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第17讲 加减法的巧算
专题概述
加减是小学三年级中最为常见的两种运算方式，而计算中遇到大数则是我们最为头疼的问题。有没有什么方法能够简便我们的计算呢
事实上，并非所有的大数加减都是麻烦的。例如，整十、整百、整千……之间的计算相对而言就简单许多。所以，在遇到大数加减时，将大数转换成整十、整百……(可以“借数凑整”，也可以“分割凑整”)便能减少我们的计算量。
另一方面，在多个数字进行相加时，我们可以通过调换加数之间的运算顺序，简便我们的计算。
开括号原则：
(1)括号前是“+”：括号随意开，加数性质不变。即(a+b)+c=a+b+c=a+(b+c)。
(2)括号前是“一”：开括号要慎重，原来的加数(或被减数)会变成减数，减数会变成加数。即a-(b+c)=a-b-c,a-(b-c)=a-b+c。
加法的运算定律：
(1)加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。
(2)加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加,再和第一个数相加,它们的和不变,即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。
减法的运算规律：
(1)在同一减式中，连续减去几个减数，相当于减去几个减数的和，即a-b-c=a-(b+c)。
(2)一个减式后面加上一个加数，可优先被减数与加数相加，其结果不变，即a-b+c=a+c-b；反之，加数与加数相加再减去一个减数，可优先算减法，再算加法，其结果不变。即a+b-c=a-c+b。
加减巧算的方法有许多，根据不同组合，还能变换出更多的计算方案。而方案的选择，则需基于对式子的观察。
典型例题1
计算下列各式。
(1) 299+27 (2)372+109
(3)199+302
分析 对于加法计算，一般有两种方法可以进行“凑整”。
(1)对于“299”这样十分接近整百的数，我们可以通过“借数”的方法进行求解。299距300还差了1,即300是借了“1”之后的299。但是 299并不是300,所以还要把借来的“1”还给300。 简而言之:299=300一1。
然后，将式子中的“299”用“300”进行替换，再将借来的“1”还掉，所以还要再减去1，即“300+27—1”。
(2)对于“109”这样十分接近整百的数，我们可以通过“分割”的方法进行求解。109较100 多了9,即 109可以分割为“100”和“9”。
将式子中的“109”用“100”和“9”进行替换,即“372+100+9”。
若是想将计算再简化，可进行二次分割。如将“372”分为“300”和“72”。这样，“100”和“300”,“9”和“72”分别相加,最后汇合相加。
(3)本题中既有“199”这样可“借数凑整”的数，又有“302”这样方便“分割凑整”的数。故而本题的解法多样，可以仅仅使用“借数凑整”，也可以“分割凑整”，更可以将两者结合在一起使用。
解 (1)299+27=300+27-1=327-1=326
(2)解法一:372+109=372+100+9=472+9=481
解法二:372+109=300+72+100+9=(300+100)+(72+9)=400+81=481
(3)解法一:199+302=200+302-1=502-1=501
解法二:199+302=199+300+2=499+2=501
解法三:199+302=200+300+2-1=501
思维训练1 >
计算下列各式。
1. (1) 299+74 (2)247+104
299+104
2. (1) 64+388 (2)212+543
(3) 212+388
典型例题2
计算下列各式。
(1) 884—507 (2)507—256
(3)684—197 (4) 312—98
分析 对于减法计算，“凑整”的方法与加法中的“凑整”类似，皆可以“借数”或“分割”。不同的是，减法中的运算方式比加法中的更加复杂。
(1) 本题中,可将“507”分割为“500”和“7”。然而“507”作为减数,里面所包含的所有数,都应该减去，故而要减去“500”，减去“7”。
(2) 本题中,可将“507”分割为“500”和“7”。与(1)不同的是,“507”是作为被减数出现,故而“500”与“7”皆为本来就应该有的，存在的数，可看作加数。根据减法的运算规律，可先算减法，再算加法。
(3)“197”较为接近“200”，故而我们可采用“借数凑整”。 由于“197”是减数，故而借来的“3”，是多减的，后面要加还回来。
(4)“312”接近“300”,“98”接近“100”,故而我们可以双管齐下,皆化为整数再进行求解。
解 (1) 884-507=884-500-7=384-7=377
(2)507—256=500+7—256=500—256+7=244+7=251
(3)684-197=684-200+3=484+3=487
(4)312—98=300+12—100+2=300—100+12+2=214
思维训练2
计算下列各式。
(1) 785—708 (2) 708—230
(3)230—189 (4)708—189
2. (1) 401—374 (2)660—401
(3)660—398 (4) 401—398
典型例题3
计算下列各式。
(1) 28+34+72+66 (2) 820—63—237
(3)9+98+997+9996 (4)787—79—21—87
分析 对于多个数相加或相减的计算我们可以结合一些加减法的运算规律进行计算。
(1) 经过观察,从式子中我们可以发现无须“借数”或“分割”,“28”与“72”,“34”与“66”皆能“凑整”。因而，我们可以运用加法交换律和加法结合律，将部分加数位置进行调换，再两两结合计算。
(2)经过观察，我们不难发现，两个减数之和为300，故我们可以用减法的运算规律，将两次减法----“820—63=757”与“757—237=520”,化为一次----“820—300”。
(3)经过观察，我们发现，四个加数分别与整十、整百、整千……都非常接近。故我们可以采用“借数凑整”的方法进行求解。其中,“9”需要借1,“98”需要借2,“997”需要借3,“9996”需要借4，一共借了10，所以最后要还10。
(4) 经过观察,我们发现,不仅两个减数——“79”与“21”——能凑整,787 与 87 的减法计算也非常的方便。故在这里，我们可以选用两种减法运算规律进行巧算。一方面调换减数顺序，优先使被减数“787”减去“87”；另一方面，将减数“79”与减数“21”进行相加求和。最后汇总相减。
从这四道题的解答，我们可以知道，对于多数加减的计算，需要注意观察，再选择合适的解答方法。
解 (1)28+34+72+66=(28+72)+(34+66)=100+100=200
(2)820-63-237=820-(63+237)=820-300=520
(3)9+98+997+9996=10+100+1000+10000—10=11100
(4)787-79-21-87=(787-87)-(79+21)=700-100=600
思维训练3
计算下列各式。
1. (1) 88+34+166+112 (2) 888-633-67
(3) 91+991+9991+99991 (4) 5000—83—1000—2017
2. (1) 258+334+712+666 (2) 920—36—364
(3)8+18+198+1998 (4) 2017-879-117-21
典型例题4
计算下列各式。
(1) 182-98+58 (2)351—(198+151)
(3) 641—461+161
分析 对于这种加减混合计算，观察就显得更为重要了。
经过观察，我们不难发现，被减数“182”与加数“58”相加能凑整。其中需要注意的是，“98”属于减数，不能与被减数相加。
另外，“98”作为十分接近整百的数，可以借数凑整。然而“98”作为减数，借来的“2”是多减的，所以还回来的时候，要加“2”。
(2)经过观察，我们不难发现，351与151的十位和个位相同，若是能够相减，能简便整体计算。而对于减式，小括号的使用需要慎重。由于括号前面是“一”，所以加数“198”和加数“151”都要变成减数，变成351—198—151。接下来，运用减法的运算规律，调换同一减式的减数位置,变成351—151—198。
(3)经过观察，我们不难发现，461和161的十位和个位相同，若是能够相减，能简便整体计算。然而161小于461,不够减,故而我们可以将“461”拆分为“161”和“300”,进而简便运算,即641—461+161=641—300——161+161。此时式子里面只有“300”与“161”是减数,需要减去，故可将式子变换为“641—300+161—161”，为了快捷计算，我们还可以加上小括号，以便两个式子同时计算。需要注意的是算术式中含有“一”，加括号之前要斟酌再三，看清减数。
解 (1)182—98+58=182+58—98=240—98=240—100+2=140+2=142
(2)351-(198+151)=351—198—151=351—151—198—200—198=2
(3)641—461+161=641—300—161+161=(641—300)+(161—161)=341
思维训练4
计算下列各式。
1. (1) 133—89+67 (2) 863-(739+63)
(3) 911—873+273
2.(1) 374—838+526 (2)471—(167+261)
中小学教育资源及组卷应用平台
(3) 939—814+114
竞赛强化
1. 13+14+19+99+998+9997
2. 84+95+18
3. 677+364—177
4. 665—137—265
5. 927—(27+199)
6. 803+806+905-722+708
7. 971—378—389—123—31
8. 1+2+3+4+…+99
9. 2222—599—499—399—299—199—99
用两种方法求和:92+21+321+979+88
思维训练1
1. (1) 299+74=300+74—1=374—1=373
(2) 247+104=247+100+4=347+4=351
(3)解法一:299+104=300+104-1=404-1=403
解法二:299+104=299+100+4=399+4=403
解法三:299+104 = 300+100+ 4 -1=403
2.(1) 64+388=64+400—12=464—12=452
(2) 212+543=200+543+12=743+12=755
(3)解法一:212+388=212+400-12=612-12=600;
解法二:212+388=200+388+12=588+12=600;
解法三:212+388=200+300+12+88=600;
解法四:212+388=200+400+12—12=600。
思维训练2
1. (1) 解法一:785-708=785-700—8=85-8=77;
解法二:785-708=785-700-8=85-8=85-10+2=75+2=77。
(2) 708—230—700+8—200—30—700-200-30+8=478
(3)230—189=230—200+11=30+11=41
(4)708-189=700+8-200+11=(700-200)+(8+11)=519
2. (1) 解法一:401—374—400—374+1=27;
解法二:401—374=401—301—73=100—73=27。
(2) 660--401=660--400--1=260—1=259
(3) 660--398=660--400+2=260+2=262
(4) 401-398=3
思维训练3
1. (1) 88+34+166+112=(88+112)+(34+166)=200+200=400
(2)888-633-67=888-(633+67)=888-700=188
(3)91+991+9991+99991=100+1000+10000+100000--9×4=111100--36=111064
(4) 5000—83—1000—2017=(5000—1000)一(83+2017)=4000—2100=1900
2.(1) 258+334+712+666=(258+712)+(334+666)=970+1000=1970
(2)920—36—364—920—(36+364)—920-400=520
(3)8+18+198+1998=10+20+200+2000—2×4=2230—8=2222
(4) 解法一:2017—879—117—21—(2017-117)--(879+21)=1900-900=1000;
解法二:2017—879—117—21=2017—(117+879+21)=2017-1017=1000。
思维训练4
1. (1) 133—89+67=133+67—89=200—89=111
(2) 解法一:863--(739+63)=863-739—63=863—63—739—800—700—39=100—39=61;
解法二:863—(739+63)=863—739—63=863-63-739=800-740+1=60+1=61。
(3)911—873+273=911—273—600+273=(911—600)+(273—273)=311
2. (1) 374—838+526=374+526—838=900-838=62
(2)471—(167+261)=471—167—261—471—261—167=210—167=200+10—167=200-167+10=33+10=43
(3)939-814+114=939—114—700+114=(939-700)+(114-114)=239
竞赛强化
1. 解法一:13+14+19+99+998+9997=(13+14)+(19+1)+(99+1)+(998+2)+(9997+3)-(1+1+2+3)=27+100+1000+10000-7=11140;
解法二:13+14+19+99+998+9997=10+1+2+10+1+3+19+99+998+9997=(10+10)+(19+1)+(99+1)+(998+2)+(9997+3)=20+20+100+1000+10000=11140。
2. 84+95+18=(84—4)+95+(18+2)+4-2=80+95+20+2=197
3. 677+364-177=677-177+364=500+364=864
4. 665—137—265—665—265—137—400—100-37=300-37=263
5. 927—(27+199)=927—27—199=900—200+1=701
6. 803+806+905-722+708=800+800+900+700+3+6+5+8-722=2500+722—722—2500
7. 971—378—389—123—31=971—31—(378+389+123)=940--(378+389+111+12)=940-890=50
8. 1+2+3+4+…+99=(1+99)+(2+88)+…+(49+51)+(50+50)-50=100×(100÷2)-50=5000-50=4950
9. 2222—599—499—399—299—199—99—2222—(599+1)—(499+1)—(399+1)—(299+1)--(199+1)--(99+1)+6=2222—600—500—400—300—200—100—6=(2222+6)-(600+500+400+300+200+100)=2228-2100=128
10. 解法一:92+21+321+979+88=90+2+20+1+320+1+980-1+80+8=90+(20+980)+(320+80)+(2+8+1)+(1—1)=90+1000+400+11=1501;解法二:92+21+321+979+88=(92+88)+(321+979)+21=1501。

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