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第29讲 等比数列
1、等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()
符号语言（或者）(为常数，，)
2、等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比．
3、等比中项
(1)前提：三个数，，成等比数列．
(2)结论：叫做，的等比中项．
(3)满足的关系式：.
4、等比数列项的运算性质
在等比数列中，若，则.
①特别地，当时，
5、等比数列前项和
6、等比数列中依次项之和，，，,…组成公比为（）的等比数列
题型一：等比数列通项公式
1．（云南师大附中高三月考（文））已知等比数列满足，，则（ ）
A．12 B．16
C．32 D．64
【答案】D
【详解】
因为
所以解得或（舍去），所以.
所以.
故选:D
2．（全国高二课时练习）在等比数列中，，，则等于（ ）
A．16 B．16或-16
C．32 D．32或-32
【答案】C
【详解】
由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.
故选：C
3．（新和县实验中学高一期末）在数列中，若，，则（ ）
A．24 B．48 C．96 D．192
【答案】C
【详解】
因为，，所以是等比数列，公比为，
所以.
故选：C.
4．（陆良县中枢镇第二中学高二月考）公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】
由题知：
所以，即，因此．
故选：B
5．（宁夏银川一中（文））已知等比数满足，则数列的公比（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【详解】
由题意可得，
可得.
故选：C
6．（全国）在等比数列中，，则项数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】
在等比数列中，，，，
所以，即
解得：，
故选：B.
题型二：等比中项
1．（镇远县文德民族中学校高一月考）在等比数列中，若，，那么等于（ ）
A． B．5 C． D．25
【答案】C
【详解】
由题意，等比数列中，满足，，
根据等比中项，可得，所以.
故选：C.
2．（赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））在递增的正项等比数列中，和是方程的两个根，则（ ）.
A．4 B． C． D．2
【答案】A
【详解】
和是方程的两个根，故或.
因为为递增的正项等比数列，故，故.
又且，故，
故选：A.
3．（全国高三专题练习（理））已知成等比数列，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】
解：因为成等比数列，所以，即，所以
故选：A
4．（全国高二专题练习）已知递增等差数列，且为与的等比中项，则公差（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】D
【详解】
解：因为且为与的等比中项，
所以，解得或(舍)，
故选：D.
5．（广西浦北中学高一月考）与的等比中项是（ ）
A．1 B． C．2 D．或1
【答案】D
【详解】
由题意可设与的等比中项是，
则，解得或.
故选：D.
题型三： 等比数列的性质及应用
1．（全国）在等比数列|中，，，则的值为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．192
【答案】D
【详解】
由，得，由，得，
所以，所以．
故选：D．
2．（南昌市豫章中学高二开学考试（文））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．2 C．30 D．32
【答案】D
【详解】
解：因为是等比数列，所以数列也是等比数列，
因为，，所以的公比为，所以.
故选：D
3．（建平县实验中学高二期中）在等比数列中，，，则（ ）
A．12 B． C． D．15
【答案】C
【详解】
由等比数列的性质，，∴．
故选：C
4．（青海海东·平安一中）在等比数列中，，则等于（ ）
A．16 B．32 C．4 D．8
【答案】A
【详解】
解：因为在等比数列中，，
所以，
故选：A
5．（广西浦北中学高二期中（文））已知等比数列中，，则的值等于（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
【答案】C
【详解】
是等比数列，，.
故选：C.
6．（全国高二单元测试）一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）．
A．83 B．108 C．75 D．63
【答案】D
【详解】
设等比数列前项和为，
因为等比数列前项的和为48且不为零，则成等比数列，
故，故，
故选：D.
7．（广西平果二中高一期中）记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．24 B．28 C．48 D．84
【答案】D
【详解】
由等比数列的性质，可得成等比数列，
所以，即，解得.
故选：D.
8．（运城市新康国际实验学校）设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】C
【详解】
因为为等比数列的前项和，所以，，成等比数列，
所以，即，解得.
故选：C
9．（全国高二专题练习）在等比数列中，如果，，那么＝（ ）
A．135 B．100
C．95 D．80
【答案】A
【详解】
由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，
其首项为40，公比为，
所以a7＋a8＝.
故选：A
10．（三亚华侨学校）已知等比数列中，，则前9项之和等于
A．50 B．70 C．80 D．90
【答案】B
【详解】
解：因为等长连续片段的和依然是等比数列，因此可知S3，S6- S3，S9- S6，解得前9项的和为70，选B
题型四： 等比数列前项和
1．（广西桂林·（理））首项为1，公比为2的等比数列的前6项和为（ ）
A．62 B．63 C．66 D．68
【答案】B
【详解】
设等比数列，，公比
则前6项和
故选：B
2．（新蔡县第一高级中学高二月考）已知等比数列中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，等比数列中，，
可得，解得，
所以.
故选：A.
3．（全国）等比数列中，，，为的前项和．若，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．不存在
【答案】A
【详解】
等比数列中，，，则，则．
当时，若，则有，解得；
当时，若，则有，整理可得，无整数解．故．
故选：A．
4．（威宁民族中学高一期中）若递增的等比数列的前项和为，，则等于（ ）
A．63 B．64 C．65 D．66
【答案】A
【详解】
设等比数列公比为q，由得，
所以，或，
因为数列递增且，所以，
所以．
故选：A．
5．（西藏昌都市第一高级中学高二月考）在各项均为正数的等比数列中，已知，，求：
（1）与公比的值；
（2）数列前6项的和 .
【答案】（1）；（2）63.
【详解】
（1）由已知得，解得
（2）由求和公式可得
6．（金昌市第一中学高一期中（文））（1）在等差数列中，已知，，求；
（2）在数列中，，，为的前项和.若，求 .
【答案】（1）an＝4n－27；（2）6.
【详解】
解：（1）解法一：设首项为a1，公差为d，依条件得
解得
所以an＝－23＋（n－1）×4＝4n－27.
解法二：由d＝，得d＝＝＝4，
由an＝a15＋（n－15）d，得an＝4n－27.
（2）因为在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
因为Sn＝126，所以＝126，
解得2n＋1＝128，所以n＝6.
7．（全国高二单元测试）在等比数列中，，公比，前项和，求首项和项数.
【答案】，.
【详解】
，；
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第29讲 等比数列
1、等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()
符号语言（或者）(为常数，，)
2、等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比．
3、等比中项
(1)前提：三个数，，成等比数列．
(2)结论：叫做，的等比中项．
(3)满足的关系式：.
4、等比数列项的运算性质
在等比数列中，若，则.
①特别地，当时，
5、等比数列前项和
6、等比数列中依次项之和，，，,…组成公比为（）的等比数列
【题型一：等比数列通项公式】
1．（云南师大附中高三月考（文））已知等比数列满足，，则（ ）
A．12 B．16
C．32 D．64
2．（全国高二课时练习）在等比数列中，，，则等于（ ）
A．16 B．16或-16
C．32 D．32或-32
3．（新和县实验中学高一期末）在数列中，若，，则（ ）
A．24 B．48 C．96 D．192
4．（陆良县中枢镇第二中学高二月考）公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（宁夏银川一中（文））已知等比数满足，则数列的公比（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（全国）在等比数列中，，则项数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型二：等比中项】
1．（镇远县文德民族中学校高一月考）在等比数列中，若，，那么等于（ ）
A． B．5 C． D．25
2．（赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））在递增的正项等比数列中，和是方程的两个根，则（ ）.
A．4 B． C． D．2
3．（全国高三专题练习（理））已知成等比数列，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（全国高二专题练习）已知递增等差数列，且为与的等比中项，则公差（ ）
A． B．或 C．或 D．
5．（广西浦北中学高一月考）与的等比中项是（ ）
A．1 B． C．2 D．或1
【题型三： 等比数列的性质及应用】
1．（全国）在等比数列|中，，，则的值为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．192
2．（南昌市豫章中学高二开学考试（文））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．2 C．30 D．32
3．（建平县实验中学高二期中）在等比数列中，，，则（ ）
A．12 B． C． D．15
4．（青海海东·平安一中）在等比数列中，，则等于（ ）
A．16 B．32 C．4 D．8
5．（广西浦北中学高二期中（文））已知等比数列中，，则的值等于（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
6．（全国高二单元测试）一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）．
A．83 B．108 C．75 D．63
7．（广西平果二中高一期中）记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．24 B．28 C．48 D．84
8．（运城市新康国际实验学校）设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
9．（全国高二专题练习）在等比数列中，如果，，那么＝（ ）
A．135 B．100
C．95 D．80
10．（三亚华侨学校）已知等比数列中，，则前9项之和等于
A．50 B．70 C．80 D．90
【题型四： 等比数列前项和】
1．（广西桂林·（理））首项为1，公比为2的等比数列的前6项和为（ ）
A．62 B．63 C．66 D．68
2．（新蔡县第一高级中学高二月考）已知等比数列中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（全国）等比数列中，，，为的前项和．若，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．不存在
4．（威宁民族中学高一期中）若递增的等比数列的前项和为，，则等于（ ）
A．63 B．64 C．65 D．66
5．（西藏昌都市第一高级中学高二月考）在各项均为正数的等比数列中，已知，，求：
（1）与公比的值；
（2）数列前6项的和 .
6．（金昌市第一中学高一期中（文））（1）在等差数列中，已知，，求；
（2）在数列中，，，为的前项和.若，求 .
7．（全国高二单元测试）在等比数列中，，公比，前项和，求首项和项数.

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