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第30讲 递推公式求通项
1、法（项与和互化求通项）
注意：绝大部分题目当时，用替换了，有时候解题需逆向，把题目中的用替换进题目中。
2、累加法
累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
3、累乘法
累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
4、构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。
（2）形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式
5、倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符合专题四类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。）
题型一：已知和关系求通项
1．（阜康市第一中学）已知数列的前项和为 ()．
求数列的通项公式；
【答案】（1）
【详解】
（1）当时，，
当时， ，满足上式，
所以
2．（全国高二专题练习）已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）当时，；
当，，即，
∴是首项为，公比为2的等比数列，所以.
（2），
由，得，解得.
3．（浙江高三专题练习）已知数列的前项和为
（1）当取最小值时，求的值；
（2）求出的通项公式.
【答案】（1）或；（2）
【详解】
解：（1），
因为，
所以当或时，取最小值，
（2）当时，，
当时，，
当时，满足上式，
所以
题型二：累加法
1．（浙江高三专题练习）（1）已知数列满足，，求通项公式；
（2）设数列中，，，求通项公式.
【答案】（1）an＝－ (n∈N*)；（2）an＝ (n∈N*)．
【详解】
（1）∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∴an＋1＝1－，
∴an＝－ (n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－ (n∈N*)．
（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝ (n∈N*)．
2．（哈尔滨市第三十二中学校高一期中）已知数列中，，且时，，求.
【答案】
【详解】
当时，∵
∴
∴，
∴，
又符合上式，
∴.
3．（安徽高三月考（理））已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）ann2n；（2）．
【详解】
（1）数列{an}满足a1＝3，an﹣an﹣1﹣3n＝0，n≥2，
即an﹣an﹣1＝3n，
可得an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）
＝3+6+9+…+3nn（3+3n）n2n；
（2）bn （），
前n项和Sn（1）
（1）．.
题型三：累乘法
1．（全国高二课时练习）已知数列中，，前项和.
（1）求，；
（2）求的通项公式．
【答案】（1）a2＝3，a3＝6 ；（2）an=.
【详解】
(1)由S2＝a2，得(a1＋a2)＝a2，
又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
∴a3＝ (a1＋a2)＝6.
(2)∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
∴an＝an－1，即＝.
∴an＝··…···a1
＝··…···1
＝.
又a1＝1满足上式，
∴an＝.
2．（全国高二专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式.
【答案】
【详解】
由，
得，
∵，∴，
∴ ，
∴，
∴，
又a1＝1满足上式，
∴.
题型四：构造法
1．（全国高二专题练习）数列中，，求数列的通项公式．
【答案】
【详解】
依题意，
，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以.
2．（全国高三专题练习）在数列中，，求.
【答案】
【详解】
解：因为，
所以，而，
∴是首项为4，公比为2的等比数列，故，
∴.
3．（铜山启星中学）数列满足，，求其通项公式
【答案】
【详解】
令，所以，
因为，所以，可得，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，可得.
题型五：倒数法
1．（全国）已知数列中，，，求的通项公式.
【答案】.
【详解】
，两边取倒数得，即，
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，故；第30讲 递推公式求通项
1、法（项与和互化求通项）
注意：绝大部分题目当时，用替换了，有时候解题需逆向，把题目中的用替换进题目中。
2、累加法
累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
3、累乘法
累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
4、构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。
（2）形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式
5、倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符合专题四类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。）
【题型一：已知和关系求通项】
1．（阜康市第一中学）已知数列的前项和为 ()．
求数列的通项公式；
2．（全国高二专题练习）已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求.
3．（浙江高三专题练习）已知数列的前项和为
（1）当取最小值时，求的值；
（2）求出的通项公式.
【题型二：累加法】
1．（浙江高三专题练习）（1）已知数列满足，，求通项公式；
（2）设数列中，，，求通项公式.
2．（哈尔滨市第三十二中学校高一期中）已知数列中，，且时，，求.
3．（安徽高三月考（理））已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【题型三：累乘法】
1．（全国高二课时练习）已知数列中，，前项和.
（1）求，；
（2）求的通项公式．
2．（全国高二专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式.
【题型四：构造法】
1．（全国高二专题练习）数列中，，求数列的通项公式．
2．（全国高三专题练习）在数列中，，求.
3．（铜山启星中学）数列满足，，求其通项公式
【题型五：倒数法】
1．（全国）已知数列中，，，求的通项公式.

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