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第14讲 导数与函数的单调性
1．函数的单调性与导数的关系
函数在区间内可导，
(1)若，则在区间内是单调递增函数；
(2)若，则在区间内是单调递减函数；
(3)若恒有，则在区间内是常数函数．
注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则
2.求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域
（2）求导数
（3）解不等式，
（4）结合定义域下结论。
3．已知函数单调性求参数范围
(1)已知可导函数在区间D上单调递增，则在区间D上恒成立；
(2)已知可导函数在区间D上单调递减，则在区间D上恒成立；
(3)已知可导函数在区间D上存在增区间，则在区间D上有解；
(4)已知可导函数在区间D上存在减区间，则在区间D上有解．
【考点一： 求函数的单调区间（不含参）】
1．（江苏仪征·）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（东台市第一中学高二月考）函数的单调递减区间是（ ）．
A． B． C． D．
3．（中宁县中宁中学（理））函数的递增区间是（ ）
A．和 B．
C． D．
4．（安徽金安·六安一中高二月考（理））函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（清远市清新区凤霞中学高二期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
6．（安徽镜湖·芜湖一中高二期中（理））已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（黑龙江甘南·高二期中（理））若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（山东兰陵四中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点二：己知函数的单调区间求参数的取值范围】
1．（陕西省洛南中学高二月考（理））若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（渭南市尚德中学高二月考（理））已知在上是增加的，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（黑龙江佳木斯一中（理））如果函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（全国）若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（陕西长安一中高二期末（理））若函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（全国高二单元测试）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点三：存在单调区间问题】
1．（江西南昌十中（文））函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（广州市天河外国语学校高二期中）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（广东高三月考）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考点四：不单调问题】
1．（全国）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．不存在这样的实数
2．（奉新县第一中学高二月考（文））若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B．或 C． D．
3．（山西运城·（理））已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)
C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
5．（银川三沙源上游学校（理））已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（全国高二课时练习）若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（江西上高二中高二月考（文））已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是
A． B． C． D．导数与函数的单调性
1．函数的单调性与导数的关系
函数在区间内可导，
(1)若，则在区间内是单调递增函数；
(2)若，则在区间内是单调递减函数；
(3)若恒有，则在区间内是常数函数．
注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则
2.求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域
（2）求导数
（3）解不等式，
（4）结合定义域下结论。
3．已知函数单调性求参数范围
(1)已知可导函数在区间D上单调递增，则在区间D上恒成立；
(2)已知可导函数在区间D上单调递减，则在区间D上恒成立；
(3)已知可导函数在区间D上存在增区间，则在区间D上有解；
(4)已知可导函数在区间D上存在减区间，则在区间D上有解．
考点一： 求函数的单调区间（不含参）
1．（江苏仪征·）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题得，令得：或 ，故单调递增区间为：，
故选：D.
2．（东台市第一中学高二月考）函数的单调递减区间是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：，
则，
由得，
故选：D.
3．（中宁县中宁中学（理））函数的递增区间是（ ）
A．和 B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由，得
令，即，解得
所以函数的递增区间是
故选：D
4．（安徽金安·六安一中高二月考（理））函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
对于函数，有，可得，
所以，函数的定义域为，，
由，因为，解得.
因此，函数的单调递增区间为.
故选：B.
5．（清远市清新区凤霞中学高二期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题意知，由，得．
故选：A
6．（安徽镜湖·芜湖一中高二期中（理））已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
详解：因为，
令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递减，
则区间（2m，m+1）是区间的子区间，
所以，求解不等式组可得：，
解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是.
故选：D
7．（黑龙江甘南·高二期中（理））若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
函数，.
则，
因为在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，
所以在区间上恒成立，
所以，解得，
故选：A.
8．（山东兰陵四中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，
当，解得：，
由条件可知，
所以 ，解得：.
故选：D
考点二：己知函数的单调区间求参数的取值范围
1．（陕西省洛南中学高二月考（理））若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题意得，的定义域为，，
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
即，又函数在上单调递减，
所以.
故选：A
2．（渭南市尚德中学高二月考（理））已知在上是增加的，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【详解】
由题意得函数的导数大于等于0，可得在上恒成立，
，
故选：B
3．（黑龙江佳木斯一中（理））如果函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数，所以，
因为函数在上单调递增，
所以对恒成立，即对恒成立，
所以.
故选:D
4．（全国）若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由得，
由于函数在区间内单调递减，
即在上恒成立，即，
即得在恒成立，所以，
故选：D.
5．（陕西长安一中高二期末（理））若函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意得，在上恒成立，所以在上恒成立，因为在的最大值为，所以.
故选：A.
6．（全国高二单元测试）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为在区间上单调递增，
故在区间上恒成立.
即在区间恒成立.
故.
故选：.
考点三：存在单调区间问题
1．（江西南昌十中（文））函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由题意得，，
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以存在使得成立，即.
故选:C
2．（广州市天河外国语学校高二期中）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
∵函数在区间上存在单调增区间，
∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立，
，
设，
则或，
即或，
得或，
则；
故选：A．
3．（广东高三月考）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，所以当时有解，而当时，，（此时），所以，所以的取值范围是.
故选：B.
考点四：不单调问题
1．（全国）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．不存在这样的实数
【答案】B
【详解】
由题意得，在区间上至少有一个实数根，
而的根为，区间的长度为2，
故区间内必含有2或．
∴或，
∴或，
故选：B．
2．（奉新县第一中学高二月考（文））若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，函数，可得，
因为函数在其定义域上不单调，
即有变号零点，
结合二次函数的性质，可得，
即，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
3．（山西运城·（理））已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.
故选：C.
4．（天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)
C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
【答案】B
【详解】
，
如果函数在区间[-1，2]上单调，
那么a-1≥0或，即，解得a≥1或a≤-3，
所以当函数在区间[-1，2]上不单调时，.
故选：B
5．（银川三沙源上游学校（理））已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由，
①当时函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.
故选：B．
6．（全国高二课时练习）若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
的定义域为，，
令解得.
由于函数在上不是单调函数，
所以，解得.
故选：D
7．（江西上高二中高二月考（文））已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：，是增函数，故需，，所以.
考点：函数的单调性．

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