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第27讲 平面向量的数量积
1、向量的数量积(内积)
对于两个非零向量与，我们把数量叫做和的数量积(或内积)，记作，即。
2、两个向量内积有如下重要性质
(1)如果是单位向量，则()．
(2)
(3)或
(4)．
(5)
题型一：平面向量数量积的定义
1．（江西景德镇一中高一期中（理））在中，若，则此三角形为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【详解】
∵，
∴，
∴是钝角，则△ABC是钝角三角形.
故选：A.
2．（北京东城·）若都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
方向相同大小相等的向量是相等向量，但是不一定方向相同，故A错误；
，为的夹角，因为，所以，所以不一定等于1，故B错误；
方向相同或者相反的向量是平行向量，但是不一定方向相同或相反，故C错误；
因为都是单位向量，所以，所以，故D正确，
故选：D.
3．（上海）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对A，，故A错误；
对B，由于向量的数量积为数，所以向量不满足乘法的结合律，故B错误；
对C，，故C错误，
对D，向量的数量积为数，故正确.
故选：D.
4．（全国）下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：对于A：，故A错误；
对于B：由可以得到，但是由得不到，当时，故B错误；
对于C：若则或，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
5．（全国高一课时练习）下列命题正确的个数是
①； ②；③； ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】
由两相反向量的和为零向量知①正确；
由于两向量的数量积结果为一实数知②错误，正确结果应为0；
由向量的减法运算法则，③错；
由向量数乘的意义知，④错，
即正确的个数是，故选A.
6．（浙江高一单元测试）设、、是非零向量，则下列说法中正确是
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【详解】
由题意得，对于A中，表示与共线的向量，
表示与共线的向量，所以不正确；
对于B中，时，此时，
而，所以不正确；
对于C中，若，
而此时与不一定是相等向量，所以不正确；
对于D中，因为、、是非零向量，
若，则是正确.
故选：D.
题型二：平面向量数量积的意义
1．（江西九江一中高一期中）向量在向量上的射影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
向量在向量上的射影为
，
故选：D
2．（四川成都外国语学校高一期中（理））已知，，向量在方向上投影是4，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【答案】A
【详解】
解：设两个向量的夹角为，由题意已知，，
向量在方向上投影是4，则，
所以；
故选：A.
3．（河北巨鹿中学高一月考）已知，向量与向量的夹角为，是与同向的单位向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为，向量与向量的夹角为，是与同向的单位向量，
所以在上的投影向量为
，
故选：D
4．（浙江绍兴·）已知向量，，则在方向上的投影是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．3
【答案】D
【详解】
在方向上的投影为.
故选：D
5．（江苏省太湖高级中学高一期中）已知向量=(2，1)，=(1，﹣1)，向量在方向上的投影向量为（ ）
A．(2，﹣2) B．(，) C．(，) D．(，)
【答案】B
【点睛】
向量在方向上的投影，
因为投影向量与方向相同，，
所以向量在方向上的投影向量为.
故选：B
6．（全国高二课时练习）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【详解】
，
在的方向上的投影向量为：，
所以在的方向上的投影向量的模长为，
故选：C.
7．（湖北）已知向量，，与同向的单位向量为，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
在方向上的投影为，又是与方向相同的单位向量，在方向上的投影向量为
故选：D
题型三：模
1．（嘉峪关市第一中学高二期末（文））已知向量，的夹角为60°，，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【详解】
∵向量，的夹角为60°，且，，∴，
∴.
故选：D．
2．（全国）已知为单位向量，且，，则（ ）
A．3 B．5 C．10 D．14
【答案】D
【详解】
因为为单位向量，所以，
.
故选：D
3．（梁河县第一中学高二月考）已知＝4， ＝8，与的夹角为120°，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
.
故选：A
4．（河西·天津实验中学）平面向量与的夹角为60°，，则等于（ ）
A． B．2 C．4 D．12
【答案】B
【详解】
因为，
所以，
因为向量与的夹角为60°，
所以，
所以，
故选：B
5．（海口中学高三月考）已知，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【详解】
，
所以.
故选：A
6．（遵义市第三中学高一期中）已知向量，，满足，，．则（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【答案】B
【详解】
因为，，，
所以，
故选：B
7．（泾县中学高一月考）设向量，均为单位向量，且满足，则（ ）
A． B．13 C．4 D．5
【答案】A
【详解】
因为，所以
所以.
故选：A
8．（湖南）已知向量，的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：由，得，
因为向量，的夹角为，，
所以，所以，解得，
故选：A
9．（陕西汉中·高三月考（理））若单位向量满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为为单位向量，
所以，所以,
所以，
故选：C.
10．（酉阳土家族苗族自治县第三中学校高三模拟预测）已知向量满足，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】B
【详解】
∵向量满足，
，
，
，
，
故选：B
11．（全国高三模拟预测（理））平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由已知，
，
.
故选: B .
12．（西藏拉萨中学高三月考（文））已知平面向量与的夹角为，且为单位向量，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】
由已知可得，，则，
所以，则.
故选：B.
13．（全国高三月考）已知平面向量与的夹角为60°，，，则的值为（ ）
A． B．2
C．4 D．
【答案】B
【详解】
因为，所以，又平面向量与的夹角为60°，
==
故选：B
14．（威远中学校高一月考（文））已知，满足：，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，
所以，．
故选：D．
题型四：平行与垂直关系
1．（广东惠州·高一期中）已知向量，，且，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【详解】
由题知，向量，，
若，则，.
故选：C.
2．（厦门市湖滨中学）已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意得，所以，
因为，所以，所以，得.
故选:A
3．（沙坪坝·重庆八中高三月考）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由条件，，所以，从而.
故选：D
4．（贵州凯里一中高二期末（文））若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】
故选：C
5．（全国高一课时练习）已知向量，，且，那么t等于（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
【答案】A
【详解】
因为，，且，
所以即，解得
故选：A
6．（四川射洪中学高三月考（文））已知，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，所以，解得
故选：C
7．（湖南高二月考）向量，若，则（ ）
A．3 B． C．12 D．
【答案】A
【详解】
由于，所以，解得.
故选：A
题型五：夹角
1．（全国）为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设向量的夹角为θ，则.
故选：A.
2．（云南省南涧县第一中学高一月考）设向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为，，
所以.
故选：A.
3．（山西临汾·）设，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为，
所以，，，
设向量与的夹角，
所以，
又，
所以与的夹角为．
故选：．
4．（浙江鄞州·宁波咸祥中学高一期中）已知，则夹角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
依题意.
故选：D
5．（江苏江都·高一期中）已知向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
,
所以，
故选：B.
6．（山东菏泽·高一期末）设向量，，若，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【详解】
解：因为向量，，，
所以，解得，
所以，则，
设与的夹角为，则，
因为，所以，即，
故选：B
7．（全国高三专题练习（文））已知非零向量，若，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
∵，∴t=4，∴，又，
∴.
设与的夹角为θ，则，
因为，所以.
故选：A．
8．（全国高三专题练习（理））设向量，，向量与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由向量，，因为向量与的夹角为锐角，则且，解得且，即的取值范围为.
故选：.C.
9．（嫩江市第一中学校高一期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，，
所以，
所以.
设与的夹角为，
则.
因为，
所以.
故选：B
10．（河南南阳·高二期末（理））已知向量，，则“”是“为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
若为钝角，则且与不共线，即，即且，
所以“”是“为钝角”的必要不充分条件.
故选：B.中小学教育资源及组卷应用平台
第27讲 平面向量的数量积
1、向量的数量积(内积)
对于两个非零向量与，我们把数量叫做和的数量积(或内积)，记作，即。
2、两个向量内积有如下重要性质
(1)如果是单位向量，则()．
(2)
(3)或
(4)．
(5)
【题型一：平面向量数量积的定义】
1．（江西景德镇一中高一期中（理））在中，若，则此三角形为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
2．（北京东城·）若都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（上海）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（全国）下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（全国高一课时练习）下列命题正确的个数是
①； ②；③； ④
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（浙江高一单元测试）设、、是非零向量，则下列说法中正确是
A． B．
C．若，则 D．若，则
【题型二：平面向量数量积的意义】
1．（江西九江一中高一期中）向量在向量上的射影为（ ）
A． B． C． D．
2．（四川成都外国语学校高一期中（理））已知，，向量在方向上投影是4，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
3．（河北巨鹿中学高一月考）已知，向量与向量的夹角为，是与同向的单位向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（浙江绍兴·）已知向量，，则在方向上的投影是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．3
5．（江苏省太湖高级中学高一期中）已知向量=(2，1)，=(1，﹣1)，向量在方向上的投影向量为（ ）
A．(2，﹣2) B．(，) C．(，) D．(，)
6．（全国高二课时练习）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2 B． C． D．4
7．（湖北）已知向量，，与同向的单位向量为，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【题型三：模】
1．（嘉峪关市第一中学高二期末（文））已知向量，的夹角为60°，，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（全国）已知为单位向量，且，，则（ ）
A．3 B．5 C．10 D．14
3．（梁河县第一中学高二月考）已知＝4， ＝8，与的夹角为120°，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．（河西·天津实验中学）平面向量与的夹角为60°，，则等于（ ）
A． B．2 C．4 D．12
5．（海口中学高三月考）已知，则（ ）
A． B．2 C． D．3
6．（遵义市第三中学高一期中）已知向量，，满足，，．则（ ）
A．4 B． C．6 D．8
7．（泾县中学高一月考）设向量，均为单位向量，且满足，则（ ）
A． B．13 C．4 D．5
8．（湖南）已知向量，的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（陕西汉中·高三月考（理））若单位向量满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．（酉阳土家族苗族自治县第三中学校高三模拟预测）已知向量满足，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
11．（全国高三模拟预测（理））平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（西藏拉萨中学高三月考（文））已知平面向量与的夹角为，且为单位向量，则（ ）
A．1 B． C． D．
13．（全国高三月考）已知平面向量与的夹角为60°，，，则的值为（ ）
A． B．2
C．4 D．
14．（威远中学校高一月考（文））已知，满足：，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型四：平行与垂直关系】
1．（广东惠州·高一期中）已知向量，，且，则（ ）
A． B．2 C． D．1
2．（厦门市湖滨中学）已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（沙坪坝·重庆八中高三月考）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（贵州凯里一中高二期末（文））若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（全国高一课时练习）已知向量，，且，那么t等于（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
6．（四川射洪中学高三月考（文））已知，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（湖南高二月考）向量，若，则（ ）
A．3 B． C．12 D．
【题型五：夹角】
1．（全国）为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（云南省南涧县第一中学高一月考）设向量，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（山西临汾·）设，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（浙江鄞州·宁波咸祥中学高一期中）已知，则夹角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（江苏江都·高一期中）已知向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．（山东菏泽·高一期末）设向量，，若，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
7．（全国高三专题练习（文））已知非零向量，若，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
8．（全国高三专题练习（理））设向量，，向量与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（嫩江市第一中学校高一期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．（河南南阳·高二期末（理））已知向量，，则“”是“为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

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