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第23讲 正（余）弦定理
1、正弦定理
在三角形中，每一条边与对角正弦的比值相等，相等的比值等于三角形外接圆直径
关系式：的内角的对边分别为。
满足：，其中为三角形外接圆直径。
2、余弦定理。
内容：在三角形中，一条边的平方等于另外两条边的平方和减去二倍两边乘积再乘以夹角余弦。
关系式：的内角的对边分别为。
满足：①；②；③。
3、余弦定理推导式。
关系式：的内角的对边分别为。
满足：①；②；③。
4、三角形面积公式。
内容：三角形的面积等于两条边与夹角正弦的乘积的一半。
关系式：的内角的对边分别为。
满足：。
题型一：正弦定理
1．（河南高二月考（文））在中，角的对边分别为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
在中，因为，
由正弦定理得：，即，
解得：.
因为，所以，
所以.
故选：A
2．（全国高一课时练习）在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则角（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】
在中，由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，
因为，所以或，
故选：D.
3．（全国高一课时练习）在中，分别是内角的对边，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
bcos C+ccos B=b·+c·=a，所以A正确、B错误；
a=bsin C+csin B，
显然不恒成立，故C错误；
a=bsin C- csin B，故D错误.
故选：A
4．（全国高一单元测试）已知中，内角所对的边分别，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
在中，由正弦定理得：.
故选：B.
5．（重庆垫江第五中学校）在中，内角所对的边分别是，已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
在中，因，由正弦定理得：，
所以的值是.
故选：A
6．（日照神州天立高级中学有限责任公司高一月考）在中，，边的长度为1，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】
由正弦定理：，其中为三角形外接圆的半径
故：
故选：A
7．（江苏沭阳·高一期中）的内角的对边分别为．若，，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】
因为，，
由正弦定理可得，
所以．
故选：B．
8．（河北邯郸·高一期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，的外接圆半径为2.则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】
根据正弦定理知，
又因为，
所以，又，所以，
所以，
即，所以，
由正弦定理可得，解得，
故选：B.
9．（南昌市豫章中学高二开学考试（理））在中，若，则三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
在中，若，
由正弦定理化边为角可得：，
根据大边对大角，小边对小角可知：最大角为，最小角为，
设，，，
在中，由余弦定理可得：
，
因为，所以，
所以，
所以三角形的最大角与最小角的和是，
故选：B.
10．（北京市延庆区教育科学研究中心高二期末）在中，角所对的边分别为，，.若，，则（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】B
【详解】
由正弦定理，可得，
因为，
所以或.故B正确，ACD错误.
故选：B
11．（福建福州·）在中，，，，则此三角形（ ）
A．有两解 B．有一解 C．无解 D．解的个数不确定
【答案】A
【详解】
解：因为，，
所以顶点到的距离，
因为，所以，
所以以为圆心，为半径画弧与有两个交点，
所以三角形有两解，
故选：A
12．（江苏镇江·高一期中）在中，角所对的边分别为，，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】
在中，由余弦定理得，即，解得.
在中，由正弦定理得，为外接圆半径.
则.
故选:C
题型二：余弦定理
1．（河南新郑·高二月考（文））在中，，,，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
在中，由余弦定理可得，
所以
所以，
故选：.
2．（全国高一课时练习）在中，分别为角的对边，若，，，则的周长为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．25
【答案】A
【详解】
解：根据余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝52+82﹣5×8＝49，
所以c＝7，则△ABC的周长为20．
故选：A．
3．（全国高一课时练习）在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由余弦定理，得cos C=.因为C∈(0，π)，所以C=，sin C=.
故选：C
4．（江西九江一中高一月考）在中，内角所对的边分别为，若， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意，，由余弦定理，，
∵，∴.
故选：C.
5．（河北高三月考）在中，，，的对边分别为，，，，，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】
由余弦定理得，
即，
解得.
故选：B.
6．（梁河县第一中学高二开学考试）△中，角所对的边分别为，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由余弦定理知：，又，
∴.
故选：C
7．（肇州县第二中学高二期末）已知的角，所对的边分别为，，，，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【详解】
由余弦定理得，即，整理得，解得．
故选：B.
8．（徐闻县第一中学高一期中）在中，已知，则角为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】
因为，即，
由余弦定理可得，
又因为，所以.
故选：C.
9．（云南省南涧县第一中学高一月考）在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】
由余弦定理得，
，
所以.
故选：D
10．（晋中市新一双语学校（文））在三角形中，，则大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
在三角形中，，
由余弦定理得：
.
因为，所以.
故选：C
11．（河北邢台·）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
因为，所以．
故选：B
12．（江苏通州·高一期中）在中，，，，则等于（ ）
A． B．3 C． D．21
【答案】A
【详解】
在△ABC中，∠ACB＝，AC＝，BC＝3，
由余弦定理得：
.
故选：A
13．（河南高三月考（理））已知锐角三角形的三边长分别为2，5，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因2，5，是三角形的三边，则且，解得，
设这个三角形中长为5，m的边所对角分别为，显然长为2的边所对角必为锐角，
而这个三角形为锐角三角形，则由余弦定理得：，且，
即且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
14．（全国高二课时练习）已知是三边长，若满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
即，
，，
所以.
故选：A
题型三：面积公式
1．（四川新都·高三月考（文））在中，，，边上的中线的长度为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵，，边上的中线的长度为
∴根据余弦定理可得，即，解得
∴
∴的面积为
故选：B
2．（黑龙江哈尔滨·哈师大附中高三月考（理））已知， 则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，为锐角，则，，
，角为直角，
，，，
．
故选：B
3．（安徽镜湖·芜湖一中高三月考（理））已知中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【详解】
解：已知，
由余弦定理得：，
解得：，故，
.
所以的面积为1.
故选：B.
4．（全国高一课时练习）的三个内角的对边分别是，若的面积是，，，则＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】
解：因为△ABC的面积是，，a＝2c，
所以，解得，可得，
由余弦定理可得.
故选：C.
5．（云南玉溪·（文））在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】
依题意，所以，
设，则
，
化简得，
当且仅当时等号成立.
故选：A
6．（黑龙江大庆实验中学）在中，内角，，的对边分别为 ，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
在中，因为，，，
所以，
解得，
由余弦定理得：，
解得，
故选：A
7．（全国高三专题练习）过x轴上一点P向圆作圆的切线，切点为，则面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解法一（极限法）：如图所示，
若点P离原点越远趋向无穷远处时，越来越长，、也随着越来越长，
显然的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时，的面积逐渐变小，
当点P与原点重合时，，且此时的为正三角形，面积最小，
其最小面积为，
解法二（直接解法）：设，则，，
设，则有，，
于是，
，
显然上式是的单调递增函数，
当时，取最小值，
故选：A.
8．（广东第二师范学院高二月考）的内角的对边分别为．已知，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【详解】
因为，所以，
所以．
故的面积．
故选：C
9．（全国高一课时练习）在中，，且周长为30，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为，由正弦定理可得，
设，
又因为的周长为，可得，解得，
所以，
由余弦定理，可得，
所以，
所以的面积为.
故选：D.
10．（浙江省兰溪市第三中学）△的三个内角，，所对的边分别为，，，且，，其面积为2，则△的外接圆的直径为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【详解】
∵，
∴，又，
∴，可得.
设△的外接圆半径为，则，
∴.
故选：B.
11．（安徽金安·六安一中）在中，已知，当时，的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】
，，
所以三角形的面积为.
故选：D
12．（南昌县莲塘第一中学高一月考（文））在钝角中，已知，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由正弦定理，，
若，则为直角三角形，不合题意；
所以，则,所以.
故选：B.第23讲 正（余）弦定理
1、正弦定理
在三角形中，每一条边与对角正弦的比值相等，相等的比值等于三角形外接圆直径
关系式：的内角的对边分别为。
满足：，其中为三角形外接圆直径。
2、余弦定理。
内容：在三角形中，一条边的平方等于另外两条边的平方和减去二倍两边乘积再乘以夹角余弦。
关系式：的内角的对边分别为。
满足：①；②；③。
3、余弦定理推导式。
关系式：的内角的对边分别为。
满足：①；②；③。
4、三角形面积公式。
内容：三角形的面积等于两条边与夹角正弦的乘积的一半。
关系式：的内角的对边分别为。
满足：。
【题型一：正弦定理】
1．（河南高二月考（文））在中，角的对边分别为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（全国高一课时练习）在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则角（　　）
A． B． C．或 D．或
3．（全国高一课时练习）在中，分别是内角的对边，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（全国高一单元测试）已知中，内角所对的边分别，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（重庆垫江第五中学校）在中，内角所对的边分别是，已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（日照神州天立高级中学有限责任公司高一月考）在中，，边的长度为1，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
7．（江苏沭阳·高一期中）的内角的对边分别为．若，，则（ ）
A． B．2 C． D．
8．（河北邯郸·高一期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，的外接圆半径为2.则（ ）
A． B．2 C． D．4
9．（南昌市豫章中学高二开学考试（理））在中，若，则三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
10．（北京市延庆区教育科学研究中心高二期末）在中，角所对的边分别为，，.若，，则（ ）
A． B．或
C． D．
11．（福建福州·）在中，，，，则此三角形（ ）
A．有两解 B．有一解 C．无解 D．解的个数不确定
12．（江苏镇江·高一期中）在中，角所对的边分别为，，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
【题型二：余弦定理】
1．（河南新郑·高二月考（文））在中，，,，则（ ）
A． B． C． D．
2．（全国高一课时练习）在中，分别为角的对边，若，，，则的周长为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．25
3．（全国高一课时练习）在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（江西九江一中高一月考）在中，内角所对的边分别为，若， 则（ ）
A． B． C． D．
5．（河北高三月考）在中，，，的对边分别为，，，，，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（梁河县第一中学高二开学考试）△中，角所对的边分别为，若，则=（ ）
A． B． C． D．
7．（肇州县第二中学高二期末）已知的角，所对的边分别为，，，，则（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（徐闻县第一中学高一期中）在中，已知，则角为（ ）
A． B． C． D．或
9．（云南省南涧县第一中学高一月考）在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．（晋中市新一双语学校（文））在三角形中，，则大小为（ ）
A． B． C． D．
11．（河北邢台·）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
12．（江苏通州·高一期中）在中，，，，则等于（ ）
A． B．3 C． D．21
13．（河南高三月考（理））已知锐角三角形的三边长分别为2，5，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（全国高二课时练习）已知是三边长，若满足，则（ ）
A． B． C． D．
【题型三：面积公式】
1．（四川新都·高三月考（文））在中，，，边上的中线的长度为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（黑龙江哈尔滨·哈师大附中高三月考（理））已知， 则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（安徽镜湖·芜湖一中高三月考（理））已知中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
4．（全国高一课时练习）的三个内角的对边分别是，若的面积是，，，则＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（云南玉溪·（文））在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
6．（黑龙江大庆实验中学）在中，内角，，的对边分别为 ，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（全国高三专题练习）过x轴上一点P向圆作圆的切线，切点为，则面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（广东第二师范学院高二月考）的内角的对边分别为．已知，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．6
9．（全国高一课时练习）在中，，且周长为30，则（ ）
A． B． C． D．
10．（浙江省兰溪市第三中学）△的三个内角，，所对的边分别为，，，且，，其面积为2，则△的外接圆的直径为（ ）
A． B． C．4 D．5
11．（安徽金安·六安一中）在中，已知，当时，的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
12．（南昌县莲塘第一中学高一月考（文））在钝角中，已知，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．

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