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第45讲 二项式定理
1．二项式定理
．
2.二项展开式的特点
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有项．
(3)二项式系数：各项的系数()叫做二项式系数．
(4)各项的次数和都等于二项式的幂指数.
3.二项展开式的通项公式
展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作
4.二项式定理中，项的系数与二项式系数的区别
二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指，，…，，它只与各项的项数有关，而与的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与的值有关．
【题型一：二项式定理】
1．（全国高二课时练习）二项式的展开式中为常数项的是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
2．（全国高二课时练习）等于（ ）
A．2n B．2n－1 C．3n D．1
3．（全国高二课时练习）若的展开式有16项，则自然数的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．16
4．（包头市第六中学高二期中（理））若且，则实数m的值为（　　）
A．1或﹣3 B．﹣1 C．﹣3 D．1
5．（全国高二课时练习）设为虚数单位，则展开式中的第三项为（ ）
A．－20i B．15i C．20 D．－15
6．（陕西金台·高二期末（理））展开式中的第4项为（ ）
A． B． C． D．
7．（全国高三专题练习（理））二项式的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
8．（重庆市第六十六中学校高二月考）二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．-4 B．4 C．-6 D．6
9．（全国高二课时练习）已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
10．（广东荔湾·西关外国语学校高三月考）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
11．（赣榆智贤中学）二项式的展开式中常数项为60，则（ ）
A． B． C．2 D．3
12．（全国高二课时练习）的展开式的常数项为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
13．（全国高二课时练习）在的展开式中，项的系数为（　　）
A． B． C．30 D．50
【题型二：二项式系数】
1．（全国高二课时练习）的展开式中含项的二项式系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（全国高二课时练习）的展开式中常数项是（ ）
A．60 B．120 C．160 D．960
3．（全国高二课时练习）在的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为（ ）
A．4 B．27 C．36 D．108
4．（江苏高三月考）若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
5．（江苏南京·高二期末）展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．20
6．（辽宁丹东·高三二模）在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（全国）已知的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
8．（全国高二课时练习）已知的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为（ ）
A． B． C．和 D．和
9．（吴江汾湖高级中学）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则所有项的二项式系数和为（ ）
A． B． C． D．
10．（江苏如皋·高三模拟预测）的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．20 B． C．60 D．
11．（河南平顶山·（理））的展开式中各项的二项式系数的和为256，则展开式中的系数为（ ）
A． B．504 C． D．70
【题型三：项的系数】
1．（全国高二课时练习）设，则等于（ ）
A．4 B．－71 C．64 D．199
2．（湖北襄城·襄阳五中高三月考）的展开式中所有的项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．
3．（全国高二单元测试）的展开式中，项的系数是（ ）
A．56 B．－56 C．28 D．－28
4．（全国高二课时练习）二项式的展开式中含项的系数为（ ）
A．160 B．-160 C．80 D．-800
5．（汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）的展开式中的系数为（ ）
A．40 B．80 C． D．
6．（金华市方格外国语学校高二月考）若，则（　　）
A．2 B． C．2 D．
7．（福建省宁德市教师进修学院高二期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（江苏鼓楼·南京市第二十九中学高二期中）设，是常数，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
9．（陕西渭滨·（理）），则（ ）
A．49 B．52 C．56 D．59
10．（全国高二课时练习）若对于任意的实数，有，则的值为（ ）
A． B． C． D．中小学教育资源及组卷应用平台
第45讲 二项式定理
1．二项式定理
．
2.二项展开式的特点
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有项．
(3)二项式系数：各项的系数()叫做二项式系数．
(4)各项的次数和都等于二项式的幂指数.
3.二项展开式的通项公式
展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作
4.二项式定理中，项的系数与二项式系数的区别
二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指，，…，，它只与各项的项数有关，而与的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与的值有关．
题型一：二项式定理
1．（全国高二课时练习）二项式的展开式中为常数项的是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【答案】C
【详解】
依题意，的展开式的通项为，，
令，得，即是二项式的展开式的常数项，
所以展开式中的常数项是第5项.
故选：C
2．（全国高二课时练习）等于（ ）
A．2n B．2n－1 C．3n D．1
【答案】C
【详解】
.
故选：C
3．（全国高二课时练习）若的展开式有16项，则自然数的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．16
【答案】B
【详解】
解：因为的展开式共有项，所以，所以，
故选：B．
4．（包头市第六中学高二期中（理））若且，则实数m的值为（　　）
A．1或﹣3 B．﹣1 C．﹣3 D．1
【答案】A
【详解】
因为
令，则；
令则，
又，所以，即，因此，
解得或 .
故选A
5．（全国高二课时练习）设为虚数单位，则展开式中的第三项为（ ）
A．－20i B．15i C．20 D．－15
【答案】D
【详解】
解：(1＋i)6展开式中的第三项为．
故选：D
6．（陕西金台·高二期末（理））展开式中的第4项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：展开式中的第4项为，
故选：D
7．（全国高三专题练习（理））二项式的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
二项式的展开式的通项为：，
令，可得：，
所以常数项为，
故选：B.
8．（重庆市第六十六中学校高二月考）二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．-4 B．4 C．-6 D．6
【答案】D
【详解】
二项式的展开式的通项公式为：，
令，解得，
所以常数项为，
故选：D
9．（全国高二课时练习）已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
【答案】B
【详解】
由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
10．（广东荔湾·西关外国语学校高三月考）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
【答案】B
【详解】
的展开式通项为，
∴令，解得，
∴的展开式的常数项为，
∴
∴
故选：B.
11．（赣榆智贤中学）二项式的展开式中常数项为60，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】
通项,,
令，得，得，
所以，即故，
故选：A.
12．（全国高二课时练习）的展开式的常数项为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
【答案】D
【详解】
由题意得的展开式的通项为，
令，则，
所以的展开式的常数项为.
故选：D.
13．（全国高二课时练习）在的展开式中，项的系数为（　　）
A． B． C．30 D．50
【答案】B
【详解】
表示5个因式的乘积，在这5个因式中，
有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；
或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，
故项的系数为，
故选B．
题型二：二项式系数
1．（全国高二课时练习）的展开式中含项的二项式系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
的展开式的通项为：，
令可得，
所以含项的二项式系数为，
故选：D.
2．（全国高二课时练习）的展开式中常数项是（ ）
A．60 B．120 C．160 D．960
【答案】C
【详解】
的展开式的通项公式为，
令，则，
故常数项为第4项且为，
故选：C.
3．（全国高二课时练习）在的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为（ ）
A．4 B．27 C．36 D．108
【答案】D
【详解】
解：的展开式中的第项为，由，得，
所以，故第四项的系数为．
故选：D.
4．（江苏高三月考）若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
令可得，
所以，展开式有项，
所以二项式展开式中二项式系数最大的为第项，
，
故选：A.
5．（江苏南京·高二期末）展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【详解】
令得，，
展开式中二项式系数最大的项是第3和第4项，最大的二项式系数为．
故选：B．
6．（辽宁丹东·高三二模）在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】
因为在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，
所以，
解得，
故选：B
7．（全国）已知的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
【答案】B
【详解】
设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1．
分别令x＝1，x＝－1，得
两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝．
由已知，得＝364，
∴32n＝729＝36，即n＝3．
(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大．
故选：B.
8．（全国高二课时练习）已知的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为（ ）
A． B． C．和 D．和
【答案】C
【详解】
由已知，可得，解得，
的展开式中共有8项，中间项为第4项与第5项，
，
故选：C
9．（吴江汾湖高级中学）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则所有项的二项式系数和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意，展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，故
因此，所有项的二项式系数和为
故选：C
10．（江苏如皋·高三模拟预测）的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．20 B． C．60 D．
【答案】C
【详解】
由题意得，故.
所以原式为，
通项为，
令得，
故常数项为：.
故选：C.
11．（河南平顶山·（理））的展开式中各项的二项式系数的和为256，则展开式中的系数为（ ）
A． B．504 C． D．70
【答案】A
【详解】
由题可知，解得．的展开式的通项为
．再令，解得．
所以展开式中的系数为．
故选：A
题型三：项的系数
1．（全国高二课时练习）设，则等于（ ）
A．4 B．－71 C．64 D．199
【答案】C
【详解】
∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，
令x＝0，
∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.
故选：C.
2．（湖北襄城·襄阳五中高三月考）的展开式中所有的项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
令，，则展开式所有项的系数和为.
故选：A.
3．（全国高二单元测试）的展开式中，项的系数是（ ）
A．56 B．－56 C．28 D．－28
【答案】A
【详解】
依题意，
所以的系数是.
故选：A
4．（全国高二课时练习）二项式的展开式中含项的系数为（ ）
A．160 B．-160 C．80 D．-800
【答案】A
【详解】
解：展开式的通项为，
令，得，
所以含项的系数为．
故选：A．
5．（汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）的展开式中的系数为（ ）
A．40 B．80 C． D．
【答案】A
【详解】
，
所以展开式中的系数为.
故选：A
6．（金华市方格外国语学校高二月考）若，则（　　）
A．2 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
令，则，即，
故选：B.
7．（福建省宁德市教师进修学院高二期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
因为，
令，
得，
故选：B
8．（江苏鼓楼·南京市第二十九中学高二期中）设，是常数，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【详解】
解：令，可得，
令，可得，
所以.
故选：A.
9．（陕西渭滨·（理）），则（ ）
A．49 B．52 C．56 D．59
【答案】B
【详解】
令得，，
所以.
故选：B
10．（全国高二课时练习）若对于任意的实数，有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，所以.
故选：B

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