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第13讲 导数的概念及运算
1．导数的概念
函数在处的瞬时变化率，我们称它为函数在处的导数，记作或，
即．
2．导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线斜率，即，相应地切线方程．
3．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
（为常数）
（）
（） （）
（） （）
4．导数的运算法则
若函数，均可导，则：
（1）；
（2）；
（3）．
5、切线问题
（1）已知函数，在点的切线方程；
① ②
（2）已知函数，过点的切线方程
①设切点 ②求斜率 ③利用两点求斜率 ④利用求出切点，再回带求出斜率，进而利用点斜式求切线。
【题型一：导数定义中极限的计算】
1．（全国（理））已知函数的导函数为，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（全国高三月考（文））已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（全国高三专题练习）已知函数，若，则（ ）
A．36 B．12 C．4 D．2
4．（江苏高三专题练习）函数在区间内可导，且若，则＝（ ）
A．＝1 B．＝2
C．＝4 D．不确定
【题型二：导数的计算】
1．（河南高三月考（文））已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．4
2．（玉林市育才中学高三开学考试（理））已知函数，则（ ）
A． B．1 C． D．－1
3．（广西柳州·高三开学考试（理））已知函数，则等于（ ）
A． B． C． D．1
4．（四川成都·高三模拟预测（文））记函数的导函数为．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（安徽屯溪一中高三月考（理））已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于
A． B． C． D．
【题型三：切线方程】
1．（巴楚县第一中学高三月考（文））已知函数，则函数在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（广东光明·高三月考）已知函数，若曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
3．（宾县第一中学高三月考（文））曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（全国高三月考（文））曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（全国高三月考（文））曲线的过点的切线方程为________．
6．（全国高三专题练习）曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．
7．（全国）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为___________.第13讲 导数的概念及运算
1．导数的概念
函数在处的瞬时变化率，我们称它为函数在处的导数，记作或，
即．
2．导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线斜率，即，相应地切线方程．
3．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
（为常数）
（）
（） （）
（） （）
4．导数的运算法则
若函数，均可导，则：
（1）；
（2）；
（3）．
5、切线问题
（1）已知函数，在点的切线方程；
① ②
（2）已知函数，过点的切线方程
①设切点 ②求斜率 ③利用两点求斜率 ④利用求出切点，再回带求出斜率，进而利用点斜式求切线。
题型一：导数定义中极限的计算
1．（全国（理））已知函数的导函数为，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解:，
解得
故选：D
2．（全国高三月考（文））已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，，
.
故选：A.
3．（全国高三专题练习）已知函数，若，则（ ）
A．36 B．12 C．4 D．2
【答案】C
【详解】
解：根据题意，，则，则，
若，则
，
则有，即，
故选：C.
4．（江苏高三专题练习）函数在区间内可导，且若，则＝（ ）
A．＝1 B．＝2
C．＝4 D．不确定
【答案】A
【详解】
，
，
即.
故选:A.
题型二：导数的计算
1．（河南高三月考（文））已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【详解】
解：因为，
所以，
把代入，
得，解得：，
所以，所以.
故选：C.
2．（玉林市育才中学高三开学考试（理））已知函数，则（ ）
A． B．1 C． D．－1
【答案】D
【详解】
，.
故选：D
3．（广西柳州·高三开学考试（理））已知函数，则等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】
由
得，
令，得，
解得，
故选：C
4．（四川成都·高三模拟预测（文））记函数的导函数为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由已知，所以．
故选：A．
5．（安徽屯溪一中高三月考（理））已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
依题意，令得，，故选D.
题型三：切线方程
1．（巴楚县第一中学高三月考（文））已知函数，则函数在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题设，，则，而，
∴函数在处的切线方程是，即2xy+1=0.
故选：A
2．（广东光明·高三月考）已知函数，若曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
，
由于曲线在处的切线与直线垂直
所以.
故选：A
3．（宾县第一中学高三月考（文））曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，，则，
因此，所求切线方程为，
故选：A.
4．（全国高三月考（文））曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题意得：，
所以切线的斜率，又，
所以切线方程为：，即．
故选：D
5．（全国高三月考（文））曲线的过点的切线方程为________．
【答案】
【详解】
设切点坐标为，
，，切线方程为，
切线过点，，
化简得：，解得：，
切线方程为，即．
故答案为：.
6．（全国高三专题练习）曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．
【答案】
【详解】
由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以
故答案为：
7．（全国）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为___________.
【答案】2
【详解】
∵点不在函数的图象上，∴点不是切点，
设切点为（），
由，可得，
则切线的斜率，
∴，
解得或，故切线有2条.
故答案为：2

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