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第34讲 空间向量在空间几何中的运用二
1．（全国高二课时练习）如图,三棱柱中,平面平面,且,,求异面直线与所成角的余弦值.
2．（浙江高二单元测试）在正三棱柱中，若，求与所成角的大小.
3．（惠来县华侨中学高二月考）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
（1）求直线与直线所成角的余弦值.
（2）求证：平面；
4．（全国高二单元测试）如图，正方体中，是的中点，求与平面所成角的正弦值.
5．（浙江高三专题练习）如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点.
（I）求证：// 平面；
（II）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值.
6．（吉林白城一中）如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
7．（莆田锦江中学高二期末）在直三棱柱中，，，，点是的中点；
（I）求异面直线，所成角的余弦值；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
8．（黔西南州同源中学（理））如图所示，平面，四边形为矩形，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
9．（浙江高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（）求与平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
10．（江西九江一中高二月考（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的角的余弦值．
11．（西城·北京四中）如图，在四棱柱，底面，，，且，点在棱上，平面与棱相交于点.
（Ⅰ） 证明：平面；
（Ⅱ）棱上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）求三棱锥的体积的最大值.
12．（武汉市育才高级中学高二月考）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，为棱上的点，，．
（1）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（2）在第（1）问条件下，设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求当取最大值时点的位置．
13．（北京市陈经纶中学高二月考）在四棱锥中，底面ABCD为长方形，底面ABCD，，；的可能取值为：①；②；③；④；⑤．已知线段CD上存在点E，满足．
（1）求t的所有可能取值，并说明理由；
（2）当t为所有可能取值的最大值时，线段上满足的点有两个，分别记为，，求二面角的大小．
14．（东城·北京二中高二月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面.若.
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）点是侧棱上一点，且直线和平面所成角的大小为30°，求的值.
15．（大埔县虎山中学）如图，在四棱锥中，已知平面 ，且四边形为直角梯形，，，.
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
16．（天津市第七中学高三月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.
（1）证明：：
（2）求直线与平面所成角的正弦值：
（3）若为棱上一点，且满足，求二面角的余弦值.中小学教育资源及组卷应用平台
第34讲 空间向量在空间几何中的运用二
1．（全国高二课时练习）如图,三棱柱中,平面平面,且,,求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】
【详解】
以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
所以.
设所求的角为,
则,
即异面直线与所成角的余弦值为.
2．（浙江高二单元测试）在正三棱柱中，若，求与所成角的大小.
【答案】
【详解】
由题意可得，平面；设，则，
又，，
所以
.
故.
即，
即与所成角的大小为.
3．（惠来县华侨中学高二月考）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
（1）求直线与直线所成角的余弦值.
（2）求证：平面；
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】
(1) 以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以，，
∴，，
即直线与所成角的余弦值为；
（2）设平面的一个法向量为，
又，，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
4．（全国高二单元测试）如图，正方体中，是的中点，求与平面所成角的正弦值.
【答案】.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则
.设平面的法向量为，
令，则，
.
故与平面所成角的正弦值为.
5．（浙江高三专题练习）如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点.
（I）求证：// 平面；
（II）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（I）证明见解析；（II）.
【详解】
（I）证明：连接BD角AC于点F，再连接EF.
因为四边形是菱形，所以点F是BD的中点，
又因为点是的中点，所以EF是三角形DBS的中位线，
所以DS平行EF，
又因为EF平面ACE，SD平面ACE
所以// 平面
（II）因为四边形是菱形，，所以
又AB=AD，所以三角形ABD为正三角形.
取AB的中点O，连接SO，则DOAB
因为平面平面，平面平面=AB
所以DO平面ABS，又因为三角形ABS为正三角形
则以O为坐标原点建立坐标系
设AB=2a，则
设平面ADS的一个法向量为
则
取x=1，则
所以
设直线AC与平面ADS所成角为
则
6．（吉林白城一中）如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
详解：
（1）连接，
∵是正方形，是的中点，∴是的中点，
∵是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取得，
设与平面所成角为，
则.
7．（莆田锦江中学高二期末）在直三棱柱中，，，，点是的中点；
（I）求异面直线，所成角的余弦值；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（I）（II）
解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），
∴cos＜，＞==
∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），
设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），
则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），
设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=
∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：
8．（黔西南州同源中学（理））如图所示，平面，四边形为矩形，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【详解】
（1）∵四边形ABEF为矩形
又平面ADE，AE平面ADE
平面ADE
又，
同理可得：平面ADE
又，BF，BC 平面BCF
∴平面平面ADE
又CF平面BCF
平面ADE
（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则
，，
,,
设是平面CDF的一个法向量，则
即
令，解得
又是平面AEFB的一个法向量，
∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.
9．（浙江高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（）求与平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
【答案】(1) .
(2) .
详解：
（）∵是矩形，
∴，
又∵平面，
∴，，即，，两两垂直，
∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
由，，得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故与平面所成角的正弦值为．
（）由（）可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故二面角的余弦值为．
10．（江西九江一中高二月考（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】
解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.
以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，
如图，建立空间直角坐标系.
则，，，.
可得，.
所以，
所以
（2）由（1）得到，，
因此可得，.
设平面的一个法向量为，则由
得
令，解得.
同理，可求平面PDC的一个法向量.
所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：
.
即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.
11．（西城·北京四中）如图，在四棱柱，底面，，，且，点在棱上，平面与棱相交于点.
（Ⅰ） 证明：平面；
（Ⅱ）棱上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）求三棱锥的体积的最大值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，；（Ⅲ）当F与重合时，体积最大值为.
【详解】
（Ⅰ）因为平面与棱相交于点，所以平面，
在四棱柱中，因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（Ⅱ）因为底面，，所以以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，
所以，
设面的法向量为，则，即，
取，则，所以，
取面的一个法向量，因为二面角的余弦值为，
所以，解得或，
因为，所以，即为棱的中点时，二面角的余弦值为，
所以.
（Ⅲ）过作于点，
因为面面，面面，面面，，所以面，
所以，
因为与重合时，取得最大值，
所以与重合时，三棱锥的体积最大，最大为.
12．（武汉市育才高级中学高二月考）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，为棱上的点，，．
（1）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（2）在第（1）问条件下，设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求当取最大值时点的位置．
【答案】（1）；（2）
【详解】
由题设，面，又面，则，，又，
又，则面，
由面，面面，则面面，
∴可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示：
由，，，且，
∴，
（1），
若是面的一个法向量，则，令，即，
又是面的一个法向量，
∴，故面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
（2）若，则，故，
由（1）知：令，则，
∴，若，
∴，则时取最大，
此时，，可得，即，
∴，则.
13．（北京市陈经纶中学高二月考）在四棱锥中，底面ABCD为长方形，底面ABCD，，；的可能取值为：①；②；③；④；⑤．已知线段CD上存在点E，满足．
（1）求t的所有可能取值，并说明理由；
（2）当t为所有可能取值的最大值时，线段上满足的点有两个，分别记为，，求二面角的大小．
【答案】（1）t可以取①②③；理由见解析；（2）30°．
【详解】
（1）如图所示，以BC，BA，BP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系．
则各点坐标分别为， ，，．
设，所，，．
∴，∴，
∴在所给的数据中，t可以取①②③．
（2）由（1）知，此时或．
根据题意得，其坐标为和，
∵底面ABCD，∴，，
∴是二面角的平面角，
由，
由题意得，二面角为锐角，所以二面角的大小为30°．
14．（东城·北京二中高二月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面.若.
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）点是侧棱上一点，且直线和平面所成角的大小为30°，求的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).
【分析】
【详解】
(1)因，即，而平面平面，平面平面，平面，
则平面，而平面，即有，
在直角梯形中，且，又，令，则，，
中， 由余弦定理得，
于是有，即，而，平面PAC，
所以平面；
(2)由(1)知，AB，AD，AP两两垂直，以点A为原点，向量的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
令，则，，
设平面的法向量，则，令，得，
而平面的法向量，于是得，显然平面和平面夹角为锐角，
所以平面和平面夹角的余弦值是；
(3)由(2)知，，因点是侧棱上一点，则，，
因直线和平面所成角的大小为30°，
则，解得，
所以的值为.
15．（大埔县虎山中学）如图，在四棱锥中，已知平面 ，且四边形为直角梯形，，，.
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：（1）以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，1，，，2，0），，0，2），
因为平面，所以是平面的一个法向量，，
．，
设平面的法向量为，，，则，取，得．
故．
又由图示得平面 PAB与平面 PCD 的夹角是锐角，所以平面 PAB与平面 PCD 夹角的余弦值是；
，
，，
设，则，当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值是，
又因为在上单调递减， 与所成的角最小，
，
所以线段BQ的长为.
16．（天津市第七中学高三月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.
（1）证明：：
（2）求直线与平面所成角的正弦值：
（3）若为棱上一点，且满足，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【详解】
（1）以点A为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
可得，，，，由E为棱PC的中点，得，
向量，，故，
所以.
（2）向量，，.
设为平面PBD的法向量，则，即，
令，得为平面PBD的一个法向量，
所以，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
（3）向量，，，.
因为点F在棱PC上，，，
所以，
由，得，因此，解得，
即，
设为平面FAB的法向量，则，即
令，得为平面FAB的一个法向量.
取平面ABP的法向量，则，
经观察知二面角是锐角，所以其余弦值为.

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