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第39讲 双曲线
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点，()的距离之差的绝对值为非零常数()的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
(2)集合，，
其中为常数且.
①当时，点的轨迹是双曲线；
②当时，点的轨迹是两条射线；
③当时，点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
性 质 范围 或， 或a，
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 ， ，
渐近线
离心率 ，
实、虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长
的关系 ()
题型一：双曲线定义
1．（全国高二课时练习）已知为坐标原点，设、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
不妨在双曲线右支上取点，延长、，交于点，
由角平分线性质知：，
根据双曲线的定义，，从而，
在中，为其中位线，故.
故选：B.
2．（山西平城·大同一中高二月考）若双曲线：的左 右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．26或6 B．26 C．6 D．28
【答案】B
【详解】
因为双曲线方程为：，
所以，
则，
又，
所以点P在双曲线E上的左支上，由双曲线的定义得，
解得，
故选：B
3．（江苏海陵·泰州中学高二月考）已知，分别是双曲线的左 右焦点，若是双曲线左支上的点，且.则的面积为（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【详解】
因为P是双曲线左支上的点，所以，
两边平方得，
所以.
在中，由余弦定理得，
所以，所以.
故选：C
4．（全国）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于两点，且，那么的值是（ ）
A．21 B．30 C．27 D．15
【答案】C
【详解】
由题意可知，，
，，
两式相加得，
即.
故选：C
5．（浙江高三专题练习）如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设，
由点为椭圆上的点，
可得且，即，
又由四边形为矩形，
所以，即，
联立方程组，解得，
设双曲线的实轴长为，焦距为，
则，，即，
所以双曲线的离心率为.
故选：D.
6．（全国）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
【答案】A
【详解】
设右焦点为，则，依题意，有，
，（当在线段上时，取等号）．
故的最小值为9.
故选：A.
7．（全国）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
【答案】C
由题意，知，当时，
，此时点的轨迹是双曲线的一支；
当时，，
点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线．
故选：C.
8．（全国高二课时练习）已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．射线
C．线段 D．双曲线的一支或射线
【答案】D
【详解】
两个定点的距离为，
当，即时，点的轨迹为双曲线的一支；
当，即时，点的轨迹为射线；
不存在的情况．
综上所述，动点的轨迹为双曲线的一支或射线．
故选：D．
题型二：双曲线标准方程
1．（全国）椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
【答案】D
【详解】
因为双曲线的焦点在横轴上，
所以由题意可得：，
故选：D
2．（全国）双曲线的左顶点与右焦点间的距离为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】D
【详解】
由，知，，所以左顶点与右焦点间的距离为．
故选：D.
3．（全国）方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为方程表示双曲线，
所以，
即，
解得：.
故选：A.
4．（山西临汾·（理））若方程需表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【详解】
若方程需表示双曲线，
则，解得或.
故选：A.
5．（全国）若方程＝1表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．(－2，2) B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
【答案】A
【详解】
由题意，方程＝1表示双曲线，则满足，
解得，即实数的取值范围是.
故选：A.
6．（福建龙岩·高二期末）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
若方程表示双曲线，
则，得，
则能推出，不能推出，
“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A．
7．（全国高二课时练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
设双曲线的方程为：，半焦距为.
则，，则，
故，所以双曲线的标准方程为．
故选：C.
8．（全国高二课时练习）已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
依题意，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
9．（全国高三专题练习（理））已知双曲线－＝1（）的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
【答案】A
【详解】
因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，所以a＝2，
由离心率为，可得＝，c＝2，
所以b＝＝＝4，
则双曲线的标准方程为－＝1.
故选：A
10．（江西上高二中高二期末（理））已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由椭圆可得，，所以，
可得，
所以椭圆的长轴端点为，焦点为
所以双曲线的焦点为，顶点为
设双曲线方程为，可得，，
所以，
所以双曲线的方程为，
故选：C.
题型三：离心率
1．（全国高二课时练习）已知双曲线与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，
所以双曲线的离心率．
故选：C.
2．（广西高三开学考试（理））已知，是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一点，且；则的离心率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
.
故选：B
3．（富宁县第一中学（文））若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵渐近线为，即，
∴，∴.∴，
∴.
故选：D
4．（贵溪市实验中学高三月考）已知双曲线：，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】
双曲线方程，，
，.
故选：C.
5．（合肥艺术中学 高二期中（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为，，
离心率.
故选：C.
6．（广东高州·）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（ ）
A．1 B．4或1 C．3 D．4
【答案】D
【详解】
显然，又，解得．
故选：D．
7．（浙江省普陀中学高三开学考试）双曲线，则其离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】
由双曲线的方程为，可得，
∴ 离心率，
故选：A.
8．（云南省南涧县第一中学（文））双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【详解】
因为，，所以.
故选：D
9．（全国高二课时练习）双曲线的离心率不大于的充要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为双曲线的离心率不大于，
所以
解得：0＜m≤1．
故选：B．
10．（浙江湖州·高二期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】
由题意知：，即，
∴.
故选：C
题型四：焦点三角形
1．（赤峰二中高二期末（文））设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于
A． B． C．6 D．10
【答案】C
【详解】
根据双曲线的定义，联立解得，由于，故为直角三角形，故面积为.
2．（全国高二课时练习）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且轴，则到直线的距离为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
.
3．（全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】D
【详解】
设，.由，的面积为，
可得，∴①
由离心率为，可得，代入①式，可得.
故选：D.
4．（全国高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，
∴，，，
∴，的周长为．
∵当，，三点共线时，最小，最小值为，
∴的周长的最小值为．
故选：A
5．（湖北高三开学考试）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设因为，且，
所以，
由双曲线的定义得：，，
因为，
所以，
解得，
所以在中，，
即，
解得，
故选：D
6．（安徽省岳西县店前中学高二期末（文））设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】
由题意，双曲线，可得，则，
因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，
由双曲线的定义可得，
又因为，可得，即，
又由，
可得，解得，
所以的面积为.
故选：C.
7．（安徽安庆·高三月考（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为边长为4的等边三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
∵，∴，
∵，∴，
因为，所以，，
∴.
故选：A
8．（河南高三开学考试（理））双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
如图所示：
由对称性可知，因为的周长为，
所以，
又，
所以，．
因为为的中点，
所以，
则为等边三角形，
所以，，．
又因为，
所以在中，．
所以，，
即双曲线的渐近线方程为．
故选：B
9．（浙江温州·高二期末）设为双曲线：上的点，，分别是双曲线的左，右焦点，，则的面积为（ ）
A． B． C．30 D．15
【答案】D
【详解】
解：由，得，则，所以，
设，，则
，所以，
由余弦定理得，
因为，所以，所以，得，
所以，得，
所以，
所以，
所以的面积为，
故选：D
10．（新安县第一高级中学（文））如图， 是双曲线：的左 右焦点，过的直线与双曲线交于 两点.若是中点且则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
设，
,
①，
②,
由①可得
代入②式化简得：,
∴,∴,
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A中小学教育资源及组卷应用平台
第39讲 双曲线
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点，()的距离之差的绝对值为非零常数()的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
(2)集合，，
其中为常数且.
①当时，点的轨迹是双曲线；
②当时，点的轨迹是两条射线；
③当时，点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
性 质 范围 或， 或a，
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 ， ，
渐近线
离心率 ，
实、虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长
的关系 ()
【题型一：双曲线定义】
1．（全国高二课时练习）已知为坐标原点，设、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（山西平城·大同一中高二月考）若双曲线：的左 右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．26或6 B．26 C．6 D．28
3．（江苏海陵·泰州中学高二月考）已知，分别是双曲线的左 右焦点，若是双曲线左支上的点，且.则的面积为（ ）
A．8 B． C．16 D．
4．（全国）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于两点，且，那么的值是（ ）
A．21 B．30 C．27 D．15
5．（浙江高三专题练习）如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．（全国）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
7．（全国）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
8．（全国高二课时练习）已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．射线
C．线段 D．双曲线的一支或射线
【题型二：双曲线标准方程】
1．（全国）椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
2．（全国）双曲线的左顶点与右焦点间的距离为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
3．（全国）方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（山西临汾·（理））若方程需表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
5．（全国）若方程＝1表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．(－2，2) B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
6．（福建龙岩·高二期末）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（全国高二课时练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（全国高二课时练习）已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（全国高三专题练习（理））已知双曲线－＝1（）的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
10．（江西上高二中高二期末（理））已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型三：离心率】
1．（全国高二课时练习）已知双曲线与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（广西高三开学考试（理））已知，是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一点，且；则的离心率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（富宁县第一中学（文））若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（贵溪市实验中学高三月考）已知双曲线：，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．（合肥艺术中学 高二期中（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（广东高州·）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（ ）
A．1 B．4或1 C．3 D．4
7．（浙江省普陀中学高三开学考试）双曲线，则其离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（云南省南涧县第一中学（文））双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．
9．（全国高二课时练习）双曲线的离心率不大于的充要条件是（　　）
A． B． C． D．
10．（浙江湖州·高二期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【题型四：焦点三角形】
1．（赤峰二中高二期末（文））设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于
A． B． C．6 D．10
2．（全国高二课时练习）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且轴，则到直线的距离为(　　)
A． B． C． D．
3．（全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4．（全国高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（湖北高三开学考试）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（安徽省岳西县店前中学高二期末（文））设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．（安徽安庆·高三月考（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为边长为4的等边三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（河南高三开学考试（理））双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（浙江温州·高二期末）设为双曲线：上的点，，分别是双曲线的左，右焦点，，则的面积为（ ）
A． B． C．30 D．15
10．（新安县第一高级中学（文））如图， 是双曲线：的左 右焦点，过的直线与双曲线交于 两点.若是中点且则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．

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