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第08讲 二次函数与幂函数
一、二次函数
1．二次函数的概念
形如的函数叫做二次函数.
2．表示形式
(1)一般式：.
(2)顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：，其中是抛物线与轴交点的横坐标.
3．二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称性 函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数. 在上是增函数； 在上是减函数.
最值 当时， 当时，
4．常用结论
(1)函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
(2)若为的实根，则在轴上截得的线段长应为.
(3)当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
二、幂函数
1．幂函数的概念
一般地，形如()的函数称为幂函数，其中底数为自变量，为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减
过定点 过定点 过定点
3．常用结论
(1)幂函数在上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点.
(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
考点一 幂函数的解析式
1．（宁夏长庆高级中学高二期末（文））已知幂函数过点，则解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设所求幂函数解析式为，由已知条件可得，可得，
因此，所求幂函数的解析式为.
故选：C.
2．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：设，则，得，
所以，
所以，
故选：D
3．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】
解：因为为幂函数，所以，所以，
因为幂函数的图像过点，
所以，解得，
所以，
故选：A
4．（全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由图知：①表示，②表示，③表示，④表示.
故选：C.
5．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意得：，得或
当时，图象关于y轴对称，不成立；
当时，是奇函数，成立；
所以不等式转化为，即，解得.
故选：D
6．（浙江高二期中）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3 B．3 C． D．0
【答案】B
【详解】
解：因为幂函数在上是减函数，
所以，
由，得或，
当时，，所以舍去，
当时，，
所以，
故选：B
7．（湖南长郡中学）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【详解】
设幂函数，幂函数的图象经过点
所以，解得
所以，则
故选：D
8．（全国高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则的值为（　　）
A．3 B．9 C．27 D．
【答案】C
【详解】
幂函数的图象过点，
可得，解得，
幂函数的解析式为：，
可得（3）．
故选：．
9．（全国高一专题练习）函数是幂函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为函数是幂函数，
所以，解得
故选：D
10．（全国高一专题练习）如果幂函数的图象经过点，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
将点代入可得，即，可得：，
解得：，
故选：D
考点二 二次函数的解析式
1．（四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：函数的对称轴为，
则在上单调递增，在上单调递减，
，，
即的值域为.
故选：A.
2．（昭通市昭阳区第二中学高一期末）已知函数在闭区间上的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【详解】
的对称轴为，开口向上，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，，
当时，，
所以函数在闭区间上的最大值是，
故选：D.
3．（江苏扬中市第二高级中学高一开学考试）已知函数有最大值，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】
，
若，则，故；
若，则，解得，舍去.
若，则，
综上，或，
故选：D.
4．（全国高二课时练习）函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）
C．f（1），f（5） D．f（5），f（2）
【答案】D
【详解】
f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2，当x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，
∴x＝2是极小值点，f（2）＝－3．又f（1）＝－2，f(5)＝6，
∴最大值是f(5)，最小值是f（2）．
故选：D
5．（全国高一课时练习）若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）f（x）＝x2－x＋1；（2）m<－1.
【详解】
（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1，
∴c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1.
∵f（x＋1）－f（x）＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，
∴f（x）＝x2－x＋1.
（2）由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立.
令g（x）＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其对称轴为x＝，
∴g（x）在区间[－1，1]上是减函数，
∴g（x）min＝g（1）＝1－3＋1－m>0，
∴m<－1.
6．（哈尔滨市第三十二中学校高二期末（文））已知二次函数，满足，，试确定此二次函数.
【答案】.
【详解】
，
，
所以，，
即，，
又因为
所以，
所以.
7．（湖南高一期末）已知为二次函数，且满足，．
（1）求函数的解析式，并求图象的顶点坐标；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象；
【答案】（1），顶点坐标为；（2）图象见解析.
【详解】
（1）设函数的解析式为
因为，可得，
解得，所以，
令，可得，即图象的顶点坐标为．
（2）由（1）知，令，即，
解得或，
可函数的图象如图所示：
8．（巴楚县第一中学高二月考（文））已知二次函数，满足，且的最小值是．
（1）求的解析式；
（2）设函数，函数，求函数在区间上的最值.
【答案】（1）；（2）最大值14，最小值.
【详解】
（1）因为，
所以，
由二次函数的性质得，
解得，
所以
（2）依题得：
函数在区间内单调递减
当时，有最大值14
当时，有最小值
9．（贵州省思南中学高三（理））已知函数.
（1）当，时，求函数的值域.
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）当时，，对称轴为直线，
而，故，
故函数的值域为.
（2）因为函数在上单调递增，故，故.
考向三 幂函数的图象及性质的应用
1．（全国高一单元测试）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
函数y＝x－4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；
函数y＝x－1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；
函数y＝x2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；
函数y＝x为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
故选：A.
2．（全国高一课前预习）已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（ ）
A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2
【答案】C
【详解】
∵幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，
∴m＝－1，0，1，2，3.
当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．
综上所述，m＝－1，1，3.
故选：C.
3．（全国高一课前预习）已知幂函数()为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．3
【答案】B
【详解】
因为在(0，＋∞)上是减函数，
所以m－3<0,所以m<3.
又因为m∈N*，所以或.
又因为是奇函数，
所以m－3是奇数，
所以m＝2.
故选：B.
4．（全国高一课时练习）已知点在幂函数的图象上，则函数是（ ）.
A．奇函数 B．偶函数
C．减函数 D．增函数
【答案】A
【详解】
且，解得，，
∴在定义域的奇函数，
故选：A.
5．（全国高一课前预习）函数是幂函数，则下列结论正确的是(　　)
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】A
【详解】
∵为幂函数，
∴，即，
∴，
∴在上是增函数，且，
∴．
故选：A
6．（全国高一课时练习）若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
因为幂函数在和上都是单调递减的，
所以，由可得或或
解得或，
即实数m的取值范围为.
故选：C.
7．（全国高一专题练习）已知幂函数的图象不经过原点，则m的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为函数是幂函数，所以，解得：或，
当时，，函数的图象不经过原点，当时，，函数的图象经过原点.
所以的取值集合是.
故选：B
8．（全国高一专题练习）幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为幂函数过点，所以，解得，所以，那么可知函数的增区间为．
故选：C
9．（全国高一专题练习）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．或1
【答案】A
【详解】
由于为幂函数，所以或；又函数在上单调递减，故当时符合条件，
故选：A
10．（高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
由于为幂函数，则，解得：，则；
函数，当 时，，
故的图像所经过的定点为，
所以，即，解得：,
故选：B.
考向四 二次函数的图象及性质的应用
1．（北京交通大学附属中学高三开学考试）设函数，对任意实数都有成立，则函数值，，，中，最小的一个不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵对任意实数都有成立，
∴函数的对称轴是，
当时，自变量取值离对称轴距离越近函数值越小，函数值，，，中，最小的一个是.
当时，自变量取值离对称轴距离越远函数值越小，函数值，，，中，最小的一个是和.
故选：B.
2．（重庆市清华中学校高三月考）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，函数关于对称，
且，，
∴，，即的取值范围是.
故选：B.
3．（江苏高三专题练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：命题“，使”是假命题，
命题“，使”是真命题，
即判别式，所以，
故选：D．
4．（全国高三专题练习）函数在区间上是递减的,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,
当a≠0时,需解得-3≤a<0,
综上可得-3≤a≤0.
5．（南京市秦淮中学高三开学考试）已知，函数.若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，
又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0，
故选：A.
6．（全国高三专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围　　
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：函数的对称轴为：，
函数在区间上是增函数，
，解得，
故选：．
7．（河北衡水中学高三）在如图所示中，二次函数与指数函数的图象只可为
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
根据指数函数可知，同号且不相等，则二次函数的对称轴在轴左侧，又过坐标原点，
故选：C．
8．（上海外国语大学附属大境中学高三月考）已知二次函数的值域为．
（1）若此函数在上是单调减函数，求实数a的取值范围；
（2）求在上的最小值，并求的值域．
【答案】（1）；（2），.
【详解】
（1）由题意可知数开口向上，且在对称轴处取得最小值0，
所以，且，即，
因此，因为函数在上是单调减函数，
所以，所以，故实数a的取值范围为；
（2）若，即，所以在上单调递增，所以；
若，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，
因为函数在上单调递增，且，因此的值域为.
9．（怀仁市第一中学校高三月考（文））设二次函数，并且.
（1）求实数的值；
（2）若函数在的最大值是1，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
解：（1）因为，所以的对称轴为，则，
所以.
（2）令，当时，.
由（1）在单调递减，
所以的最大值为，
所以.
10．（福建省将乐县第一中学高三月考）已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【详解】
（1）的对称轴为，
因为在上单调递增，所以，解得.
（2）因为，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为.第08讲 二次函数与幂函数
一、二次函数
1．二次函数的概念
形如的函数叫做二次函数.
2．表示形式
(1)一般式：.
(2)顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：，其中是抛物线与轴交点的横坐标.
3．二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称性 函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数. 在上是增函数； 在上是减函数.
最值 当时， 当时，
4．常用结论
(1)函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
(2)若为的实根，则在轴上截得的线段长应为.
(3)当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
二、幂函数
1．幂函数的概念
一般地，形如()的函数称为幂函数，其中底数为自变量，为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减
过定点 过定点 过定点
3．常用结论
(1)幂函数在上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点.
(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
【考点一 幂函数的解析式】
1．（宁夏长庆高级中学高二期末（文））已知幂函数过点，则解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
5．（全国高一课时练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（浙江高二期中）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3 B．3 C． D．0
7．（湖南长郡中学）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
8．（全国高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则的值为（　　）
A．3 B．9 C．27 D．
9．（全国高一专题练习）函数是幂函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（全国高一专题练习）如果幂函数的图象经过点，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点二 二次函数的解析式】
1．（四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（昭通市昭阳区第二中学高一期末）已知函数在闭区间上的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
3．（江苏扬中市第二高级中学高一开学考试）已知函数有最大值，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（全国高二课时练习）函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）
C．f（1），f（5） D．f（5），f（2）
5．（全国高一课时练习）若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
6．（哈尔滨市第三十二中学校高二期末（文））已知二次函数，满足，，试确定此二次函数.
7．（湖南高一期末）已知为二次函数，且满足，．
（1）求函数的解析式，并求图象的顶点坐标；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象；
8．（巴楚县第一中学高二月考（文））已知二次函数，满足，且的最小值是．
（1）求的解析式；
（2）设函数，函数，求函数在区间上的最值.
9．（贵州省思南中学高三（理））已知函数.
（1）当，时，求函数的值域.
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【考向三 幂函数的图象及性质的应用】
1．（全国高一单元测试）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（全国高一课前预习）已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（ ）
A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2
3．（全国高一课前预习）已知幂函数()为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．3
4．（全国高一课时练习）已知点在幂函数的图象上，则函数是（ ）.
A．奇函数 B．偶函数
C．减函数 D．增函数
5．（全国高一课前预习）函数是幂函数，则下列结论正确的是(　　)
A． B．
C． D．以上都不对
6．（全国高一课时练习）若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（全国高一专题练习）已知幂函数的图象不经过原点，则m的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
8．（全国高一专题练习）幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
9．（全国高一专题练习）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．或1
10．（高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　）
A． B． C．2 D．
【考向四 二次函数的图象及性质的应用】
1．（北京交通大学附属中学高三开学考试）设函数，对任意实数都有成立，则函数值，，，中，最小的一个不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（重庆市清华中学校高三月考）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（江苏高三专题练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（全国高三专题练习）函数在区间上是递减的,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
5．（南京市秦淮中学高三开学考试）已知，函数.若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（全国高三专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围　　
A． B． C． D．
7．（河北衡水中学高三）在如图所示中，二次函数与指数函数的图象只可为
A． B．
C． D．
8．（上海外国语大学附属大境中学高三月考）已知二次函数的值域为．
（1）若此函数在上是单调减函数，求实数a的取值范围；
（2）求在上的最小值，并求的值域．
9．（怀仁市第一中学校高三月考（文））设二次函数，并且.
（1）求实数的值；
（2）若函数在的最大值是1，求实数的值.
10．（福建省将乐县第一中学高三月考）已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）解关于的不等式.

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