上单调递增，，，即函数的值域为.
由方程有解知，，因此，且，解得.故选：C

展开更多......

收起↑