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第37讲 直线与圆的综合问题
1．（全国高一课时练习）求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程．
【答案】．
【详解】
设圆心坐标为，半径为r，
由题意得：，解得，
故所求圆的方程为．
2．（江苏高二专题练习）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.
【详解】
（Ⅰ）设圆心坐标为，半径为.
由圆的圆心在直线上，知：.
又∵圆与轴相切于点，
∴，，则.
∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.
（Ⅱ）如果选择条件①：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
如果选择条件②：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
3．（陕西新城·）已知圆经过，两点，且与轴的正半轴相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆交于，求.
【答案】（1）；（2）
【详解】
(1)设圆的标准方程为：
根据圆C经过A(2，0)，B(8，0)两点，且与y轴的正半轴相切.
，解得：，
圆的标准方程为：.
(2)圆心到直线的距离为 .
所以.
4．（全国高二课时练习）求直线被圆截得的弦的长．
【答案】
【详解】
解：将圆的方程化为标准式，可得，
所以圆心坐标为，半径为，
所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为，
所以根据几何法得弦长为．
所以弦的长为
5．（江苏广陵·扬州中学高二月考）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求所得弦长的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2.则圆的方程为；
(2)圆心（2，0）到l的距离为d，=1，.
6．（平罗中学高二月考（文））已知直线：，圆：.
（1）讨论直线与圆的位置关系；
（2）若是圆上任意一点，求点到直线距离的最小值.
【答案】（1）相离；（2）2.
【详解】
（1）由题意，圆的圆心为，半径为，而圆心到直线的距离，
∴，即直线与圆位置关系为相离.
（2）由（1）知：要使圆上一点到直线距离的最小，则在圆心和直线l之间，且在到直线l的垂线段上，
∴点到直线距离的最小值为.
7．（全国高二单元测试）（1）求圆的切线方程，使得它经过点
（2）圆的切线在轴上截距相等，求切线方程
【答案】（1）；（2）或或.
【详解】
（1）因为点满足圆的方程，
所以在圆上，
则直线的斜率，
根据圆的切线的性质可得所求直线的斜率，
所以经过M的直线方程为，
整理可得：；
（2）由题意可得，
当截距全为0时，即直线过原点，可设直线方程为，
则圆心到直线的距离，
即，解得：，
此时直线方程为，
当截距相等且不为0时，可设直线方程为，
则圆心到直线的距离，
即，解得：或，
此时切线方程为或，
综上可得切线方程为：或或.
8．（浙江奉化·高二期末）已知直线过点，圆．
（Ⅰ）求圆的圆心坐标及直线截圆弦长最长时直线的方程；
（Ⅱ）若过点直线与圆恒有公共点，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（0，-2），;（Ⅱ）.
【详解】
（Ⅰ）圆C方程标准化为：
∴圆心C的坐标为（0，﹣2）
直线截圆C弦长最长，即过圆心，
故此时的方程为：，
整理得：；
（Ⅱ）若过点M的直线与圆C恒有公共点，
则点M在圆上或圆内，
∴，
得．
9．（全国高二期中）已知点在圆：上．
（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；
（Ⅱ）过点,斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．
【答案】（Ⅰ）圆心，半径；（Ⅱ）弦长
【详解】
（Ⅰ）由题可知：
所以圆的标准方程为
所以圆心，半径
（Ⅱ）直线的方程为，即
则圆心到直线的距离为
所以弦长
10．（浙江高二单元测试）直线被圆截得的弦长为8，求的值．
【答案】或.
【详解】
由题可知弦心距为，
代入点到直线的距离公式：
平方解方程得：或.
11．（新疆昌吉·）已知圆.
（1）求圆心的坐标和半径的值；
（2）若直线与圆相交于两点，求.
【答案】（1）圆心，半径为；（2）.
【详解】
（1），得，
所以圆心，半径为；
（2）圆心到直线距离为，
.
12．（福建三明一中）已知圆经过，，三点．
（1）求圆的方程；
（2）求轴被圆截得的弦长．
【答案】（1）；（2）8
【详解】
（1）设圆的方程为．
因为圆经过
解得，，，则圆的方程为．
（2）由（1）可得圆的圆心，半径．
因为圆的圆心，所以圆到轴的距离，
因为圆的半径，所以轴被圆截得的弦长为．
13．（贵溪市实验中学）已知点和
（1）求直线的斜率和的中点的坐标；
（2）若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的方程．
【答案】(1)斜率为1，坐标为 (2)
【详解】
（1）由已知可得
，
的中点的坐标为(2,0).
（2）设圆心为，半径为
圆心在直线上，，则点为
由题意可得
解得
，
圆的标准方程为.
14．（贵溪市实验中学高二期末）已知圆.
（1）此方程表示圆，求的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线相交于.两点，且 (为坐标原点)，求的值；
【答案】(1) (2)
试题解析：
（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5
（2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+ y1y2=0.
将直线方程x+2y-4=0与曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0联立并消去y得
5x2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x1+x2=①,x1x2=②，
=64-20（4m-16）=384-80m﹥0﹥所以m﹤4
又由x+2y-4=0得y= (4-x),
∴x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)· (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0.
将①、②代入得m=,满足﹥ 0.中小学教育资源及组卷应用平台
第37讲 直线与圆的综合问题
1．（全国高一课时练习）求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程．
2．（江苏高二专题练习）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
3．（陕西新城·）已知圆经过，两点，且与轴的正半轴相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆交于，求.
4．（全国高二课时练习）求直线被圆截得的弦的长．
5．（江苏广陵·扬州中学高二月考）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求所得弦长的值.
6．（平罗中学高二月考（文））已知直线：，圆：.
（1）讨论直线与圆的位置关系；
（2）若是圆上任意一点，求点到直线距离的最小值.
7．（全国高二单元测试）（1）求圆的切线方程，使得它经过点
（2）圆的切线在轴上截距相等，求切线方程
8．（浙江奉化·高二期末）已知直线过点，圆．
（Ⅰ）求圆的圆心坐标及直线截圆弦长最长时直线的方程；
（Ⅱ）若过点直线与圆恒有公共点，求实数的取值范围．
9．（全国高二期中）已知点在圆：上．
（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；
（Ⅱ）过点,斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．
10．（浙江高二单元测试）直线被圆截得的弦长为8，求的值．
11．（新疆昌吉·）已知圆.
（1）求圆心的坐标和半径的值；
（2）若直线与圆相交于两点，求.
12．（福建三明一中）已知圆经过，，三点．
（1）求圆的方程；
（2）求轴被圆截得的弦长．
13．（贵溪市实验中学）已知点和
（1）求直线的斜率和的中点的坐标；
（2）若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的方程．
14．（贵溪市实验中学高二期末）已知圆.
（1）此方程表示圆，求的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线相交于.两点，且 (为坐标原点)，求的值；

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