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第31讲 数列求和常用方法
1、裂项相消法
裂项相消法的实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后再重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此规律拆成两项之差，在求和时一些正负相消，适用于类似这种形式，用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法，是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，高考中常见以下几种类型。
常见的裂项技巧
类型①
类型②
类型③
2、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
3、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
4、分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
【题型一：分组求和】
1．（河南）已知等比数列不是常数列，，且是和的等差中项.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
2．（江苏姑苏·苏州中学高二月考）已知数列是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
3．（全国高二专题练习）各项均为正数的等比数列，，，数列的前项和为，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和
【题型二：倒序相加求和】
1．（全国高二期末）对任意都有.数列满足：，则__________.
2．（全国）已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.
【题型三：裂项相消求和】
1．（沙坪坝·重庆八中高三月考）已知是等差数列的前项和，若， .
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
2．（曲靖市关工委麒麟希望学校高二期中）已知数列（）是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
3．（西藏昌都市第三高级中学高二期末）在等差数列中，为其前n项和．若．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【题型四：错位相减求和】
1．（陕西长安一中高二月考（理））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记为的前n项和，求.
2．（河北·天津五十七中高三月考）等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证；
（3）设，求数列的前n项和．
3．（山东）已知数列的前项和，，且满足．
（1）求；
（2）若，求数列的前项和．中小学教育资源及组卷应用平台
第31讲 数列求和常用方法
1、裂项相消法
裂项相消法的实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后再重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此规律拆成两项之差，在求和时一些正负相消，适用于类似这种形式，用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法，是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，高考中常见以下几种类型。
常见的裂项技巧
类型①
类型②
类型③
2、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
3、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
4、分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
题型一：分组求和
1．（河南）已知等比数列不是常数列，，且是和的等差中项.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）因为是6和的等差中项，所以.
设的公比为，因为，所以，
解得或（舍去，否则为常数数列），所以.
（2）由（1）可知，，
.
2．（江苏姑苏·苏州中学高二月考）已知数列是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）设等差数列的通项公式为，由于，，成等比数列，则，解得，所以，
（2）由题意，，
所以．
3．（全国高二专题练习）各项均为正数的等比数列，，，数列的前项和为，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和
【答案】（1） an＝2n－1，bn＝3n－1；（2）2n－1＋.
【详解】
（1）设公比为q，∵a1＝1，a2a4＝16，
∴q4＝16，∵q＞0，∴q＝2，∴an＝2n－1，
∵Sn＝，
∴当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝－＝3n－1
当n＝1时，b1＝S1＝2满足上式，∴bn＝3n－1；
（2）cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(20＋21＋…＋2n－1)＋(2＋5＋…＋3n－1)
＝＋＝2n－1＋．
题型二：倒序相加求和
1．（全国高二期末）对任意都有.数列满足：，则__________.
【答案】
【详解】
由题意得：，，，……，
，
，
，解得：.
故答案为：.
2．（全国）已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.
【答案】
【详解】
因为，
.
故….①
….②
①+②，得，.
所以数列的通项公式为.
题型三：裂项相消求和
1．（沙坪坝·重庆八中高三月考）已知是等差数列的前项和，若， .
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意得：
∴即
∴.
（2）由（1）知，
∴
∴.
2．（曲靖市关工委麒麟希望学校高二期中）已知数列（）是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：（1）设的公差为d，因为，，成等比数列，所以.
即，即又，且，解得
所以有.
（2）由（1）知：
则.即.
3．（西藏昌都市第三高级中学高二期末）在等差数列中，为其前n项和．若．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：（1）设数列的首项为，公差为，
由题意得，
解得，
故数列的通项公式；
（2）由（1）得，
即有前项和
．
题型四：错位相减求和
1．（陕西长安一中高二月考（理））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记为的前n项和，求.
【答案】（1），；（2）.
【详解】
（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以；
（2）证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以.
2．（河北·天津五十七中高三月考）等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证；
（3）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）．
【详解】
（1）解：设等差数列的公差为，，．
，，
解得，．
；
（2）证明：由（1）可得：．
，
数列的前项和为．
（3）解：．
数列的前项和，
，
，
解得：．
3．（山东）已知数列的前项和，，且满足．
（1）求；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
解析：（1）
当时，
当时，①
②
①－②得
当时
将这个式子相乘得
当时，满足上式
（2）
①
②
①－②得
．

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