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(共42张PPT)
2024年秋季
人教版数学八年级上册
第十三章 轴对称
13.4 最短路径问题
1.能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，培养从实际问题抽象出熟悉模型的方法，增强应用意识.
2.体会图形的变换在解决最值问题中的作用，培养几何直观和模型观念.
3.通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识.
学习重点：
1. 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”.
2. 利用轴对称和平移将造桥选址问题转化为“两点之间，
线段最短”问题.
学习难点：最短路径问题的解决思路及证明方法.
1.如图，连接A，B两点的所有线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短.
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
PC最短，因为垂线段最短.
P
l
A
B
C
D
3.在以前学习过哪些有关线段大小的结论？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A ′
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
利用对称知识解决最短路径问题
知识点 1
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
抽象成
A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
解：连接AB,与直线l相交于一点C.
问题1：
A
l
B
C
学生活动一 【一起探究】
如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？
【思考】对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
问题2：
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴　AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC +BC＜AC′+BC′．
即　AC +BC 最短．
问题3：
A
B
l
B ′
C
C ′
例1 如图，已知点D,点E分别是等边三角形ABC中BC,
AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF
的最小值为（　　）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
B
最短路径问题的应用
素养考点
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.而CE=AD.
方法点拨
此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，再根据已知条件求解.
如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
答案：D
P
Q
l
A.
M
P
Q
l
B.
M
P
Q
l
C.
M
P
Q
l
D.
M
如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.
解：如图，P点即为该点.
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
A
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
B′
C′
E
方法点拨
求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.
解：如图AP+AB即为
最短的放牧路线.
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
B
A
A
B
N
M
利用平移知识解决造桥选址问题
知识点 2
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的
路径是AM+MN+BN，那么怎样确定桥的位置，才能使A到B的路径最短呢？
B
A
●
●
学生活动二 【一起探究】
B
A
●
●

N
M
N
N
M
M
【思考】我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
1.把A平移到岸边.
2.把B平移到岸边.
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
B
A
Ｍ
Ｎ
B
A
Ｍ
Ｎ
A'
B'
1.把A平移到岸边.
AM+MN+BN长度改变了.
2.把B平移到岸边.
AM+MN+BN长度改变了.
B
A
Ｍ
Ｎ
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN长度有没有改变呢？
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
B
A
A1
M
N
理由:另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1 +M1N1+BN1转化为AA1＋A1N1+BN1.
在△A1N1B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
A·
B
M
N
E
C
D
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
方法点拨
牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.
A
B
P
Q
.
.
.
.
如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小.
A
D ′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
原理
线段公理和垂线段最短
最短路径问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”和同侧点平移
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
思想
化归思想
1.课本第93页 拓广探索第13、15题.
2.相应课时练习.
谢谢！同学们再见！
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