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第36讲 圆的方程
1．圆的定义及方程:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆
标准方程 圆心：，半径：
一般方程()
圆心： 半径：
2．点与圆的位置关系
点与圆的位置关系：
(1)若在圆外，则
(2)若在圆上，则
(3)若在圆内，则.
3、圆的方程综合应用
① 圆的标准方程为：
②圆的一般方程．：（）.
③点到直线的距离：.
4、直线与圆相切
①直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；
②几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；
③代数法：，方程组有一组不同的解.
5、直线与圆相交及弦长
①直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；
②几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；
③代数法：，方程组有两组不同的解.
6、圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为().
(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.
题型一：圆的方程
1．（全国高二课时练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
∵表示圆，则，
∴，
故选：B．
2．（全国高二课时练习）若某圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径长分别为（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【详解】
解：因为圆的标准方程为：，圆心为，半径长为，
又因为某圆的标准方程为，所以、、，
故选：C．
3．（四平市第一高级中学高二月考）若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由方程表示圆，
则，
解得.
所以实数m的取值范围为.
故选：D
4．（四川成都·高二月考（文））圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：将圆的方程化为标准式
可得，
则该圆的圆心坐标为，
故选：A.
5．（孟津县第一高级中学（理））设为坐标原点，，是抛物线与圆关于轴对称的两个交点，若，则（ ）
A．4 B．2
C． D．
【答案】D
【详解】
不妨设点A在第一象限，则为等边三角形，故.
代入中，解得，则，
代入抛物线方程，解得，
故选：D.
6．（深州长江中学高二月考）圆心在（－1，0），半径为5的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为圆心在（－1，0），半径为5，
则圆的方程是.
故选：B.
7．（全国高二课时练习）方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为，所以该方程表示圆心为的圆，而该方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，所以圆心在直线上，即有．
故选：A．
8．（全国高二课时练习）若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为方程表示的曲线是圆，
所以，即，
解得.
故选：D
9．（全国高二课时练习）若圆的一条直径的两个端点分别是和，则此圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为圆的一条直径的两个端点分别是（2，0）和，所以圆心为，半径为，所以此圆的方程是．
故选：A．
10．（湖南高二学业考试）圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A．与 B．与
C．与2 D．与2
【答案】C
【详解】
，配方得，圆心坐标为，半径．
故选：C
11．（江西南昌·洪都中学高二月考）若方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题设，，
∴要使方程表示圆，则，即.
故选：C
题型二：点与圆的位置关系
1．（南昌市八一中学高二月考）过点且与圆，相切的直线有几条（ ）
A．0条 B．1条 C．2 条 D．不确定
【答案】B
【详解】
由于满足，所以在圆上，
所以过点且与圆，相切的直线有条.
故选：B
2．（河北南和实验中学高二月考）若点在圆上，则圆的半径（ ）
A．1 B．13 C． D．
【答案】C
【详解】
点在圆上，代入可得，
解得，即,
故选：C
3．（全国）已知圆，则原点在（ ）
A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外
【答案】B
【详解】
将圆的方程化成标准方程，
因为，所以，即原点在圆外.
故选：B.
4．（江苏高二专题练习）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得，解得，
故选：C．
5．（横峰中学高一月考（文））点在圆上，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由于，所以在圆外，
圆的圆心为，半径，
则的最大值为.
故选：C
6．（全国）两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【答案】D
【详解】
将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，
故选：D.
7．（平罗中学高二月考（文））已知直线是圆在点处的切线﹐则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由于，所以点在圆上，
圆的圆心为，
，
由于，
所以，
所以直线的方程为.
故选：B
8．（横峰中学高一月考（理））若点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意，得，即，又易知，所以.
故选：C
9．（全国高二课时练习）已知点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
【答案】A
【详解】
由于（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，
所以点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离d＜2，
即：，整理得：﹣1＜a＜1.
故选：A.
10．（全国高一课时练习）点与圆的位置关系为（ ）
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与的值有关
【答案】A
【详解】
在圆外
故选：
题型三：直线与圆的位置关系
1．（全国）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
圆的圆心为，
在圆内.
所以当时，劣弧所对的圆心角最小，
.
故选：C
2．（辽宁沈河·沈阳二中高二月考）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【详解】
若切线的斜率不存在，则过的直线为，
此时圆心到此直线的距离为2即为圆的半径，故直线为圆的切线.
若切线的斜率存在，设切线方程为：即，
故，解得，
故此时切线方程为：.
故选：B.
3．（四川省眉山第一中学高二月考（理））已知圆，则过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【详解】
因为圆的圆心为，所以，
所以切线的斜率，
所以所求切线的方程为，即，
故选：A
4．（全国高二专题练习）直线与圆相切，则的值为（ ）
A．0或2 B．2
C． D．无解
【答案】B
【详解】
圆心到直线的距离等于半径，即，
解得或（应舍去）.
故选：B
5．（全国高二课时练习）已知圆与直线切于点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
圆可化为，
所以点与圆心连线所在直线的斜率为，
则所求直线的斜率为，
由点斜式方程，可得，
整理得.
故选：A.
6．（全国高一课时练习）已知直线被圆所截得的弦长为4，则为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【详解】
设圆心到直线的距离为d，则由点到直线的距离公式得，
由题意得：，解得．
故选：A
7．（全国高一课时练习）直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
可化为，则圆心坐标为，半径．
点到直线l的距离，
∴半弦长为，故截得的弦长为．
故选：C
8．（全国高二课时练习）若直线平分圆的面积，则的值为（ ）
A． B．
C．1 D．2
【答案】C
【详解】
根据题意，圆的方程为，其圆心为．
因为直线平分圆的面积，
所以圆心在直线上，
则有，解得．
故选：C．
9．（全国高三模拟预测）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
【答案】A
【详解】
由圆，可得圆心，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，
故选：A.
10．（银川三沙源上游学校（文））直线与圆相切，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
因直线与圆相切，则圆心到直线距离即为半径，
所以.
故选：B
题型四：圆与圆的位置关系
1．（山西省长治市第二中学校高二月考）圆和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】B
【详解】
圆的标准方程是，所以圆心是，半径是，
圆的标准方程是，，所以圆心是，半径是，
所以两个圆心的距离是，
因为，
所以圆与圆相交，
故选：B
2．（四川省绵阳南山中学高二月考）圆与圆的公共弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：联立，解得或，
故公共弦长等于.
故选：D.
3．（南昌市八一中学高二月考）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
【答案】C
【详解】
圆的圆心为，半径为，
可化为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距,
，
所以两个圆的位置关系是相交.
故选：C
4．（河北张家口·高二期末）圆与圆的位置关系是（　　）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【答案】A
【详解】
解：圆.圆心，半径；
圆.即.圆心.半径.
两圆的圆心距，∴两圆外切，
故选：A.
5．（银川三沙源上游学校（文））圆与圆的公切线的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】
圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则两圆心的距离为，则两圆相交，公切线条数为两条
故选：C
6．（江苏高二专题练习）两圆：与：的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
由题意，圆的圆心，半径为1，而圆的圆心为，半径为2，
∴，故圆、圆外切.
∴它们公切线条数为3条.
故选：C
7．（石家庄实验中学高三开学考试）圆：与圆：（，）的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离
C．相切 D．无法确定
【答案】A
【详解】
解：圆：的圆心，半径为，
由，得，
所以圆的圆心为，半径，
所以，
因为（），所以，所以
所以两圆相交．
故选：A
8．（全国高二单元测试）过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意可知：0故选：C.
9．（江西赣州·）已知圆(，为常数)与.若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（ ）
A．内含 B．相交 C．相切 D．相离
【答案】B
【详解】
依题意，所以，，
，
所以，
所以两个圆相交.
故选：B
10．（河南高三月考（文））设圆：和圆：交于，两点，则线段所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题意知：①，②，
∴由①- ②得，直线的方程为.
故选：A.中小学教育资源及组卷应用平台
第36讲 圆的方程
1．圆的定义及方程:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆
标准方程 圆心：，半径：
一般方程()
圆心： 半径：
2．点与圆的位置关系
点与圆的位置关系：
(1)若在圆外，则
(2)若在圆上，则
(3)若在圆内，则.
3、圆的方程综合应用
① 圆的标准方程为：
②圆的一般方程．：（）.
③点到直线的距离：.
4、直线与圆相切
①直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；
②几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；
③代数法：，方程组有一组不同的解.
5、直线与圆相交及弦长
①直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；
②几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；
③代数法：，方程组有两组不同的解.
6、圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为().
(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.
【题型一：圆的方程】
1．（全国高二课时练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（全国高二课时练习）若某圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径长分别为（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
3．（四平市第一高级中学高二月考）若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（四川成都·高二月考（文））圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（孟津县第一高级中学（理））设为坐标原点，，是抛物线与圆关于轴对称的两个交点，若，则（ ）
A．4 B．2
C． D．
6．（深州长江中学高二月考）圆心在（－1，0），半径为5的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（全国高二课时练习）方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（全国高二课时练习）若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（全国高二课时练习）若圆的一条直径的两个端点分别是和，则此圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．（湖南高二学业考试）圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A．与 B．与
C．与2 D．与2
11．（江西南昌·洪都中学高二月考）若方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型二：点与圆的位置关系】
1．（南昌市八一中学高二月考）过点且与圆，相切的直线有几条（ ）
A．0条 B．1条 C．2 条 D．不确定
2．（河北南和实验中学高二月考）若点在圆上，则圆的半径（ ）
A．1 B．13 C． D．
3．（全国）已知圆，则原点在（ ）
A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外
4．（江苏高二专题练习）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（横峰中学高一月考（文））点在圆上，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（全国）两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
7．（平罗中学高二月考（文））已知直线是圆在点处的切线﹐则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（横峰中学高一月考（理））若点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（全国高二课时练习）已知点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
10．（全国高一课时练习）点与圆的位置关系为（ ）
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与的值有关
【题型三：直线与圆的位置关系】
1．（全国）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．（辽宁沈河·沈阳二中高二月考）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
3．（四川省眉山第一中学高二月考（理））已知圆，则过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．
4．（全国高二专题练习）直线与圆相切，则的值为（ ）
A．0或2 B．2
C． D．无解
5．（全国高二课时练习）已知圆与直线切于点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（全国高一课时练习）已知直线被圆所截得的弦长为4，则为（ ）
A． B． C．0 D．2
7．（全国高一课时练习）直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
8．（全国高二课时练习）若直线平分圆的面积，则的值为（ ）
A． B．
C．1 D．2
9．（全国高三模拟预测）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
10．（银川三沙源上游学校（文））直线与圆相切，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【题型四：圆与圆的位置关系】
1．（山西省长治市第二中学校高二月考）圆和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
2．（四川省绵阳南山中学高二月考）圆与圆的公共弦长等于（ ）
A． B． C． D．
3．（南昌市八一中学高二月考）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
4．（河北张家口·高二期末）圆与圆的位置关系是（　　）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
5．（银川三沙源上游学校（文））圆与圆的公切线的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（江苏高二专题练习）两圆：与：的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（石家庄实验中学高三开学考试）圆：与圆：（，）的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离
C．相切 D．无法确定
8．（全国高二单元测试）过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
9．（江西赣州·）已知圆(，为常数)与.若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（ ）
A．内含 B．相交 C．相切 D．相离
10．（河南高三月考（文））设圆：和圆：交于，两点，则线段所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．

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