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第17讲 利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题
一般地，若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
若，使成立，则只需；若，使成立，则只需．由此构造不等式，求解参数的取值范围．
1．（山西柳林·高二期中（理））已知函数.
（1）当时，恒成立，求的取值范围；
（2）若为负实数，求函数的单调性.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【详解】
解：（1）当时，的定义域为，
则，
由得，
1
- 0 +
减函数 极小值0 增函数
恒成立，所以.
（2）的定义域为，
，
①，即时，
由得：或，
由得：.
所以在，上递增，在上递减；
②，即时，，所以在上递增；
③，即时，
由得：或，
由得：.
所以在，上递增，在上递减，
综上可知：
当时，在，上递增，在上递减；
当时，在上递增；
当时，在，上递增，在上递减.
2．（广东东莞·高二期末）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若对任意的都有成立，求的取值范围.
【答案】（1）极大值，极小值；（2）.
【详解】
（1）因为，所以，.
令，解得或，
当，即或；当，即，.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，.
所以，时，有极大值，.
当时，有极小值.
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，.
又，，.
所以时，，.
因为对任意的都有成立，所以.
3．（江苏秦淮·南京一中高二期中）已知函数.
（1）求函数的单调区间与极值；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为，；的极大值为，极小值；（2）
【详解】
解：（1）因为
所以，
令，解得：或，
令，解得：，
故函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
故的极大值为，极小值；
（2）由（1）知在，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，
又，， ，
，
对，恒成立，
，即，
．
4．（重庆市南坪中学校）设函数，．
（1）当时，求曲线在点处切线方程；
（2）如果函数的图象恒在直线的上方，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）当时，，
，则，
又，
∴所求切线方程为，即；
（2）依题意，恒成立，即，
设，则.
①当时，，因此在上单调递减，而，所以不成恒成立，不能满足题意；
②时，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴函数在处取得最小值，
即，
而，
解得
∴．
5．（全国高二专题练习）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，均有不等式成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）∵，
∴，
又，
∴所求切线方程为，即．
（2）当时，，即恒成立，
设，，
当时，，递减；
当时，，递增．
∴，
∴，
的最大值为．
6．（全国高三专题练习）已知函数(为实数).
（1）若，求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）当时，，.
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则函数的最小值为.
（2）由题得，若恒成立，则，即恒成立.
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
故的取值范围为.
7．（安徽安庆·高三月考（文））已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若在区间，内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
解：（1）时，，，
曲线在点，（1）处的切线斜率:（1），
故曲线在点，（1）处的切线方程为：，
所求切线方程为：；
（2），
①当即时，，在，上为单调增函数，
此时，（1），解得：，与矛盾，不符合题意，
②当即时，，，的变化如下：
， ，
0
递减 极小值 递增
此时，，解得：
，与矛盾，不符合题意，
③当即时，，在，上为单调减函数
，解得：，又，，
综上：实数的取值范围是．
8．（河北邢台·高二月考）已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）若，，，求的取值范围．
【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.
【详解】
（1）．
在和上，，单调递增．
在上，，单调递减．
综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）可知，在和上单调递增，在上单调递减．
又，，，．
所以在上，．
又．
所以在上，，，
即．
因为，，，
所以解得．
故的取值范围是．
9．（安徽高二月考（理））已知函数
（1）若函数与有公共点，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【详解】
解：（1）令，即，则，
函数与有公共点，即有解.
令，则.
令，
当时，，所以，当时，，所以
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以且当时，
所以.
（2）不等式恒成立,即恒成立.
则时，成立，解得，
由题意求满足条件的整数最小值,下面验证是否满足题意.
当时，令，且在上单调递增.
又，可知存在唯一的正数，使得，
即，
则在上单调递减，在上单调递增.所以，
即当时，不等式成立.
故整数的最小值为
10．（江西南昌·（文））已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）．
【详解】
（1）
又时，或时，
在单调递增，在单调递减.
（2）∵存在使成立，由（1）可得，
①当时，
即，令，
在单调递增，在单调递减，恒成立，
即当时，不等式恒成立；
(另解：当时，在单调递减，单调递增，
.)
②当时，在单调递增，，
，
综合①②得．第17讲利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题
一般地，若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
若，使成立，则只需；若，使成立，则只需．由此构造不等式，求解参数的取值范围．
1．（山西柳林·高二期中（理））已知函数.
（1）当时，恒成立，求的取值范围；
（2）若为负实数，求函数的单调性.
2．（广东东莞·高二期末）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若对任意的都有成立，求的取值范围.
3．（江苏秦淮·南京一中高二期中）已知函数.
（1）求函数的单调区间与极值；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
4．（重庆市南坪中学校）设函数，．
（1）当时，求曲线在点处切线方程；
（2）如果函数的图象恒在直线的上方，求的取值范围．
5．（全国高二专题练习）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，均有不等式成立，求的最大值．
6．（全国高三专题练习）已知函数(为实数).
（1）若，求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
7．（安徽安庆·高三月考（文））已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若在区间，内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．
8．（河北邢台·高二月考）已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）若，，，求的取值范围．
9．（安徽高二月考（理））已知函数
（1）若函数与有公共点，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.
10．（江西南昌·（文））已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.

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