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第40讲 抛物线
1、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的标准方程及几何性质
图形
标准方程
顶点 O（0，0）
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
【题型一：抛物线的定义】
1．（山西平城·大同一中高二月考）若抛物线上一点到焦点的距离为8，则点的纵坐标为（ ）
A．6 B． C．7 D．
2．（绥德中学高二月考（文））已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（全国高二课时练习）若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（广西柳州·高三开学考试（理））已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，则到直线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（广东南山·蛇口育才中学高三月考）若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（贵州贵阳·高三开学考试（文））已知抛物线：的焦点为，点在上且满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．（北京西城·）在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（全国高二课前预习）若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【题型二：抛物线标准方程】
1．（全国高二课时练习）如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．
2．（南昌市实验中学高三月考（理））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．（贵州（文））已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为8，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．3 B． C．5 D．
5．（贵州凯里一中高三三模（文））已知抛物线：的焦点，准线为，点，线段的中点在上，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（浙江高二单元测试）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（安徽安庆·（文））顶点在坐标原点，焦点是双曲线的左焦点的抛物线标准方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（上海浦东新·高三二模）以圆的圆心为焦点的抛物线标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型三：抛物线的弦长】
1．（北京延庆·）设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（四川遂宁·高三二模（文））若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为（ ）
A．3. B．4 C．5 D．6
3．（广西浦北中学（理））已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．（辽宁凌源·高三月考）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（河南（文））已知为的两个顶点，点在抛物线上，且到焦点的距离为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（广西玉州·高二期中（文））已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于两点，求弦长.
7．（黄冈天有高级中学高二月考）已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
8．（全国高二课时练习）已知动圆经过点，并且与直线相切
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线与轨迹相交于两点，求中小学教育资源及组卷应用平台
第40讲 抛物线
1、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的标准方程及几何性质
图形
标准方程
顶点 O（0，0）
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
题型一：抛物线的定义
1．（山西平城·大同一中高二月考）若抛物线上一点到焦点的距离为8，则点的纵坐标为（ ）
A．6 B． C．7 D．
【答案】A
【详解】
设点，
因为抛物线方程为x2=8y，
所以其准线方程为，
又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，
由抛物线的定义得：，
交点，
所以点P的纵坐标为6，
故选：A
2．（绥德中学高二月考（文））已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
由题意到准线的距离减去到轴距离等于1，所以，．
故选：B．
3．（全国高二课时练习）若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
由，得，∴，则，所以焦点，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得的最小值为.
故选：D．
4．（广西柳州·高三开学考试（理））已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，则到直线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】
由得，所以F到直线l的距离为
故选：B
5．（广东南山·蛇口育才中学高三月考）若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题得抛物线的准线方程为
到准线的距离等于它到焦点的距离，则，所以，
故抛物线方程为，
故选：B．
6．（贵州贵阳·高三开学考试（文））已知抛物线：的焦点为，点在上且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可知，
故选：D
7．（北京西城·）在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题知，抛物线的准线方程为，
若横坐标为的点到焦点的距离为，则由抛物线的定义知，，
解得.
故选：D.
8．（全国高二课前预习）若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
根据题意可知抛物线的准线方程为，∵到该抛物线的焦点的距离为，
∴到准线的距离为，即，∴，代入抛物线方程求得，
∴点到轴的距离为.
故选：A
题型二：抛物线标准方程
1．（全国高二课时练习）如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．
【答案】D
【详解】
由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.
故选：D
2．（南昌市实验中学高三月考（理））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，
故焦点到渐近线的距离为，
故选：D.
3．（贵州（文））已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为8，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】
因为到焦点F的距离为8，
所以，得.
故选：D
4．（全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【详解】
由抛物线方程，得其准线方程为.设，，由抛物线的定义，得，即，所以线段中点的横坐标为，线段的中点到轴的距离为．
故选：B.
5．（贵州凯里一中高三三模（文））已知抛物线：的焦点，准线为，点，线段的中点在上，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
焦点为，线段的中点为，将点代入得，解得，点到直线的距离为.
故选：C
6．（浙江高二单元测试）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：抛物线上一点到焦点的距离为，
由抛物线的定义知，即，所以，所以，
抛物线的焦点坐标为，
故选：A.
7．（安徽安庆·（文））顶点在坐标原点，焦点是双曲线的左焦点的抛物线标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，∴，∴，，∴，∴．
故选：B．
8．（上海浦东新·高三二模）以圆的圆心为焦点的抛物线标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
的圆心，
圆心为焦点的抛物线标准方程为．
故选：C．
题型三：抛物线的弦长
1．（北京延庆·）设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意可得点的坐标，准线方程为，
因为为抛物线上一点，，
所以点的横坐标为4，
当时，，所以，
所以 的面积为，
故选：D
2．（四川遂宁·高三二模（文））若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为（ ）
A．3. B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
抛物线：的焦点
所以直线的方程为，
设，，
由，消去并整理得，
所以，.
故选：C.
3．（广西浦北中学（理））已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【详解】
解：因为直线与轴的交点为，
所以抛物线的焦点坐标为，设，抛物线方程为，
所以过焦点且倾斜角为的直线方程为，
设，
由，得，
所以，
所以，
故选：C
4．（辽宁凌源·高三月考）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
由点在抛物线上得，设，由直线过定点得
，解得（舍去2），
所以
故选：C.
5．（河南（文））已知为的两个顶点，点在抛物线上，且到焦点的距离为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意，点在抛物线上，设，
又由抛物线的准线方程为
根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
即，解得，
所以.
故选：C.
6．（广西玉州·高二期中（文））已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于两点，求弦长.
【答案】（1）；（2）.
（1），
所以，即抛物线C的方程.
（2）设，
由得
所以，
所以
.
7．（黄冈天有高级中学高二月考）已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
【答案】（1），焦点坐标为；（2）8.
【详解】
解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，
联立方程组消去可得，则，
所以.
8．（全国高二课时练习）已知动圆经过点，并且与直线相切
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线与轨迹相交于两点，求
【答案】（1）（2）16
【详解】
（1）设，则依题意可得，
化简得，
所以动圆圆心P的轨迹M的方程为
（2）直线的方程为，即，
联立，消去并整理得，
设，，
则，，
由弦长公式可得.
所以

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