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第24讲 复数
1、复数的有关概念
（1）形如 ()的数叫做复数，其中 分别是复数的实部和虚部．若 ，则 为实数；若 ，则 为虚数；若 且 ，则 为纯虚数．
(2)复数相等：()．
(3)的共轭复数为 ()．
(4)复数()与复平面的点一一对应．
(5)复数()的模
注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．
2、复平面及复数的几何意义
（1）.复平面
（2）复数的几何意义
①复数()复平面内的点.
②复数()平面向量.
（3）复数的模：①定义：向量的模叫做复数()的模或绝对值.
②记法：复数i的模记为或 ③公式：
（3）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示：的共轭复数用表示，即若()，则
3、复数加法与减法的运算法则
（1）设，()是任意两个复数，则
①；②
（2）对任意，有
①；②.
4、复数加减法的几何意义
如图，设复数，对应向量分别为，，四边形为平行四边形，向量与复数对应，向量与复数对应.
5、复数乘法的运算法则和运算律
（1）复数的乘法法则
设，()是任意两个复数，则.
2.复数乘法的运算律
对任意复数，有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
6、复数除法的法则
设，(，且)是任意两个复数，
则
7、方程的虚数根
对所有的实系数一元二次方程，若，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根，故实系数方程的虚根成对出现．
8、常用结论
①②③
【题型一：复数的相关概念】
1．（江苏鼓楼·南京市第二十九中学高二月考）已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
2．（上海市亭林中学）复数，则实数（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3
3．（江苏沭阳·）已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（江门市第二中学高一月考）若复数，其中i是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．-2i B．2i C．-2 D．2
5．（广东荔湾·广雅中学高三月考）若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．i B．4 C．-4i D．
【题型二：复数相等】
1．（福建永泰县三中高一月考）.若实数满足，则的值是（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．-3
2．（元氏县第四中学高二月考）已知，（，为虚数单位），则实数的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（安徽省亳州市第一中学）已知，复数，（为虚数单位），若，则（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-4
4．（临沂市兰山区教学研究室高一期中）若，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（永安市第三中学）已知复数，、，则（ ）
A． B． C． D．
【题型三：复数的几何意义】
1．（安徽省涡阳第一中学高二月考）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（全国高一课时练习）复数对应的点关于原点的对称点为，则对应的向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（全国高二课时练习）复数与对应的向量分别为，，则所对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
4．（湖南湘潭·高三一模）已知为虚数单位，复数，，则复数对应的复平面上的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（怀仁市大地学校高中部高一月考）复数（位虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【题型四：复数的模】
1．（大庆市东风中学（文））设复数（是虚数单位），则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（永州市第一中学高三月考）若复数满足，其中是虚数单位，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．3
3．（重庆市开州中学高三月考）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A． B．2 C． D．8
4．（全国高三月考（文））已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
5．（五华·云南师大附中高三月考（理））已知复数则为（ ）
A．2 B．4 C． D．10
6．（河北辛集中学高一月考）若复数，则是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【题型五：复数的四则运算】
1．（安徽省滁州中学高三月考（文））已知复数的共轭复数满足（为虚数单位），则复数（ ）
A． B． C． D．
2．（南京市中华中学高三月考）设，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（全国高三月考（文））复数满足为虚数单位)，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．（广东高三月考）已知为实数，且（是虚数单位），则（ ）
A．2 B．0 C． D．
5．（广东深圳·）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
6．（河南（理））已知复数，则的虚部为（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．2
7．（江苏广陵·扬州中学高一月考）复数满足，是的共轭复数，则（ ）
A． B． C．3 D．5第24讲 复数
1、复数的有关概念
（1）形如 ()的数叫做复数，其中 分别是复数的实部和虚部．若 ，则 为实数；若 ，则 为虚数；若 且 ，则 为纯虚数．
(2)复数相等：()．
(3)的共轭复数为 ()．
(4)复数()与复平面的点一一对应．
(5)复数()的模
注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．
2、复平面及复数的几何意义
（1）.复平面
（2）复数的几何意义
①复数()复平面内的点.
②复数()平面向量.
（3）复数的模：①定义：向量的模叫做复数()的模或绝对值.
②记法：复数i的模记为或 ③公式：
（3）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示：的共轭复数用表示，即若()，则
3、复数加法与减法的运算法则
（1）设，()是任意两个复数，则
①；②
（2）对任意，有
①；②.
4、复数加减法的几何意义
如图，设复数，对应向量分别为，，四边形为平行四边形，向量与复数对应，向量与复数对应.
5、复数乘法的运算法则和运算律
（1）复数的乘法法则
设，()是任意两个复数，则.
2.复数乘法的运算律
对任意复数，有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
6、复数除法的法则
设，(，且)是任意两个复数，
则
7、方程的虚数根
对所有的实系数一元二次方程，若，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根，故实系数方程的虚根成对出现．
8、常用结论
①②③
题型一：复数的相关概念
1．（江苏鼓楼·南京市第二十九中学高二月考）已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【详解】
是纯虚数，
，解得：.
故选：A.
2．（上海市亭林中学）复数，则实数（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3
【答案】B
【详解】
因为为实数，且，
所以，解得，
故选：B．
3．（江苏沭阳·）已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
依题意可得，解得.
故选：A.
4．（江门市第二中学高一月考）若复数，其中i是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．-2i B．2i C．-2 D．2
【答案】C
【详解】
解：由复数，
则复数的虚部为-2.
故选：C.
5．（广东荔湾·广雅中学高三月考）若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．i B．4 C．-4i D．
【答案】B
【详解】
由题：，，
所以z的虚部是4.
故选：B
题型二：复数相等
1．（福建永泰县三中高一月考）.若实数满足，则的值是（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．-3
【答案】C
【详解】
依题意，
所以.
故选：C
2．（元氏县第四中学高二月考）已知，（，为虚数单位），则实数的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】
，，
，，.
故选：C.
3．（安徽省亳州市第一中学）已知，复数，（为虚数单位），若，则（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-4
【答案】B
【详解】
解：，解得：，所以，
故选：B
4．（临沂市兰山区教学研究室高一期中）若，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】
若，则，
所以则是的充要条件.
故选：C
5．（永安市第三中学）已知复数，、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，所以，，则，因此，.
故选：D.
题型三：复数的几何意义
1．（安徽省涡阳第一中学高二月考）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】
由题意，
在复平面中对应的点坐标为，在第一象限
故选：A
2．（全国高一课时练习）复数对应的点关于原点的对称点为，则对应的向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）
∴Z关于原点的对称点为Z1（﹣3，﹣4）
对应的向量＝﹣3﹣4i
故选：A．
3．（全国高二课时练习）复数与对应的向量分别为，，则所对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意可知，向量对应的复数是.
故选：D
4．（湖南湘潭·高三一模）已知为虚数单位，复数，，则复数对应的复平面上的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】
因为，
所以对应的复平面上的点为，它位于第四象限．
故选：D．
5．（怀仁市大地学校高中部高一月考）复数（位虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】
由复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限．
故选：D．
题型四：复数的模
1．（大庆市东风中学（文））设复数（是虚数单位），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由复数，可得，所以，
所以.
故选：D.
2．（永州市第一中学高三月考）若复数满足，其中是虚数单位，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】
因为复数z满足，
所以复数z的模为，
故选：A
3．（重庆市开州中学高三月考）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】C
【详解】
由已知得，所以，
故选：C
4．（全国高三月考（文））已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由已知可得，则，所以得模为.
故选：.
5．（五华·云南师大附中高三月考（理））已知复数则为（ ）
A．2 B．4 C． D．10
【答案】C
【详解】
，，
故选：C．
6．（河北辛集中学高一月考）若复数，则是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【答案】C
【详解】
解：因为，
所以.
故选：C.
题型五：复数的四则运算
1．（安徽省滁州中学高三月考（文））已知复数的共轭复数满足（为虚数单位），则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由，
得，
则复数.
故选：C.
2．（南京市中华中学高三月考）设，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，
所以，
所以的虚部为，
故选：C
3．（全国高三月考（文））复数满足为虚数单位)，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由，得，
所以复数的虚部为，
故选：A
4．（广东高三月考）已知为实数，且（是虚数单位），则（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】B
【详解】
，
，
故选：B
5．（广东深圳·）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【详解】
化简原式可得：
z为纯虚数时，≠0即 ，选项A正确，选项BCD错误.
故选
6．（河南（理））已知复数，则的虚部为（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．2
【答案】A
【详解】
解：，
故复数的虚部为.
故选：A.
7．（江苏广陵·扬州中学高一月考）复数满足，是的共轭复数，则（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【详解】
由题设，，
∴.
故选：D

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